갈루아의 군론

갈루아의군론 박재우

목차 • 인물소개 – 갈루아 • 군 • 준동형/ 동형 사상 • 군의 활용도 - 위상수학

인물소개 - 갈루아 5차 방정식의 해의 연구 갈루아 이론 기하학, 결정학, 물리학에 영향

대수적 구조 용어 정리 명제 : 그 내용이 참인지 거짓인지에 대한 구별이 가능한 임의의 문장 정의 : 논의의 대상을 보편적인 것으로 하기 위해 사용되는 용어 또는 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식 공리 : 하나의 이론에서 증명 없이 바르다고 하는 명제, 즉 조건 없이 전제된 명제

군 f(x) A A 1 2 3 1 2 3 • 군 : 추상대수학 개념의 하나, 어떤 집합의 임의의 원소 사이에 연산이 행해질 때, 그 결과 역시 그 집합의 원소가 될 때의 집합

군의 조건 (a+b)+c=a+(b+c) • 결합법칙 만족 • 항등원 존재 • 역원 존재 임의의 원소 a에 대해 a+0=0 인 항등원 0 임의의 원소 a는 a+(-a)=0이 되는 역원 -a • Ex) 정수의 집합, 유리수의 집합, 실수의 집합

가환군/ 비가환군 • 비가환군(비아벨군) : 교환법칙(ab=ba)을 만족하지 않는 군 • 가환군(아벨군) : 교환법칙를 만족하는 군

부분군의 성질 부분군: 어떤 군의 부분집합, 그 스스로가 다시 군이 되는 대상 1) a,b가 집합 S 에 속할 때, 곱 ab도 S에 속한다. 2) a가 S에 속할 때, a-1도 S에속한다.

대응과 사상 대응 : 두개의 집합 A, B에서 A의 각각의 원소에 대하여 B의 원소가 정해질 때, A의 원소에 B의원소가 대응하는 것. 사상 : 두 집합 X, Y가 존재할 때, 집합 X의각 원소 x를 집합 Y의 하나의 원소 y로 대응시키는 관계.

준동형사상 • 추상대수학에서 대수적 구조들 사이의 구조를 보존하는 대응

준동형사상의 예 - 절댓값, 집합

동형사상 B A 1 2 3 1 2 3 • 일대일 대응이 이뤄지는 준동형사상 • 이때, f와 그 역사상 f-1이준동형 사상임을 뜻한다.

동형사상의 활용 - 위상수학 위상수학 : 20세기에서 공간의 위치 관계와 가까움을 다루기 위하여 만들어진 수학 분야 위상동형사상 : 위상적 성질을 보존하는 동형사상. 두 공간 사이에 위상동형사상이 있을 경우, 이 둘을 위상동형 이라 함. 어떤 기하학적 물체를 찢거나 붙이는 것과 같이 분리하거나 다른 물체를 붙이는 것과 같은 행동을 하지 않고, 단지 그 대상을 구부리거나 늘이는 것만으로 형태를 다른것으로 변형하는 것

느낀 점 • 갈루아의군론은 대수에서 가장 중요한 위치를 차지하는 논문이라 한다. • 비록 이 책에서 군론의 대부분을 다루지는 않았지만, 대수라는 분야에 조금은 다가간 것 같은 느낌을 얻었다. • 앞으로 군론이란 과목에 조금 더 관심을 가져보고 싶었고 기회가 되면 더 알아가고 싶었다.

갈루아의 군론

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