3. Algebraïsche functies

1. 3.Algebraïsche functies

2. Inleiding f: y = f(x) is een reëlefunctie elke x heeft hoogstens 1 beeld y Reële functies Algebraïsche functies Niet-algebraïsche functies Bijvoorbeeld: exponentiële functies, logaritmische functies, goniometrische functies, … Enkel de bewerkingen +, -, *, /, n-de wortel • Onderverdeeld in: • Veeltermfuncties • Rationale functies • Irrationale functies

3. 3.1 Veeltermfuncties

4. Een veeltermfunctie van de n-de graad is een functie waarvan het functievoorschrift f(x) een n-de graadsveelterm is in x. Grafieken van enkele eenvoudige veeltermfuncties:

5. De graad van een veeltermfunctie • De graad van een veeltermfunctie f: y = f(x) is de hoogste exponent van de macht met grondtal x die erin voor komt. • Het aantal nulpunten van een veeltermfunctie is nooit meer dan de graad. Voorbeeld: Wat kan je zeggen over de graad van de veeltermfunctie met de hiernaast gegeven grafiek? Opl: de graad moet minstens 5 zijn.

6. Domein van veeltermfuncties Domein van een functie f: y = f(x) is de verzameling van alle x-waarden die een beeld y hebben onder f. Domein van een veeltermfunctie?

7. Nulpunten van veeltermfuncties Als a een nulpunt is van een veeltermfunctie , kan het voorschrift van geschreven worden als het product van en een restveelterm van een lagere graad. Voorbeeld: De functie is een veeltermfunctie van graad 4 die de X-as enkel snijdt in . Vind 3 verschillende mogelijke voorschriften voor . Mogelijke oplossingen zijn: Oefeningen 1 tot en met 5

8. 3.2 Rationale functies

9. Een rationale functieis een functie waarvan het functievoorschrift een breuk is, waarvan zowel de teller als de noemer een veelterm is. Grafieken van enkele elementaire rationale functies:

10. Domein en nulpunten van rationale funcies • Domein van een rationale functie: noemer mag nooit 0 worden! • Nulpunten: x-waarden die de teller 0 maken maar de noemer niet. Voorbeeld: domein? nulpunten? • Domein: • Nulpunten: en Dus slechts 1 nulpunt:

11. Rationale vergelijkingen • Bepaal eerst in welke x-waarden de noemers van de vergelijking kunnen worden uitgerekend; dit noemt men de bestaansvoorwaarden. • Ga nadien steeds na welke oplossingen voldoen aan de bestaansvoorwaarden. • Voorbeelden: • Opl: • Opl: geen Oefeningen 6 tot en met 10

12. 3.3 Irrationale functies

13. Een irrationale functie is een functie waar in het voorschrift de onafhankelijk veranderlijke voorkomt onder minstens één wortelteken. (enkel de bewerkingen +,-,*,/,n-de wortel) Grafiek van enkele elementaire irrationale functies: : :

14. Cirkel en irrationale functies x² + y² = 25 : cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 5 Expliciete vergelijking: : geen functie : irrationale functie : irrationale functie

15. Domein en nulpunten irrationale functies • Domein van een irrationale functie? • Onder een even-machtswortel mogen enkel positieve waarden. • Noemer mag niet nul zijn. Voorbeeld 1 : Domein: , Voorbeeld 2 : Domein: , • Nulpunten van een irrationale functie? Oplossen van een irrationale vergelijking.

16. Irrationale vergelijkingen (beperking tot enkel 2-de machtswortel) • Onder een vierkantswortel kunnen enkel positieve waarden en de noemers mogen niet nul zijn. Men noemt dit de bestaansvoorwaarde. • Om de vierkantswortel weg te werken worden beide leden vaak gekwadrateerd. Hier geldt een kwadrateringsvoorwaarde. • Voorbeelden: • Opl.: geen • Opl.: • Opl.: Oefeningen 11 tot en met 14