我們一般使用的三角板，都有一個角是直角 (90°) ，這種有一個角為直角的三角形，稱為直角三角形，如右圖 1 。

2. 我們一般使用的三角板，都有一個角是直角(90°)，這種有一個角為直角的三角形，稱為直角三角形，如右圖1。我們一般使用的三角板，都有一個角是直角(90°)，這種有一個角為直角的三角形，稱為直角三角形，如右圖1。 其中直角所對的邊，稱為斜邊，其餘的兩個邊都稱為股。兩股長度相等的直角三角形稱為等腰直角三角形。

3. 圖2是一張希臘為了紀念畢達哥拉斯於 1955 年 8 月 20 日發行的郵票，中間白色的三角形是一個直角三角形，而旁邊的三個正方形則是依照直角三角形的三邊長所畫出來的。假設每一個正方形中，小方格的面積皆為 1，我們可以觀察到上面兩個正方形的面積分別為 16 與 9，而下面的大正方形的面積為25，所以上面兩個正方形的面積和等於大正方形的面積。

4. 探討直角三角形中，各邊長之間的關係 已知三角形 ABC 為一個直角三角形，其三邊長分別為 a、b、c。今分別以 AB、AC、BC 為一邊各畫一個正方形，如右圖所示。試回答下列問題。 1. 觀察圖3∼圖6的變化過程，紫色部分的面積是否均相等？為什麼？ 紫色部分的面積均相等(同底等高)。

5. 2. 觀察圖7∼圖10的變化過程，橘色部分的面積是否均相等？為什麼？ 橘色部分的面積均相等(同底等高)。 3. 兩個小正方形的面積和是否等於大正方形的面積？ 是

6. 從問題探索 1 我們發現，兩個小正方形的面積和等於大正方形的面積，也就是說，利用直角三角形兩股長所畫出的正方形面積和，與利用斜邊長所畫出 的正方形面積相等，即 a2＋b2＝c2。接下來，我們再介紹另一種方法來說明這個性質。

7. 圖11中，三角形 ABC 是一個直角三角形，P、Q、R 分別為以三邊的長度所畫出的正方形。假設 BC 長為a、AC 長為 b、AB 長為 c，再取三個與三角形 ABC 一模一樣的三角形和邊長為 c 的正方形一起拼成一個邊長為a＋b 的正方形EFCD，所以 R 的面積為正方形 EFCD 面積減掉 4 個三角形 ABC 面積， 即：R 的面積＝(a＋b)2－4× ×a×b ＝a2＋2ab＋b2－2ab ＝a2＋b2 ＝P 的面積＋Q 的面積 因為 R 的面積＝c2，所以 c2＝a2＋b2。

8. 由上頁問題探索 1 中的圖形及利用乘法公式與面積的計算，我們可以推得以下結果： 勾股定理 任意直角三角形，其兩股的平方和 等於斜邊的平方。

9. 我國古代將直角三角形的斜邊稱為弦，較短的股稱為勾。周髀算經中有一段記載商高與周公的對話：「勾廣三，股修四，徑隅五」，意即：直角三角形的兩股長是 3 和 4，則斜邊長是 5。因而推出一個直角三角形三邊長的關係。我們把這個結果叫做勾股定理，也就是西方人所稱的畢達哥拉斯定理(簡稱畢氏定理)。

10. 例1 利用勾股定理求直角三角形的邊長 求出下列邊長 a、b 的值。 解 ⑴ 由勾股定理知：a2＝52＋122＝25＋144＝169， 所以 a＝± ＝±13， a 表示邊長，是一個正數，故 a＝13。 ⑵ 由勾股定理知：152＝92＋b2， b2＝152－92＝225－81＝144， 所以 b＝± ＝±12， b 表示邊長，是一個正數，故 b＝12。

11. 求出下列邊長 a、b 的值。 由勾股定理知： b2＝102－72 ＝100－49 ＝51 b 為 51 的正平方根， 所以 b＝251。 由勾股定理知： a2＝82＋62 ＝64＋36 ＝100 a 為 100 的正平方根， 所以 a＝10。

12. 例2 直角三角形斜邊上的高 在直角三角形 ABC 中，BD 為斜邊上的高， 則 BD 的長為多少？ 解 由勾股定理知：AC2＝AB2＋BC2＝102＋242＝676， 所以 AC＝± ＝±26(負不合)，得 AC＝26， 又直角三角形 ABC 的面積＝ ×AB×BC＝ ×AC×BD， 所以 ×10×24＝ ×26×BD， 即 BD＝

13. 在直角三角形 ABC 中，BD 為斜邊上的高，則 BD 的長為多少？ 由勾股定理知： BC2＝152－122＝225－144＝81， BC＝± ＝±9(負不合)，得 BC＝9， 又直角三角形 ABC 的面積＝ ×AB×BC＝ ×AC×BD， 所以 ×12×9＝ ×15×BD，即 BD＝

14. 例3 勾股定理的應用問題 如右圖，樂觀號的船帆是一塊直角三角形的帆布， 已知此帆布一股長15 公尺，斜邊長 17 公尺，帆船 手阿傑須將船帆拉離帆船桿 a 公尺，才能將整張 船帆展開。則 a 的值為多少？ 解 由勾股定理知：172＝152＋a2， a2＝172－152＝289－225＝64， 所以 a＝± ＝±8(負不合)，得 a＝8。

15. 通常我們說一臺 21 吋的電視機，表示這臺電視機螢幕對角的距離是 21 吋。現在有一臺電視機，它的螢幕長 20 吋、寬 15 吋，如右圖，請問這是幾吋的電視機(即求 AC 長)？ 本題是要求 AC 的長， 根據勾股定理得 AC2＝202＋152＝400＋225＝625， AC＝± ＝±25(負不合)， 所以螢幕長 20 吋、寬 15 吋的電視機是 25 吋的電視機。

16. 例4 勾股定理的應用問題 育萍拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。 ⑴ 已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺，則牆腳與梯頂 距離多少公尺？ ⑵ 接上題，若將梯頂下移 0.9 公尺，則梯腳滑移多 少公尺？ 解 ⑴ 參考右圖直角三角形 ABC，根據勾股定理得 2.52＝AB2＋0.72 AB2＝6.25－0.49＝5.76 AB＝±2.4(負不合) 得 AB＝2.4 所以牆腳與梯頂的距離為 2.4 公尺。

17. 例4 勾股定理的應用問題 育萍拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。 ⑴ 已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺，則牆腳與梯頂 距離多少公尺？ ⑵ 接上題，若將梯頂下移 0.9 公尺，則梯腳滑移多 少公尺？ 解 ⑵參考右圖直角三角形 EBD，根據勾股定理得 2.52＝(2.4－0.9)2＋BD2 BD2＝6.25－2.25＝4，BD＝±2(負不合) 得 BD＝2 所以 CD＝2－0.7＝1.3(公尺) 所以梯腳滑移了 1.3 公尺。

18. 曉倩拿著 1.3 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。已知牆腳與梯腳距離為 0.5 公尺，若將梯頂下移 0.7 公尺，則梯腳滑移多少公尺？ 原來的梯頂高度 下移後的梯頂高度＝1.2－0.7＝0.5 梯頂下移後的牆腳與梯腳距離為 所以梯腳滑移 1.2－0.5＝0.7公尺

19. 例5 勾股定理的應用問題 如右圖，有一正方體的盒子，其邊長 6 公分， 則A、D 兩點的距離為多少公分？ 解 分成下面兩個步驟求解： ⑴ 在正方體的盒子中，三角形 BCD 為直角三角形， 已知 BC＝CD＝6 公分， 根據勾股定理得到：BC2＋CD2＝BD2 BD2＝62＋62＝36＋36＝72 BD＝± (負不合)，得 BD＝ (公分)。

20. 例5 勾股定理的應用問題 如右圖，有一正方體的盒子，其邊長 6 公分， 則A、D 兩點的距離為多少公分？ 解 ⑵ 在正方體的盒子中，三角形 ABD 為直角三角形，∠ABD 為直角， 已知 AB＝6 公分，BD＝ 公分， 根據勾股定理得到：AB2＋BD2＝AD2 AD2＝62＋( )2＝36＋72＝108 AD＝± ＝± (負不合)，得 AD＝ (公分) 因此 A、D 兩點的距離為 公分。

21. 如右圖，有一個長方體的盒子，已知 AE＝15，AG＝25，EF＝12，則 FG 為多少？(提示：先求出 EG 的長) EG2＝AG2－AE2＝252－152＝400 EG＝± ＝±20(負不合)，所以 EG＝20 FG2＝EG2－EF2＝202－122＝256 FG＝± ＝±16(負不合)，所以 FG＝16

22. 例6 利用勾股定理在數線上畫出指定的點 在數線上畫出 的位置。 解 用三角板畫出兩股長都為 1 的直角三角形，如圖A。 由勾股定理可知斜邊長為 。 有了長為 的線段，就能畫出兩股長分別為 1、 的直角三角形，如圖B。 由勾股定理可知斜邊長為 。 以 O 為圓心，AD 長為半徑畫弧，在 O 的右邊交數線 於M 點，則 M 點即為 。 重複這個方式繼續下去，就可以畫出長度為 的線段，其中 a 為任意正整數。

23. 在數線上畫出 的位置。 用三角板畫出兩股長分別為 1 與 2 的直角三角形，如右圖。 由勾股定理可知斜邊長為 。 以 O 為圓心，AC 長為半徑畫弧，在 O 的右邊交數線於 N 點，則 N 點即為 。

24. 第一冊學過：如果 A(a)、B(b)是數線上的兩點，那麼 A 與 B 的距離是它們坐標差的絕對值，也就是 A(a)與B(b)的距離 AB＝∣a－b∣或∣b－a∣ 那麼直角坐標平面上兩點的距離怎麼求呢？我們來看下面的例題。

25. 例7 求水平線上兩點的距離 直角坐標平面上有A(2 , 0)、B(5 , 0)、C(－4 , 3)、D(2 , 3)四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。 ⑴ A、B　　　　　　　　　　　　⑵ C、D 解 A、B 兩點的 y 坐標相同，均為 0，故兩點在同一條水平線上， 如同在一數線上，所以它們的距離可以用 x 坐標差的絕對值來算， 即 AB＝∣5－2∣＝3。 ⑴

26. 例7 求水平線上兩點的距離 直角坐標平面上有A(2 , 0)、B(5 , 0)、C(－4 , 3)、D(2 , 3)四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。 ⑴ A、B　　　　　　　　　　　　⑵ C、D 解 ⑵ 同理，CD ＝∣2－(－4)∣＝6。

27. 直角坐標平面上有A(1 ,－2)、B(－6 ,－2)、C(－7 , 3)、D(－2 , 3)四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。 ⑴ A、B ⑵ C、D 因為 C、D 兩點的縱坐標都相同，均為 3， 所以 C、D 兩點的距離 CD＝│－7－(－2)│＝5 因為 A、B 兩點的縱坐標都相同，均為－2， 所以 A、B 兩點的距離 AB＝│1－(－6)│＝7

28. 例8 求鉛垂線上兩點的距離 直角坐標平面上有A(0 , 3)、B(0 ,－3)、C(－3 , 1)、D(－3 , 5)四點，請分別求出下列各小題中兩點的距離。 ⑴ A、B　　　　　　　　　　　⑵ C、D 解 A、B 兩點的 x 坐標相同，均為 0，故兩點在同一條鉛垂線上， 因此它們的距離可以用 y 坐標差的絕對值來算， 即 AB＝∣3－(－3)∣＝6。 ⑴

29. 例8 求鉛垂線上兩點的距離 直角坐標平面上有A(0 , 3)、B(0 ,－3)、C(－3 , 1)、D(－3 , 5)四點，請分別求出下列各小題中兩點的距離。 ⑴ A、B　　　　　　　　　　　⑵ C、D 解 ⑵ 同理，CD＝∣5－1∣＝4。

30. 直角坐標平面上有M(1 , 3)、N(1 ,－2)、P(－2 ,－1)、Q(－2 ,－5)四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。 ⑴ M、N ⑵ P、Q 因為 M、N 兩點的橫坐標都相同， 均為 1，所以 M、N 兩點的距離 MN＝│3－(－2)│＝5 因為 P、Q 兩點的橫坐標都相同，均為－2 所以 P、Q 兩點的距離 PQ＝│－1－(－5)│＝4

31. 由例 7 和例 8 我們可以知道，在直角坐標平面上相異兩點，若 y 坐標相同，則兩點所成的直線為水平線，這兩點的距離為它們 x 坐標差的絕對值；若x 坐標相同，則兩點所成的直線為鉛垂線，這兩點的距離為它們 y 坐標差的絕對值。 如果在直角坐標平面上有 A(－3 ,－1)、B(2 , 5)兩點，它們不在同一水平線上或同一鉛垂線上，我們可以透過作水平線和鉛垂線，找到一個直角三角形，再利用勾股定理求出兩點的距離，我們來看下面的問題探索。

32. 利用勾股定理求兩點間的距離 在直角坐標平面上有 A(－3 ,－1)、B(2 , 5)兩點，回答下列問題。 1. 在右圖的直角坐標平面上畫出過 A 點平行於 x 軸的水平線，過 B 點平行於 y 軸的鉛垂線。 如右圖 2. 設兩直線相交於 C 點，求 C 點的坐標。 A、C 兩點的 y 坐標都是－1， B、C 兩點的 x 坐標都是 2，所以 C 點的坐標為(2 ,－1)。

33. 3. 求 A、B 兩點的距離。 從圖中可以看出，三角形 ABC 是直角三角形，AB 為斜邊，AC、BC 為兩股， AC＝∣(－3)－2∣＝5、BC＝∣5－(－1)∣＝6， 根據勾股定理可以得到：AB2＝AC2＋BC2＝52＋62 ＝25＋36＝61， AB＝± (負不合)，所以 AB＝ 。

34. 由問題探索 2 可知，如果 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)是直角坐標平面上的兩點且不在同一水平線或鉛垂線上，我們可以找出一點 C(x2 , y1)，使得三角形 ABC 為一直角三角形， 且 AC＝︱x2－x1︱，BC＝︱y2－y1︱， 所以由勾股定理可以得到： 直角坐標平面上兩點間的距離公式 如果 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)是直角坐標平面上的兩點， 則 A 與 B 的距離

35. 例9 利用公式求兩點間的距離 在直角坐標平面上有 C(－4 , 6)、D(5 ,－3)兩點，則 CD＝？ 解 CD

36. 1. 在直角坐標平面上有 E(6 , 4)、F(－3 ,－7)兩點，則 EF＝？ EF 2. 利用距離公式求下列各小題兩點間的距離，並與例 7 ⑴、 例 8 ⑵比較答案是否相同？ ⑴ A(2 , 0)、B(5 , 0) ⑵ C(－3 , 1)、D(－3 , 5) ⑴ AB ⑵ CD

37. 1 勾股定理 任意直角三角形，其兩股的平方和等於斜邊的平方。 例 如右圖，直角三角形 ABC 中，a2＋b2＝c2。 註： 常見的直角三角形三邊長有 3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

38. 2 直角坐標平面上兩點間的距離公式 如果 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)是直角坐標平面上的兩點， 則 A 與 B 的距離 。 例 直角坐標平面上有 A(－3 ,－1)、B(2 , 5)兩點，

39. 1 已知一直角三角形的兩股長分別為 、7，求斜邊長。 斜邊長

40. 2 已知一直角三角形的兩邊長分別為 6、8，求第三邊的長。 若 6、8 分別為直角三角形的兩股，則斜邊長為 若 6 為直角三角形的一股，8 為斜邊長，則另一股為 所以第三邊的長為 10 或

41. 3 求下列圖形中，英文字母 a、b、c、d 所代表的線段長度。 ⑴ ⑵

42. 如右圖，三角形 ABC 為一等腰三角形，已知 AB＝AC＝13公分，AD 垂直 BC，且 BD＝5 公分，則三角形 ABC 的面 積是多少平方公分？ 4

43. 5 王伯伯有一塊田地，拿來種花、蔬菜和番茄，若他想將田地的外圍用鐵絲圍起來，如右圖，則他至少要準備多少公尺的鐵絲？ 如右圖， AG＝AD－GD＝EF－GD＝7－4＝3 BG＝4 所以田地的外圍＝AB＋BC＋CE＋EF＋AF ＝5＋4＋7＋7＋3＝26(公尺)

44. 6 直角坐標平面上有 A(3 ,－2)、B(－4 ,－5)、C(0 , 6)、D(－9 , 12)四點，則AB、BC、CD、AD 分別是多少？

45. 7 直角坐標平面上有 A(3 ,－2)、B(－4 ,－5)、C(0 , 6)、D(－9 , 12)四點，則AB、BC、CD、AD 分別是多少？ P 點坐標為(3 , 3)、Q 點坐標為(－3 , －5) 則 P、Q 兩點的距離 ＝10 個單位長

46. 勾股定理的證明：出入相補原理 劉徽，三國時期魏國人，他在魏 景元四年為九章算術作註解。在他的九章算術注文中，劉徽有系統地應用圖形和模型等幾何直觀的方法(也就是將各種圖形相互拼湊，相當於現在一般平面幾何學中的平行移動和疊合)，來處理 各種數學問題。他利用「出入相補原理」，把圖形分割成若干塊後重新拼合，成功地證明了「勾股定理」。現在說明如下：

47. 1. 圖1為分別以直角三角形三邊勾、股、弦為邊長所構成的三個小正方形。 2. 將以勾、股為邊長的兩個正方形拼在一起，如圖2。 3. 將以弦為邊長的正方形疊到圖2上，如圖3的虛線正方形。 4. 依照圖3，將標示「出」的部分移到對應「入」的位置，重新組合成一個正方形，如圖4。

48. 我們可以看出，以「股」為邊長的是一個綠色的正方形，以「勾」為邊長的是一個藍色的正方形。經過出入相補之後，得到一個以「弦」為邊長的大正方形。即是：以「勾」為邊長的正方形面積＋以「股」為邊長的正方形面積＝以「弦」為邊長的正方形面積，我們可以看出，以「股」為邊長的是一個綠色的正方形，以「勾」為邊長的是一個藍色的正方形。經過出入相補之後，得到一個以「弦」為邊長的大正方形。即是：以「勾」為邊長的正方形面積＋以「股」為邊長的正方形面積＝以「弦」為邊長的正方形面積， 也就是：勾2＋股2＝弦2，即是「勾股定理」或 「畢達哥拉斯定理」： 　　任意一個直角三角形中，兩股的平方和等於其斜邊的平方。