Introdução à Análise de Agrupamentos (Abordagem Numérica e Conceptual)

1. Introdução à Análise de Agrupamentos(Abordagem Numérica e Conceptual) Prof. Francisco de A. T. de Carvalho fatc@cin.ufpe.br

2. Agrupamento (Clustering) Conjunto de Métodos usados para a construção de grupos de objetos com base nas semelhanças e diferenças entre os mesmos de tal maneira que os grupos obtidos são os mais homogêneos e bem separados possíveis. Agrupar para que? Simplificação dos dados Procura de agrupamentos “naturais” Geração de Hipóteses Predição com base nos grupos formados O que é um grupo? Não existe uma única definição satisfatória Coesão interna Isolamento externo

3. (a) (b) (c) (d) a) Grupos coesos e isolados b) Grupos isolados mas não coesos c) Grupos coesos com vários pontos intermediários d) Não existência de grupos “naturais”

4. Principais Etapas da Formação de Agrupamentos a) Seleção dos indivíduos, objetos, casos, itens, OTU’s b) Seleção das variáveis, descritores, características c) Construção da Tabela de Dados d) Escolha de um Índice de Proximidade e) Construção da Matriz de Proximidades f) Seleção de um Algoritmo de Formação de Grupos em função do tipo de agrupamento desejado g) Análise e Interpretação dos Resultados

5. Indivíduos : conjunto dos indivíduos (população, amostra) Variáveis A Cada característica (escolhida pelo usuário ou por um especialista), pode-se associar uma ou mais variáveis: Di: Domínio da variável yi

6. As variáveis podem ser • quantitativas • contínuas (ex, Peso, Altura) • discretas (ex, numero de antenas, número de filhos) • qualitativas (ex, sexo, grau de instrução) • binárias (ex, presença de asas) • com escala • nominal (ex, sexo (masculino, feminino)), • ordinal (ex, Grau de instrução{primário, segundário, superior}) • intervalar (ex, grau celsius) • proporcional (ex, grau kelvin, idade)

7. Representação do Conhecimento (lista de pares atributo-valor) Y = {y1, …, yp} : Conjunto de variáveis (descritores, atributos, …) D = {D1, …, Dp} : Conjunto dos domínios das variáveis  = {1, …, p} : Conjunto dos indivíduos (casos, objetos, observações)

8. Tabela de Dados • X = (xij; i = 1, …, p ; j = 1, …, n) onde xij = yi(j) • Tipos de Tabelas • quantitativas • qualitativas • binárias • heterogêneas • Exemplo:

9. Índices de Proximidade • Similaridade • Dissimilaridade • Índice de Similaridade • É uma função • tal que

10. Índice de Dissimilaridade É uma função tal que

11. a 1 0 b 1 x y w 0 z Exemplos de Índices de Proximidade a) Tabelas de variáveis quantitativas b) Tabelas de variáveis binárias

12. Outros aspectos relativos aos índices de proximidade • Escala das Variáveis • Correlação entre as Variáveis • Descrições heterogêneas (Variáveis de diferentes tipos) • Índices de proximidade entre padrões descritos por strings ou árvores • Índices de proximidade dependentes do contexto • Índices de proximidade conceptual

13. Tipos de espaços de classificação (ie, estrutura a priori do espaço das observações)Seja  um conjunto de indivíduos à agruparPartiçãoUma partição de  é um conjunto de subconjuntos não vaziosP = (P1, , Pk) de interseção vazia dois a dois e cuja união forma a) l  {1, , k}, Pl  b) l,m  {1, , k}, l  m, Pl  Pm = c) l Pl = 

14. P1 * * P2 * * * * * * P3 * * * * * * Observações Partição

15. P1 * * * P3 * * P2 * * CoberturaUma cobertura de  é um conjunto de subconjuntos não vaziosP = (P1, , Pk) cuja união forma  a) l  {1, , k}, Pl  b) l Pl =  * * * * * * *

16. * 7 * * 5 * * * 4 * 6 * HierarquiaSeja H um conjunto de subconjuntos não vazios de . H é uma hierarquia sea)   H;b)    , {}  Hc)  h, h’  H, tem-se: h  h’ =  ou h  h’ ou h’  h * 3 * * 2 * * 1 *

17. 1 3 2 4 5 6 7 Dendrograma

18. PiramideSeja P um conjunto de subconjuntos não vazios de de . P é uma piramide se a)   P;b)    , {}  Pc)  h, h’  P, tem-se: h  h’ =  ou h  h’  Pd) Existe uma ordem  tal que todo elemento de P seja um intervalo de 

19. * 7 * 5 * 4 * 6 * 3 * 2 * 1 1 3 2 4 5 6 7

20. Métodos de AgrupamentoEm Taxonomia Numerica distingue-se tres grupos de métodosTécnicas de OtimizaçãoObjetivo: obter uma partição. Número de grupos sempre fornecido pelo usuárioTécnicas hierarquicasObjetivo: obter uma hierarquia (ou uma piramide) Pode-se obter uma partição “cortando-se” a hierarquia em um determinado nível.Técnicas de CoberturaObjetivo: obter grupos que eventualmente podem partilhar indivíduos.

21. Outros Aspectos Relativos aos Métodos de AgrupamentoMétods Aglomerativos versus Métodos DivisivosMétodos Monotéticos versus Métodos PoliteticosAgrupamento Hard versus Agrupamento FuzzyMétodos Incrementais versus Métodos não Incrementais

22. Algoritmo Geral de Agrupamento Hierárquico AglomerativoPasso 1: Iniciar o agrupamento formado por grupos unitáriosPasso 2: Encontre, no agrupamento corrente, o par de grupos de dissimilaridade mínimaPasso 3: Construa um novo grupo pela fusão desse par de grupos de dissimilaridade mínimaPasso 4: Atualize a matriz de dissimilaridades: suprima as linhas e ascolunas correspondentes aos grupos fusionados e adicione uma linha e uma coluna correspondente as dissimilaridades entre o novo grupo e os grupos antigosPasso 5: Se todos os objetos estão grupados, pare; senão vá para o passo 2

23. Exemplo E01:(Sono=Pouco,T=Carro,Conic=Sim,Alcool=Não,Sair=Não,Fome=Sim) E02:(Sono=Pouco,T=Carona,Conic=Não,Alcool=Não,Sair=Sim,Fome=Sim) E03:(Sono=Sim,T=Carro,Conic=Não,Alcool=Sim,Sair=Sim,Fome=Não) E04:(Sono=Sim,T=Outros,Conic=Sim,Alcool=Sim,Sair=Sim,Fome=Não) Passo 1: C1={E01}, C2={E02}, C3={E03}, C4={E04}Passo 2: dmin = 2  C5= C3  C4 = {E03,E04}Passo 3:

24. Exemplo Passo 4: dmin = 3  C6= C1  C2={E01,E02} Passo5Passo 6: dmin = 4  C7 = C5  C6={E01,E02,E03,E04} C07 C6 C5 E01 E02 E03 E04

25. Técnicas Hierárquicas Aglomerativas Single LinkComplete LinkGroup Average Link (UPGMA)Wighted Average Link (WPGMA)Unweighted Centroid (UPGMC)Weighted Centroid (WPGMC) ou MedianaWARD

26. Algoritmo dos Centros Móveis (MétodosdePartição) Passo 1: Fixe o número de grupos e escolha uma partição inicialPasso 2: Para cada grupo q encontre o centro de gravidade (vetor de médias)Passo 3: Atribua cada objeto i à classe q cujo centro de gravidade é o mais próximoPasso 4: Retornar ao passo 1 enquanto existirem modificações na composição dos grupos

27. Exemploy1 1.0 1.5 3.0 5.0 3.5 4.5 3.5y2 1.0 2.0 4.0 7.0 5.0 5.0 4.5Passo 1: k = 2 e G1={1,2,3} e G2={4,5,6,7}Passo2: g1 = (1.83, 2.33) e g2 = (4.13, 5.38)Passo3:d(wi,g1) 1.57 0.47 2.04 5.64 3.15 3.78 2.74d(wi,g2) 5.38 4.28 1.78 1.83 0.74 0.53 1.08Grupo G1 G1 G2 G2 G2 G2 G2Passo 4: G1={1,2} e G2 = {3,4,5,6,7} Houve modificação dos grupos? Sim. Vá para o passo 2Etc.

28. Critérios para a obtenção de uma PartiçãoAlguns dos principais critérios para a obtenção de uma partição baseiam-se na equação da MANOVA:T = W + BT sendo fixo, quando menor W maior será B (maior homogeneidade e maior separação entre os grupos)Minimização do traço(W) dependente da escala favorece grupos esféricos favorece a formação de grupos de mesmo cardinalMinimização do determinante de Wnão depende da escalanão favorece grupos esféricos impõe a mesma forma aos grupos favorece a formação de grupos de mesmo cardinal

29. Agrupamento ConceptualUm grupo pode ser descrito em:extensão (enumeração dos seus membros) ou em compreensão (conjunto de propriedades que definem a pertinência de um elemento à um grupo)Agrupamento não conceptual fornece: apenas descrição em extensão de cada grupo. a obtenção dos grupos leva em conta apenas as descrições dos individuos.Agrupamento conceptual fornece: também a descrição em compreensão (intencional) de cada grupo. formação dos grupos levam em consideração também a qualidade da descrição em compreensão de cada grupo

30. Agrupamento Conceitual funciona em 2 fases:agregação: encontrar grupos de um conjunto de indivíduos segundo uma estrutura considerada e um ou mais critérios fixadoscaracterização: determinar uma descrição (conceito) de cada um dos grupos obtidos na fase de agregaçãoEm aprendizagem de máquina caracterização = aprendizagem à partir de exemplosAs 2 fases podem ser: simultâneas seqüenciais (na maioria dos casos)

31. Iniciar com  (Conjunto de Individuos) Geração de k Agrupamentosem competição Agrupamento 1 ••• Agrupamento k {C11, …, C1m1} {Ck1, …, Ckmk} Iniciar com um Agrupamento Geração de descrições conceituais em competição par o Agrupamento ••• {D1(C1), ... D1(C1m1) ... {Dn(C1), ... Dn(C1m1)

32. Tipos de abordagens em Agrupamento Conceitual:3 dimensõesEstrutura do espaço de observação: partição, hierarquia, coberturaAlgoritmo: incremental (Formação de Conceitos) ou batch (Descoberta de Conceitos)Linguagem de descrição (representação do conhecimento): Logica de Atributos (ordem 0) Logica de Predicados de 1a Ordem Logica de predicados de 2a Ordem

33. Caracterização (descrição) dos grupos em lógica 0 Seja  um conjunto de observações descritas por p atributos (variáveis) y1, …, yp cujos dominios são D1, …, Dp. Um objeto simbólico a = [y1  A1]  …  [y1  Ap], onde Ai  Di, i  {1, …, p}, expressa a condição “atributo y1 toma seus valores em A1e … e atributo yp toma os seus valores em Ap” Pode-se associar à a uma função f:{1, 0} tal que fa() = 1  yi () Ai, i  {1, …, p},   A extensão de a é definida como ext (a) = {  / fa()=1}

34. variaveis Dominios {azul, verm, verde} Cor Tamanho {grande, medio, pequeno} Forma {esfera, bloco, triangulo} Considere o seguinte objeto simbólico a = [Cor  {az,vm}] [Tam{g}][Forma {e,b}] a é uma generalização de qualquer conjunto de objetos cuja cor é azul ou vermelho, cujo tamanho é grande e cuja forma é esfera ou bloco Exemplo

35. Da mesma forma,   esta na extensão de a (é membro de a) se fa()=1 isto é, se sua cor é azul ou vermelha, seu tamanho é grande e sua forma é esfera ou bloco Dizemos que um objeto simbólico a é uma generalização de um conjunto de indivíduos  se  , fa()=1 Sejam dois objetos simbólicos a = i [yi  Ai] e b = i [yi  Bi]. Diz-se que b < a se Bi  Ai i. Nesse caso diz-se que a é mais geral do que b e b é menos geral do que a Diz-se que um objeto simbólico a é maximamente especifico de um conjunto de indivíduos  se: a é uma generalização de  e não existe um outro objeto simbólico b generalização de  tal que b < a

36. Sejam os individuos 1 = [Cor  {az}] [Tam{g}][Forma {e}] 2 = [Cor  {az}] [Tam{m}][Forma {e}] 3 = [Cor  {az}] [Tam{p}][Forma {b}] Três possíveis generalizações desses conjuntos por um objeto simbólico a = [Cor  {az}] [Tam{g,m,p}][Forma {e,b}] b = [Cor  {az}] [Tam{g,m,p}][Forma {e,b,t}] c = [Cor  {az,vm,vd}] [Tam{g,m,p}][Forma {e,b,t}] c é mais geral do que b que é mais geral do que a a é maximamente especifico do conjunto de indivíduos acima.

37. Um objeto simbólico a é uma descrição discriminante de um conjunto 1 de indivíduos em relação à um outro conjunto 2 de individuos se: a é uma generalização de 1 e não existe  2 tal que fa()=1 Um objeto simbólico a é uma descrição maximamente discriminante de um conjunto 1 de indivíduos em relação à um outro conjunto 2 de indivíduos se: a é uma descrição discriminante de 1 em relação à 2 e não existe um outro objeto b i) que seja uma descrição discriminante de 1 em relação à 2 e ii) que seja mais geral do que a (b > a)

38. Exemplo Grupo 1 (G1) 1 = [Cor  {az}] [Tam{l}][Forma {e}] Grupo 2 (G2) 1 = [Cor  {vm}] [Tam{l}][Forma {b}] 1 = [Cor  {vm}] [Tam{l}][Forma {t}] Descrições maximamente discriminantes de G1 em relação à G2 a = [Cor  {az,vd}] [Tam {l,m,p}][Forma  {e,b,t}] b = [Cor  {az,vm,vd}] [Tam{l,m,p}][Forma  {e}] Descrições maximamente discriminantes de G2 em relação à G1 c = [Cor  {vm,vd}] [Tam {l,m,p}][Forma  {e,b,t}] d = [Cor  {az,vm,vd}] [Tam {l,m,p}][Forma  {b,t}]

39. Grupo1 Grupo 2 Atribuição de descrições maximamente discriminantes aos Grupos 1 e 2 Descrições disjuntas b = …[Forma {e}] d = …[Forma {b,t}] Descrições não disjuntas a = [Cor  {az,vd}] … c = [Cor  {vm,vd}] … a = [Cor  {az,vd}] … d = …[Forma {b,t}] b = …[Forma {e}] c = [Cor  {vm,vd}] … Em geral conjuntos disjuntos da mesma variável implicarão em descrições maximamente discriminantes de um grupo em relação à outros grupos

40. Algoritmo CLUSTER/2 • Descoberta de Conceitos (em batch) • Dois módulos • Partição • Hieraráquico Exemplo

41. Módulo partição • Formando Agrupamentos inicias Semente 1  Semente 2 Semente k Encontrar descrições maximamente discriminantes  D11 D12 D21 … D1n1 D21 … D2n2  Atribuir os objetos à cada descrição Dij obtendo as classes Cij … C12 C1n1 C21 … C11 C21 C2n2

42. seleção de k(2) sementes aleatoriamente • encontrar descrições maximamente discriminantes de cada um dos k (2) grupos à partir das sementes Semente 1 Semente 2 a1=[Cobertura do Corpo={pelos, penas, pele úmida}] b1=[Cobertura do Corpo={penas, pele seca, pele úmida}] a2= [Cavidades do Coração = {3, 4}] b2= [Cavidades do Coração = {3, 4 imperfeitas}] b3= [Temperatura do Corpo= {não regulada}] a3= [Temperatura do Corpo= {regulada}]

43. Semente 1 Semente 2 • Atribuição dos objetos à cada descrição Dij obtendo as classes Cij a2= [Cavidades do Coração = {3, 4}] b2= [Cavidades do Coração = {3, 4 imperfeitas}] G1=Ext(a2)={Mamífero, Pássaro, Anfíbio-1, Anfíbio-2} G2=Ext(a2)={Réptil, Anfíbio-1, Anfíbio-2} • Obtendo descrições dos grupos • Tornando os grupos disjuntos G2 G1 Lista de exceções {Anfíbio-1, Anfíbio-2} G1={Mamífero, Pássaro} G2={Réptil}

44. Obtendo descrições maximamente específicas de cada grupo G1 = {Mamífero, Pássaro} G2 = {Réptil} a2= [Cobertura do Corpo = {pelos, penas}]  [Cavidades do Coração = {4}]  [Temperatura do Corpo = {regulada}]  [Fertilização = {interna}] b2= [Cobertura do Corpo = {pele seca}]  [Cavidades do Coração = {4 imperfeitas}]  [Temperatura do Corpo = {não regulada}]  [Fertilização = {interna}]

45. Agrupamento A (G1 + Anfíbio-1) Agrupamento B (G2 + Anfíbio-1) a1= [Cobertura do Corpo = {pelos, penas,pele úmida}]  [Cavidades do Coração = {3,4}]  [Temperatura do Corpo = {regulada,não regulada}]  [Fertilização = {interna}] a2= [Cobertura do Corpo = {pelos, penas}]  [Cavidades do Coração = {4}]  [Temperatura do Corpo = {regulada}]  [Fertilização = {interna}] C1 b1= [Cobertura do Corpo = {pele seca}]  [Cavidades do Coração = {4 imperfeitas}]  [Temperatura do Corpo = {não regulada}]  [Fertilização = {interna}] b2= [Cobertura do Corpo = {pele úmida, pele seca}]  [Cavidades do Coração = {3,4 imperfeitas}]  [Temperatura do Corpo = {não regulada}]  [Fertilização = {interna}] C2 • Inserindo o primeiro objetos da lista de exceções nos grupos e obtendo descrições maximamente específicas de cada grupo

46. Avaliação dos Agrupamentos obtidos em função da qualidade das descrições • Critério: a) para cada par de descrições de agrupamentos diferentes calcula-se o número de variáveis cuja interseção é vazia; b) faz-se a soma para cada par; o agrupamento escolhido é aquele cuja soma é máxima •  o Agrupamento B é selecionado • O segundo objeto da lista de exceções é inserido no agrupamento B • um processo semelhante ao descrito para a incorporação de anfíbio-1 é relizado • O processo descrito deve ser realizado para todas as 9 combinações de descrições maximamente discriminantes • Das 9 possibilidades, escolhe-se a melhor partição em dois grupos • Em seguida, novas sementes são selecionadas e o processo continua

47. Módulo Hierarquico • O módulo hierárquico construi uma árvore de classificação • Nessa árvore os arcos representam as descrições e nós a extensão de cada grupo {mamífero, pássaro, réptil, anfíbio-1, anfíbio-2} [Cobertura do Corpo = {pelos, penas}]  [Cavidades do Coração = {4}]  [Temperatura do Corpo = {regulada}]  [Fertilização = {interna}] [Cobertura do Corpo = {pele úmida, pele seca}]  [Cavidades do Coração = {3,4 imperfeitas}]  [Temperatura do Corpo = {não regulada}]  [Fertilização = {interna, externa}] {mamífero, pássaro} {réptil,anfíbio-1,anfíbio-2}

48. Classificação politética • Construção de árvore de cima para baixo • O módulo hierárquico usa o módulo partição como uma subrotina • o módulo partição fornece partições de vários tamanhos (2, 3 e 4) e seleciona a melhor • O módulo hierárquico construi um nível da árvore de cada vez • A construção da árvore finaliza quando a qualidade da partição obtida no nível seguinte não é melhorada

49. IFCS ••• BCS GfKl CSNA JCS SFC Congressos Bianuais da IFCS Congressos anuais das Associações Nacionais http://edfu.lis.uiuc.edu/~class/ifcs

50. Referências • Fisher, D.H. and Langley, P. W., “ Methods of Conceptual Clustering and their relation to Numerical Taxonomy”, Technical Report 85-26, University of California, Irvine, 1985 • Fisher, D. H., “ Knowledg Acquisition via Incremental Conceptual Clustering”, Machine Leaning, Vol2, No. 2, pp. 139-172, 1987 • Guenoche, ª , “Generalization and Conceptual Classification: Indices and Algorithms”, Proceedings of the Conference on Data Analysis, Learning symbolic and Numeric Knowledg, pp. 503-510, INRIA, Antibes, 1989 • Kodratoff, Y. and Ganascia, J., “Improving the Generalization Step in Learning,” Chapter in the book, Machine Learning:An Artificial Intelligence Approach, R. S. Michalski, J.G. Carbonell and T.M. Mitchell (Eds.), TIOGA Publishing Co., PaloAlto, pp. 215-244, 1983.