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PHYSIQUE GENERALE I http://www.unil.ch/fbm/page23738.html. Livres J. Kane, M. Sternheim, "Physique", Dunod, Paris 1999, 2004 Isabelle Derycke, Jean-Pol Vigneron, Physique Kane/Sternheim « Exercices et problèmes résolus » Dunod, Paris, 2001.

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physique generale i http www unil ch fbm page23738 html
PHYSIQUE GENERALE Ihttp://www.unil.ch/fbm/page23738.html

Livres

J. Kane, M. Sternheim, "Physique",

Dunod, Paris 1999, 2004

Isabelle Derycke, Jean-Pol Vigneron,

Physique Kane/Sternheim

« Exercices et problèmes résolus »

Dunod, Paris, 2001

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • L’hypothèse essentielle faite dans ce chapitre est qu’il n’existe pas de forces de frottement entre les couches d’un fluide en déplacement les unes par rapport aux autres. Ceci est vrai pour les fluides au repos et pour les fluides parfaits (non visqueux) en mouvement que nous considérons ici.
  • La seconde hypothèse est que le fluide est incompressible.
physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique1
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Mécanique Newtonienne pour les fluides:

Au lieu de la masse m et la force F:

Masse volumique  = m / V [kg / m3]

Pression P = F / A [Pa = 1 N m-2]

1 atmosphère = 1 atm = 1, 013 x 105 Pa

= 1, 013 bar

= 760 Torr

= 760 mm Hg

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique2
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Le principe d’Archimède exprime que tout corps plongé dans un fluide subit de la part de ce fluide une force ou poussée dirigée vers le haut égale au poids de fluide déplacé:

Elément de fluide de volume V et masse volumique 0

=> La masse de l’élément considéré m = 0V et son poids w0 = 0V g

En équilibre : la poussée B doit être égale et opposée au poids: B = w0

Alors

B = 0g V

où 0 est la masse volumique de fluide et V le volume immergé de l’objet.

La poussée B est la force exercée par le restant du fluide pour maintenir l’élément au repos.

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique3
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Supposons:

- l’élément imaginaire du fluide soit remplacé par un objet de volume V

suspendu à une corde

- la masse volumique de l’objet est supérieure à celle du fluide

=> Les forces appliquées à l’objet sont

le poids w = V g, la tension T et la poussée B.

Le fluide ne sait pas distinguer l’objet immergé du volume de fluide qu’il remplace

=> B = 0g V

En équilibre : T = w - B

Alors T = g V - 0g V = ( - 0 )g V (13.1)

La tension dans la corde est réduite par le poids du fluide déplacé.

Le principe d’Archimède

  • => Méthode commode de mesurer des masses volumiques
physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique4
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • L’équation de continuité exprime qu’il y a conservation du débit Q:

Q = ∆ V / ∆ t [m3 s-1]

c’est-à-dire que la quantité de fluide entrant dans un tube est égale à la quantité qui en sort:

Q1= Q2(13.2)

Le débit est égal au produit de la vitesse v par la section droite A du conduit:

(i) ∆ V = A ∆ x = A v ∆ t (v = ∆ x / ∆ t => ∆ x = v ∆ t )

(ii) ∆ V = Q ∆ t => Q ∆ t = A v ∆ t => Q = Av (13.3)

Dans le cas d’un conduit dont la section change de A1 en A2 , l’équation de continuité prend la forme

A1v1 = A2 v2. (13.4)

Le produit de la section du conduit par la vitesse du fluide est constant.

=> Si la section A décroît, la vitesse augmente!

A condition de l’écrire en termes de vitesse moyenne, cette équation reste valable lorsqu’on se trouve dans la situation où les couches du fluide à proximité des parois du tube se déplacent moins vite que celles de la région centrale.

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique5
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Le théorème de Bernoulli

exprime que la somme de la pression et de l’énergie mécanique par unité de volume est constante tout au long d’un tube de courant. Il est valable dans les conditions suivantes:

Le fluide doit être

- incompressible,

- non visqueux.

- L’écoulement est laminaire et non turbulent.

- La vitesse du fluide en un point quelconque ne change pas au cours du temps (le régime d’écoulement stationnaire).

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique6
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Théorème de Bernoulli:

Considérons un fluide dans une portion de tube de courant de section variable (Fig. 13.4):

L’équation de continuité: A1 v1 = A2 v2 => v2 > v1

Le fluide est incompressible: Le volume qui traverse A1 pendant le temps ∆ t doit être égale

au volume qui traverse A2 pendant ce même intervalle: A1 ∆l1= A2 ∆l2= ∆ V

Appliquons la conservation de l’énergie: ∆ K + ∆ U = Wext

Le fluide à gauche de A1 exerce une pression P1 sur le fluide situé à droite et l’oblige à se déplacer de ∆l1

Le fluide se déplace une distance ∆l1=> le travail W1 = F ∆l1devient avec F = P1 A1:

W1 = P1 A1 ∆ l1

Le fluide situé à droite de A2 exerce une pression P2 en sens opposé du mouvement du fluide et le travail accomplit équivaut W2 = -P2 A2 ∆ l2

Le travail sur le fluide dans le tube s’écrit

W = W1 + W2 = P1 A1 ∆ l1 -P2 A2 ∆ l2 = P1 ∆ V - P2 ∆ V

Le travail doit être égal à l’augmentation de l’énergie potentielle ∆ U du fluide:

Le déplacement de la masse m =  ∆ V de l’altitude y1 à y2donne une variation de l’énergie potentielle: ∆ U =  ∆ V g (y2 -y1). (∆ U= m g h)

La variation de l’énergie cinétique s’écrit

∆ K = (m v12/2 ) - (m v22/2 )= (1/2)  ∆ V (v22 - v12 )

D’après le théorème de la conservation d’énergie:

(1/2)  ∆ V (v22 - v12 )+  ∆ V g (y2 -y1) = P1 ∆ V - P2 ∆ V

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique7
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Théorème de Bernoulli:

(1/2)  ∆ V (v22 - v12 )+  ∆ V g (y2 -y1) = P1 ∆ V - P2 ∆ V

En divisant par ∆ V, on obtient:

(1/2)  (v22 - v12 )+ g (y2 -y1) = P1 - P2 (13.5)

Après réorganisation des termes on obtient le théorème de Bernoulli:

P1+ ( v12/2) +  g y1= P2+ ( v22/2 ) +  g y2(13.6)

La somme de la pression et de l’énergie mécanique par unité de volume,

c’est-à-dire la quantité

P + ( v2/2 )+  g y

est constante tout le long du tube de courant.

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique8
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Conséquences statiques du théorème de Bernoulli:

fluide au repos => la vitesse v est nulle et le terme de l’énergie cinétique par unité de volume ∆ K =  v2/2 est aussi nulle.

Pa +  g ya +  v2/2 = Pb +  g yb +  v2/2

Fluide au repos dans un récipient (Fig. 13.5):

Calculons la valeur de P +  g yau points A et B:

Pression en A : Patm; pression en B: PB

Comme v = 0

Patm +  g H = PB +  g yB

avec H - yB = h => PB = Patm +  g h (13.7)

  • La pression à une profondeur h d’un fluide au repos est donc égale à la pression à la surface libre augmentée de la quantité  g h qui représente la densité d’énergie potentielle correspondant à l’altitude de la surface libre.

2. La pression exercée à une profondeur h est égale à la somme de la pression atmosphérique et de la quantité  g h qui représente la pression due au poids de la colonne de liquide se trouvant au-dessus de B.

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique9
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Conséquences statiques du théorème de Bernoulli:
  • Dans un fluide au repos, la pression est la même en tous les points situés à une même profondeur.
  • En particulier, comme les pressions aux point A et E sont toutes deux égales à la pression atmosphériques, le niveau de la surface du liquide est le même en ces deux points.
  • Les surfaces libres des liquides au repos dans des vases communiquants de forme quelconque doivent être au même niveau.
physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique10
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Le manomètre à tube ouvert

L’une des extrémités du tube est ouverte à l’aire libre, l’autre est en contact avec le gaz (ou le liquide non-missible) dont on veut mesurer la pression.

Si les hauteurs sont mesurées à partir du bas du tube en U,

on applique de nouveau le

théorème de Bernoulli: Pa +  g ya +  v2/2 = Pb +  g yb +  v2/2

la quantité Pa +  g ya vaut P +  g y1 à la surface du côté gauche de la colonne

et Patm +  g y2 du côté droit.

En égalent ces deux quantités, on obtient:

P +  g y1 = Patm +  g y2ou P=Patm +  g ( y2 - y1 ) : P=Patm + g h(13.8)

La détermination de la pression P d’un gaz se ramène donc à la mesure de la différence h des hauteurs des deux colonnes du tube en U.

P: pression absolue, P -Patm =  g h : pression de jauge

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique11
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Le manomètre à tube fermé

Exercice 13.38

Le procédé de construction d’un baromètre est le suivant. On rempli un long tube avec du mercure pour le plonger ensuite, l’ouverture vers le bas, dans un récipient de mercure. (Fig. 13.16). (a) Montrer que la pression atmosphérique Patm est égale à  g h, où  est la masse volumique du mercure. (b) Quelle est la hauteur h si Patm = 1,013 x 105 Pa?

théorème de Bernoulli (v = 0): P +  g y1 =Patm +  g y2

(a) La pression Pbà l’intérieur du tube vaut zéro!

Patm =  g h

(b) h = Patm / ( g ) et avec Patm = 1,013 x 105 Pa;  = 13600 kg m-3

on calcule

h = 1, 013 x 105 / ( 13600 x 9.8) (kg m s-2 m-2 / (kg m-3 m s-2) [m]

h = 0, 760 m = 760 mm Hg

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique12
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Mesure de la tension artérielle par cathétérisation

(Fig. 13.7)

La pression du sang PB vaut:

théorème de Bernoulli (v = 0): PB + s g h’=Patm +  g h

=> PB =Patm +  g h- s g h’ ( 13.9)

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique13
PHYSIQUE GENERALELa Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Conséquences dynamiques du théorème de Bernoulli

Le terme de l’énergie cinétique  v2/2n’est pas toujours négligeable.

Considérons un exemple simple avec l’écoulement horizontal, où les termes gravitationnels dans l’équation de Bernoulli sont égaux et se compensent

(Fig. 13.10). Il reste

théorème de Bernoulli: PB +  vB2/2=P0 +  v02/2

où PB et vB sont respectivement la pression et la vitesse entre les feuilles

et P0 et v0 la pression et la vitesse en dehors de la région définie par les deux feuilles.

En réarrangeant, il vient

PB - P0 =(1/2) (vB2-v02 )

Comme la vitesse de l’air vB entre les feuilles est supérieure à la vitesse v0, le second membre est positif. Ceci entraîne que P0 doit être supérieur à PB. Il y a donc une différence de pression qui provoque un rapprochement des deux feuilles.

physique generale la m canique des fluides non visqueux chapitre 13 kane et sternheim physique14
PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux(chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique)
  • Le théorème de Bernoulli s’écrit

Pa +  g ya +  v2/2 = Pb +  g yb +  v2/2

et exprime que la somme de la pression et de l’énergie mécanique par unité de volume est constante tout au long d’un tube de courant. Il est valable dans les conditions suivantes:

le fluide doit être incompressible, non-visqueux, l’écoulement laminaire et non turbulent et le régime d’écoulement stationnaire. Si le fluide est au repos, la pression à une hauteur h du fluide est égale à la pression à la surface libre augmentée de la quantité  g h. Par conséquent, la pression est la même en tous les points situés à une même profondeur. On désigne par P la pression absolue alors que la différence entre P et la pression atmosphérique est la pression de jauge.

qcm 13
QCM 13
  • Q1 Le rayon d’une conduite d’eau horizontale décroît graduellement de sorte que finalement la section est réduite d’un facteur 3. Dans la portion la plus large du tuyau, la vitesse moyenne vaut v1 = 0,029 m/s et la pression vaut P1. Trouver la pression P2 (en Pa) dans la partie étroite.

a) P1 - 2,5

b) P1 - 3,6

c) P1 - 4,36

d) P1 - 5,48

e) pas assez d’éléments pour répondre

qcm 131
QCM 13
  • Q1 Le rayon d’une conduite d’eau horizontale décroît graduellement de sorte que finalement la section est réduite d’un facteur 3. Dans la portion la plus large du tuyau, la vitesse moyenne vaut v1 = 0,029 m/s et la pression vaut P1. Trouver la pression P2 (en Pa) dans la partie étroite.

a) P1 - 2,5

b) P1 - 3,6

c) P1 - 4,36

d) P1 - 5,48

e) pas assez d’éléments pour répondre

Bernoulli (tube de Venturi): P1 - P2 =  v12/2 [(A12/A22) - 1]

Avec eau = 1000 kg/m3, v1 = 0,029 m/s, et [(A12/A22) - 1] = 9 -1 = 8

on obtient

P1 - P2= 0,42 x 8 = 3,36 Pa, alors P2 = P1 - 3,36 Pa

solution b)

qcm 132
QCM 13
  • Q3 Au moyen d’un tuyau d’arrosage de rayon r = 1,5 cm, on remplit un seau de contenance V = 11.3 litres en 19 secondes. Calculer la vitesse moyenne en m/s du fluide.

a) 1,7

b) 1,42

c) 1,18

d) 0.84

e) pas assez d’éléments pour répondre

qcm 133
QCM 13
  • Q3 Au moyen d’un tuyau d’arrosage de rayon r = 1,5 cm, on remplit un seau de contenance V = 11.3 litres en 19 secondes. Calculer la vitesse moyenne en m/s du fluide.

a) 1,7

b) 1,42

c) 1,18

d) 0.84

e) pas assez d’éléments pour répondre

Equation du continuité: Q = ∆V / ∆t = A v => v = ∆V / (∆t A)

Alors, avec A = π r2

v = 0,0113m3/ ( 19 s x 7,07 x 10 -4 m2) = 0,84 m/s

solution d)

qcm 134
QCM 13
  • Q4 Un garçon tient dans ses mains une pierre de poids

w = 122 N et de volume V = 1,8 litres. S’il place sa main et la pierre sous l’eau, qu’elle force w’ (en N) doit-il exercer pour maintenir la pierre?

a) 104

b) 116

c) 128

d) 140

e) pas assez d’éléments pour répondre

qcm 135
QCM 13
  • Q4 Un garçon tient dans ses mains une pierre de poids

w = 122 N et de volume V = 1,8 litres. S’il place sa main et la pierre sous l’eau, qu’elle force w’ (en N) doit-il exercer pour maintenir la pierre?

a) 104

b) 116

c) 128

d) 140

e) pas assez d’éléments pour répondre

Principe d’Archimède:

En équilibre: w’ = T = w - B,

B = 0 g V, avec 0 la masse volumique de l’eau

w’ = ( - 0) g V

m = w/g = 122 N / 9,8 m s-2 = 12, 45 kg

 = m/V = 12,45 kg / 0,0018 m3 = 6916 kg / m3

w’ = (6916 -1000) (kg /m3) 9,8 (ms-2) 0,0018 m3 = 104,36 N solution a)

qcm 136
QCM 13
  • Q7 Un dinosaure de masse m (2,2 x 106 kg) et d’un volume de 2 000 m3 est en train de patauger dans une eau profonde. 30% de son corps sont immergés dans l’eau. Quel est le poids que les jambes du dinosaure doivent supporter?

a) 1,29 x 107 N

b) 6,47 x 107 N

c) 2,2 x 107 N

d) 1,57 x 107 N

e) pas assez d’éléments pour répondre

qcm 137
QCM 13
  • Q7 Un dinosaure de masse m (2,2 x 106 kg) et d’un volume de 2 000 m3 est en train de patauger dans une eau profonde. 30% de son corps sont immergés dans l’eau. Quel est le poids que les jambes du dinosaure doivent supporter?

a) 1,29 x 107 N

b) 6,47 x 107 N

c) 2,2 x 107 N

d) 1,57 x 107 N

e) pas assez d’éléments pour répondre

Principe d’Archimède: B = 0 g V, avec 0 la masse volumique de l’eau

w = mg = 2,2 x 106 kg x 9,8 ms-2 = 2,16 x 107 N,

V = 2000 m3, 30% dans l’eau => Vl’eau = 0,3 x 2000 = 600 m3

B = 1000 (kg/m3 ) 9,8 ms-2 600 m3 = 5,8 x 106 N

Poids à supporter:

w’ = w - B = 2,16 x 107 N - 0,58 x 107 N = 1,58 x 107 N

solution d)

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • La déformation d’un fluide fait apparaître de la chaleur, comme si les particules qui le composent subissaient des frottements. Un fluide capable de dissiper de cette façon son énergie cinétique est un fluide visqueux.
  • Considérons deux lames planes, d’aire A, séparées par un film lubrifiant d’épaisseur ∆ y. Si l’on veut faire glisser l’une des lames par rapport à l’autre et lui conserver une vitesse constante ∆ v, il est nécessaire de lui appliquer une force F proportionnelle à ∆ v,

à l’aire A des surfaces en contact, et inversement proportionnelle à l’épaisseur du film de fluide. On écrit

F =  A ∆ v /∆ y

définissant ainsi le coefficient de viscosité  du fluide.

Celui-ci s’exprime en Pa s.

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique1
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Le débit d’un fluide dans une canalisation de section droite A est le volume de fluide s’écoulant, par unité de temps, à travers cette section. Généralement, la vitesse du fluide n’est pas uniforme sur la section de la canalisation: la vitesse du fluide est nulle sur la paroi interne et maximale au centre de la section circulaire, sur l’axe de tube.
  • On montre que le débit Q est égal au produit de la vitesse moyenne du fluide sur la section droite et de l’aire A de celle-ci:

Q = vmoy A.

  • Pour une canalisation cylindrique, on peut montrer de plus que la vitesse maximale du fluide, atteinte sur l’axe, est le double de la vitesse moyenne:

vmax = 2 vmoy.

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique2
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Pour qu’un fluide visqueux reste en mouvement dans un tube à section constante, il est nécessaire de maintenir entre les extrémités de celle-ci une différence de pression ∆ P = P1 - P2, aussi appelée perte de charge.
  • La loi de Poiseuille

Considérons un fluide s’écoulant dans un tube cylindrique de rayon R, suffisamment lentement pour que le régime soit laminaire. Cherchons l’expression de la vitesse du fluide à une distance r de la ligne centrale passant par le milieu du tube (figure 14.4). Au sein du fluide, délimitons un cylindre de rayon r (avec r < R) et de longueur l.

Ce cylindre est soumis à des forces de pression sur ces deux bases A1 et A2 avec la résultante F = π r2 (P1 - P2)

Ce cylindre de fluide est ralenti par les forces de frottement visqueux sur sa paroi latérale dont l’aire est égale à 2π r l: F = -  (2π r l) dv/dr.

A l’équilibre: π r2 (P1 - P2) = -  (2π r l) dv/dr,

ou dv/dr = - r(P1 - P2) / (2 l)

L’intégration donne ∫ dv = [- (P1 - P2) / (2 l)] ∫r dr

v = [- (P1 - P2) / (2 l)] (r2 /2) + constante

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique3
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Les conditions limites donnent que si r = R (sur des parois du tube), la vitesse est nulle, d’oùconstante = [(P1 - P2) / (2 l)] (R2 /2)

Avec v = [- (P1 - P2) / (2 l)] (r2 /2) + constante on peut donc écrire

v = [(P1 - P2) / (4 l)] ( R2 - r2)

Si r = 0, c’est-à-dire au centre du tube, la vitesse est maximum et vaut

vmax= [(P1 - P2) / (4 l)] (R2) (14.4)

L’expérience montre que la vitesse moyenne du fluide est égale à la moitié de cette vitesse maximum

vmoy = (1/2) vmax = [(P1 - P2) / (8 l)] (R2) = ∆ P R2 / (8  l); (14.5)

L’équation de continuité montre que le débit est égal à

Q = A vmoy = A∆ P R2 / (8  l) = π R2∆ P R2 / (8  l)

=> Q = ∆ P π R4 / (8  l ) ( loi de Poiseuille) (14.6)

La loi de Poiseuille indique qu’une viscosité élevée entraîne des débits faibles.

La dépendance en R4 indique que des faibles variations du rayon des vaisseaux sanguins entraînent d’importantes variations dans le débit. Si le rayon d’un artère diminue (artériosclérose), alors ∆ P doit être grand pour maintenir un débit constant et le cœur travaille plus!

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique4
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Dissipation de l’énergie mécanique

Calculons la puissance dissipée par les forces de frottement visqueux. Cette puissance est égale à celle qu’il faut fournir pour maintenir l’écoulement.

La résultante des forces appliquées à une tranche de fluide (figure 14.4) est égale à la différence de pression multipliée par la section A:

F = (P1 - P2) A = A ∆ P

  • La puissance moyenne requise pour maintenir le régime permanent de l’écoulement est donnée par

 = F vmoy =∆ P A vmoy

Comme A vmoy représente le débit Q, on obtient:

 = ∆ P Q (14.7)

Avec l’écoulement dans un tube cylindrique de rayon R, on a A = π R2

et l’équation (14.7) devient

 = ∆ P (π R2 )vmoy (tube cylindrique) (14.8)

Ce résultat s’applique particulièrement bien à l’écoulement dans les vaisseaux sanguins.

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique5
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Ces résultats ne s’appliquent qu’en cas d’écoulement laminaire.

Un écoulement (dans un tube de rayon R) est laminaire lorsque

le nombre de Reynolds NR = 2 vmoy R /  , est inférieur à 2000.

2000 < NR < 3000 , l’écoulement est instable (passage du régime laminaire au régime turbulent et vice versa).

Il est turbulent lorsque NR prend des valeurs supérieures à 3000.

physique generale ecoulement des fluides visqueux chapitre 14 kane et sternheim physique6
PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Résistance à l’écoulement

La résistance à l’écoulementRf (appelée en physiologie la résistance vasculaire)

est définie comme étant le rapport de la perte de charge au débit:

Rf= ∆ P / Q, (14.11)

Si l’écoulement est laminaire, avec Q = ∆ P π R4 / (8  l )

et la section du tube est circulaire, on obtient

Rf = 8  l / π R4, (écoulement laminaire)

où l est la longueur du tube, R son rayon intérieur et  la viscosité.

L’unité de la résistance à l’écoulement : Rf [kPa s m-3]

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PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • La résistance vasculaire d’un système d’artères, comme par exemple le lit mésentérique d’un chien, peut être mesurée ou calculée. Le calcul se fait en considérant séparément chaque catégorie d’artère. Supposons que toutes les artères de même calibre sont en parallèle:

Le débit à travers chaque artère est le même. Si Q1 est le débit à travers une artère de résistance, on obtient avec Rf= ∆ P / Q (14.11) : Q1= ∆ P / Rf1

∆ P représente ici la différence de pression entre les extrémités de toutes les artères du même type. S’il y a N artères identiques, le débit total vaut

Q = Q1 + Q2 + Q3 + …+ QN ou Q= N∆ P / Rf1

Si la résistance équivalenteRp de cet arrangement est définie par Q= ∆ P / Rp

Rp= Rf1 / N, (14.13)

Considérons N portions du lit vasculaire assemblées en série et supposons connue la résistance vasculaire de chacune d’elles. La perte de charge totale est donnée par

∆ P = ∆ Pf1 + ∆ Pf2 + ……+ ∆ PfN

Chaque chute de pression individuelle, par exemple ∆ P1= Q Rf1

est égale au débit totale Q multiplié par la résistance de chaque portion. La somme de toutes les chutes de pression vaut ∆ P = Q (Rf1 + Rf2 +….. + RfN )

Alors la résistance vasculaire Rs de ces vaisseaux branchés en série est égale à la somme des résistances: Rs= Rf1 + Rf2 +….. + RfN ) (14.14)

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PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Forces de résistances visqueuse
  • Considérons un objet sphérique de rayon R se déplaçant avec une faible vitesse v à travers un fluide de viscosité  et de masse volumique 0 . En régime laminaire, on trouve que la force de résistance visqueuse exercée sur un objet en mouvement doit avoir a forme

FR =  v R  , (14.14)

 est un facteur numérique sans dimension.

Pour une sphère:  = 6π=> FR = 6π v R  (14.16) (loi de Stokes)

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PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Forces de résistances visqueuse
  • Illustration:
  • Calculons la vitesse limite vl d’une petite sphère de rayon R et de masse volumique  en chute dans un fluide de viscosité  et de masse volumique 0 . La vitesse limite est atteinte lorsque la résistance FR compense exactement le poids w et la poussée d’Archimède B.
  • Le volume de la sphère est V = (4/3) π R3, son poids est w =  Vg,

et B = 0 V g . Lorsque la vitesse limite vl est atteinte, la force de résistance visqueuse vaut

FR =  v R  , (14.14)

A cette vitesse on a FR = w - B ou

6π vl R  = (4/3) π R3  g -(4/3) π R3 0 g

=> vl = (2/9) (R2/ ) g ( - 0)

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PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux(chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique)
  • Centrifugation
  • L’échantillon est soumise à une accélération centripète ar = 2 r.

Poids effectif d’un objet de masse m en rotation: we = m(g- ar).

ar peut prendre des valeurs de 500.000 g => g « ar

we~ - m ar=> ge = 2 r. Sous l’effet de ce poids effectif élevé, les molécules plus denses que le solvant vont se déplacer vers le fond du récipient avec une vitesse limite ou sédimentation de loin supérieure à celle que existerait dans une solution au repos.

Pour trouver la vitesse de sédimentation, on peut employer la formule

vl = (2/9) (R2/ ) g ( - 0) (14.17) et remplacer g par ge

On peut aussi employer la forme générale pour la force de résistance visqueuse FR =  v R . (14.14)

Si les particules ont une masse m et un volume V, leur masse volumique vaut  = m/V et leur poids effectif est we = m ge. Si la masse volumique du fluide est 0 , la poussée d’Archimède vaut B = 0ge V = (0 / ) m ge

A la vitesse de sédimentation vs, les forces s’équilibrent. Ceci entraîne FR = we - B, ou

 vs R  = m ge - (0 / ) m ge

=> vs = (m ge /  R ) ( 1 - 0 / ) (14.20)

C’est l’expression de la vitesse de sédimentation des molécules en solution soumises à une accélération effective ge = 2 r

qcm 14
QCM 14
  • Q1 Considérer l’écoulement du sang dans une artère de rayon r = 1,6 mm. Jusqu’à quelle vitesse moyenne (en m/s) du sang l’écoulement reste-t-il laminaire?

(sang= 1060 kg/m3, sang = 3 x 10-3 Pa s)

a) 1,76

b) 0,79

c) 0,83

d) 0,88

e) 0,94

qcm 141
QCM 14
  • Q1 Considérer l’écoulement du sang dans une artère de rayon r = 1,6 mm. Jusqu’à quelle vitesse moyenne (en m/s) du sang l’écoulement reste-t-il laminaire?

(sang= 1060 kg/m3,sang= 3 x 10-3 Pa s)

a) 1,76

b) 0,79

c) 0,83

d) 0,88

e) 0,94

nombre de Reynolds: NR = 2 vmoy R /  = 2000.

  • vmoy= 2000  / (2 R ) = (2000) 3 x 10-3 Pa s / (2x 1060 kg m-3 x 1,6 x 10-3 m)

vmoy = 1,77 m s-1

solution a)

qcm 142
QCM 14
  • Q2 Connaissant le gradient de pression ∆ p/ l (570 Pa/m) d’un vaisseau sanguin ainsi que son rayon r = 1.3 mm, calculer le nombre de Reynolds. Supposer l’écoulement laminaire.

a) 30

b) 37

c) 44

d) 53

e) 62

qcm 143
QCM 14
  • Q2 Connaissant le gradient de pression ∆ p/ l (570 Pa/m) d’un vaisseau sanguin ainsi que son rayon r = 1.3 mm, calculer le nombre de Reynolds. Supposer l’écoulement laminaire.

a) 30

b) 37

c) 44

d) 53

e) 62

NR = 2 vmoy R / ; vmoy = ∆p R2 / 8  l;

  • NR = 2 ∆ p R3 / (8 2 l)
  • = 2 x 1060 (kg/m3) 570 (Pa/m) (1,3 x 10-3)3 (m3) / (8 x (2,084 x 10-3)2(Pa s)2
  • NR = 76