点的轨迹方程的求法

点的轨迹方程的求法

求曲线方程的步聚： 1、建立适当的直角坐标系，并设动点坐标 2、列出动点满足的条件等式 3、列方程 4、化简 5、检验如何建立合适的直角坐标系？ 1）已知给定长度的线段 2）已知两条垂直的直线 3）对称图形

y P A o x B 1、直接法例1、求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得即 -4x+y2=4|x| 得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x<0),或y2=8x(x>0) 变式：外切改为相切呢？

例2 已知ΔABC底边BC的长为2,又知tanBtanC=t(t≠0).(t为常数).求顶点A的轨迹方程. y A x o B C (x≠ 1) 解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图直角系。则B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y). 又tanBtanC=t 所求的轨迹方程为tx2+y2=t 变式：把tgBtgC=t(t≠0)改为C=2B呢？ tanC=tan2B

例3、圆 上的点M与定点A(3,0)的线段MA的中点为P，求P点的轨迹。 y M P x o A(3,0) 2、转移代入法变式： (1)中点改为MP:PA=t(t>0的常数） (2)求圆x2+y2-2x+4y=0关于直线x-y=0对称的圆方程。

G y P B C x12+2y12=4 o x A x22+2y22=4 x0= x= 又k= 解得，因此 y0= y= 3、参数法例4如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。解法一：利用韦达定理解法二：点差法连PO交CB于G. 设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0 即x0+y0k=0 ? 消去k,得(x+3)2+y2=9 故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.

解：连PB,AQ交于点G。设Q(x,y),G(x0,y0),则 则x+a=2x0,y=2y0. y (5) (4) (3) (2) (1) Q P B G o x A x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax 即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0, 又AB PA, 所以讨论：若为半径的圆； ,表示原点为圆心，若，表示原点；若，无轨迹。变式：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的轨迹。 (x,y) 设P(x1,y1),B(x2,y2),则 (3)2+(4)2, 得 (x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2) 结合（5），得点Q的坐标满足方程x2+y2=2r2-a2

设B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),则 y (3) (2) (1) Q P B G o x A 又AB PA, 所以另解：设Q(x,y),G(x0,y0),则x+a=2x0,y=2y0. (x,y)

1、抛物线 的顶点的轨迹方程是。 y=2x, 练习

2、(2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动，且 ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB y 直线为y轴,建立如图直角坐标系. 依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a) 设 =k(0≤k≤1),由此有 E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) x D F C E P G o A B 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………① 直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………② 从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0））

一、求动点的轨迹方程的常用方法 • 直接法: • 转移代入法(也称相关点法): 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求. • 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程.

二、注意 1、化简要等价变形，且能结合图形对题意的检验 2、要区分轨迹与轨迹方程 3、如何合理引参？五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等

点的轨迹方程的求法

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