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Tema 10.6 * 2º ESO

Tema 10.6 * 2º ESO. Teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. a 2 = b 2 + c 2.

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  1. Tema 10.6 * 2º ESO Teorema de Pitágoras Apuntes Matemáticas 2º ESO

  2. Teorema de Pitágoras. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. • a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b Apuntes Matemáticas 2º ESO

  3. Demostración geométrica a a c c b b Primer paso: Los cuadrados de color oro y azul son de igual superficie que los romboides de iguales colores, por tener la misma base y altura. Apuntes Matemáticas 2º ESO

  4. Demostración geométrica B a a c c b b C A B’ C’ Segundo paso: Los triángulos ABC y A’B’C’ son iguales y por tanto tienen la misma superficie. Apuntes Matemáticas 2º ESO

  5. Reconocimiento de triángulos • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. • Si a2 = b2 + c2 El triángulo es RECTÁNGULO. • Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. • Si a2 < b2 + c2 El triángulo es ACUTÁNGULO. • Los tres ángulos son menores de 90º. • Si a2 > b2 + c2 El triángulo es OBTUSÁNGULO. • Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b Apuntes Matemáticas 2º ESO

  6. Ejercicios • 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 102 = 72 + 52 100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 • Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. • 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 612 = 602 + 112 3721 = 3600 + 121  • Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. • 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 122 = 112 + 102 144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 • Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo. Apuntes Matemáticas 2º ESO

  7. Calculo de la hipotenusa • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 32 + 42 • a2 = 9 + 16 • a2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 52 + 122 • a2 = 25 + 144 • a2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm a c b Apuntes Matemáticas 2º ESO

  8. Calculo de la hipotenusa • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 82 + 152 • a2 = 64 + 225 • a2 = 278  Hipotensa a = √289 = 17 cm • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 72 + 242 • a2 = 49 + 576 • a2 = 625  Hipotensa a = √625= 25 cm a c b Apuntes Matemáticas 2º ESO

  9. Calculo de los catetos • En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 102 – 82 • c2 = 100 – 64 • c2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 292 – 212 • c2 = 841 – 441 • c2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm a c b Apuntes Matemáticas 2º ESO

  10. Calculo de los catetos • En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 412 – 92 • c2 = 1681 – 81 • c2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 372 – 352 • c2 = 1369 – 1225 • c2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm a c b Apuntes Matemáticas 2º ESO

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