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点的轨迹方程的求法

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点的轨迹方程的求法 - PowerPoint PPT Presentation


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点的轨迹方程的求法. 求曲线方程的步聚:. 1 、建立适当的直角坐标系,并设动点坐标 2 、列出动点满足的条件等式 3 、列方程 4 、 化简 5 、检验. 如何建立合适的直角坐标系?. 1 )已知给定长度的线段 2 )已知两条垂直的直线 3 )对称图形. y. P. A. o. x. B. 1 、直接法. 例 1 、 求与圆 x 2 +y 2 -4x=0 外切且与 Y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。. 解 :设动圆圆心为 P(x,y). 由题,得. 即 -4x+y 2 =4|x|.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
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求曲线方程的步聚:

1、建立适当的直角坐标系,并设动点坐标

2、列出动点满足的条件等式

3、列方程

4、化简

5、检验

如何建立合适的直角坐标系?

1)已知给定长度的线段

2)已知两条垂直的直线

3)对称图形

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y

P

A

o

x

B

1、直接法

例1、求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。

解:设动圆圆心为P(x,y).

由题,得

即 -4x+y2=4|x|

得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x<0),或y2=8x(x>0)

变式:外切改为相切呢?

slide4

例2 已知ΔABC底边BC的长为2,又知tanBtanC=t(t≠0).(t为常数).求顶点A的轨迹方程.

y

A

x

o

B C

(x≠ 1)

解:以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立如图直角系。则B(-1,0),C(1,0).

设A(x,y).

又tanBtanC=t

所求的轨迹方程为tx2+y2=t

变式:把tgBtgC=t(t≠0)改为C=2B呢?

tanC=tan2B

slide5

例3、圆 上的点M与定点A(3,0)的线段MA的中点为P,求P点的轨迹。

y

M

P

x

o

A(3,0)

2、转移代入法

变式:

(1)中点改为MP:PA=t(t>0的常数)

(2)求圆x2+y2-2x+4y=0关于直线x-y=0对称的圆方程。

slide6

G

y

P

B

C

x12+2y12=4

o

x

A

x22+2y22=4

x0=

x=

又k=

解得,

因此

y0=

y=

3、参数法

例4如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C:x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC,求点P的轨迹。

解法一:利用韦达定理

解法二:点差法 连PO交CB于G.

设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则

作差,得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0

即x0+y0k=0

?

消去k,得(x+3)2+y2=9

故所求轨迹为(-3,0)为圆心,3为半径的圆.

slide7

解:连PB,AQ交于点G。设Q(x,y),G(x0,y0),则

则x+a=2x0,y=2y0.

y

(5)

(4)

(3)

(2)

(1)

Q

P

B

G

o

x

A

x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax

即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0,

又AB

PA,

所以

讨论:若

为半径的圆;

,表示原点为圆心,

,表示原点;

,无轨迹。

变式:已知圆:x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a,r>0.P,B是圆上两点,作矩形PABQ,求点Q的轨迹。

(x,y)

设P(x1,y1),B(x2,y2),则

(3)2+(4)2, 得 (x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2)

结合(5),得点Q的坐标满足方程x2+y2=2r2-a2

slide8

设B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),则

y

(3)

(2)

(1)

Q

P

B

G

o

x

A

又AB

PA,

所以

另解:设Q(x,y),G(x0,y0),则x+a=2x0,y=2y0.

(x,y)

slide9

1、抛物线 的顶点的轨迹方程是 。

y=2x,

练习

slide10

2、(2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB中点,点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动,且 ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。

解:以AB所在直线为x轴,过o垂直AB

y

直线为y轴,建立如图直角坐标系.

依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)

设 =k(0≤k≤1),由此有

E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)

x

D

F

C

E

P

G

o

A

B

直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①

直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②

从①②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0

(去掉(0,0))

slide11

一、求动点的轨迹方程的常用方法

  • 直接法:
  • 转移代入法(也称相关点法): 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求.
  • 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程.
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二、注意

1、化简要等价变形,且能结合图形对题意的检验

2、要区分轨迹与轨迹方程

3、如何合理引参?

五类参数:点坐标,斜率,比例,角度,长度等