第四章

第四章 空间力系

若力系中各力的作用线在空间任意分布，则该力系称为空间任意力系，简称空间力系。若力系中各力的作用线在空间任意分布，则该力系称为空间任意力系，简称空间力系。

本章研究的主要内容 分解空间力偶系空间力系空间汇交力系简化导出平衡方程。应用: 重心、平行力系中心

§4–1空间汇交力系 平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？对空间多个汇交力是否好用？用解析法又如何？

1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法

间接（二次）投影法 2、空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力合矢量（力）投影定理

方向余弦 合力的大小为：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力等于零，即可由上式得：称为空间汇交力系的平衡方程。

§4–2 力对点的矩和力对轴的矩 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢三要素 (1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。

又则力对O点的矩在三个坐标轴的投影：

2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。

已知：力 ,力在三根轴上的分力，，，力 作用点的坐标 x, y, z 求：力F对 x, y, z轴的矩 3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系

比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。

§4–3 空间力偶 1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；（3）作用面：力偶作用面。

力偶矩

力偶矩 因 2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。

= = = （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

= = = = (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。

定位矢量 滑移矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）力偶矩矢是自由矢量力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。

= = 3．力偶系的合成与平衡条件则得: 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。

空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即合力偶矩矢的大小和方向余弦有简写：称为空间力偶系的平衡方程。

§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩一个力 • 简化过程：将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。合成汇交力系力线平移合成力偶系作用于简化中心O 向一点O 简化结论：空间一般力系一个力偶M • 主矢与主矩 ——原力系的主矢主矢与简化点O位置无关 MO——称为原力系对O点的主矩主矩与简化点O位置有关

建立直角坐标系Oxyz，主矢F’R在各坐轴上的投影分别为：建立直角坐标系Oxyz，主矢F’R在各坐轴上的投影分别为：主矩MO在各坐标轴上的投影分别为：

飞机向前飞行 —有效推进力 —有效升力飞机上升 —侧向力飞机侧移 —滚转力矩飞机绕x轴滚转 —偏航力矩飞机转弯 —俯仰力矩飞机仰头

当　　最后结果为一个合力。 当　　　时， 2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1）合力合力作用点过简化中心。最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为

当时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。（2）合力偶（3）力螺旋力螺旋中心轴过简化中心

当时，空间力系为平衡力系 力螺旋中心轴距简化中心为（4）平衡

§4–5 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。即：则有：

例4－1已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径D=20mm，压力角α=200 求：力P大小及A、B处的反力

解：分析：传动轴AB匀速转动时，可以认为处于平衡状态。以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。

解：以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。

例4－2 三轮小车ABC静止于光滑水平面上，如图所示。已知：AD = BD = 0.5m，CD = 1.5m。若有铅垂载荷P = 1.5kN，作用于车上E点，EF = DG = 0.5m，DF = EG = 0.1m。试求地面作用于A、B、C三轮的反力。解：三轮小车ABC ——研究对象受力： P、FA、FB、FC 构成平行力系。（1）（2）（3）

，例4－3 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，列平衡方程结果：

例4－4 各尺寸如图已知：求：及A、B处约束力解：研究对象，曲轴受力：列平衡方程

结果：

例4-5 已知： F、P及各尺寸求：杆内力解：研究对象，长方板受力图如图列平衡方程

解得（压） （拉）例4-6 已知：P=1000N ,各杆重不计。求：三根杆所受力。解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。由

§4 －6 重心 · 平行力系中心 P 一、重心的概念物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。物体每一微小部分地球引力：构成一汇交力系，汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系。重心：物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点C 。空间平行力系的中心——几何点重心C —— 唯一性二、重心位置的确定 1. 一般计算公式设合力P的作用点位置坐标为：xC、yC、zC ，由合力矩定理得：

P 设：其中分别重心坐标的一般计算公式，P为物体的总重量。为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。则有：物体质心坐标的一般计算公式。可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。重心：仅在重力场中存在。重心与质心的区别质心：任何地方都存在。

注：适用于几何形状规则的物体 2. 均质物体的重心坐标积分计算设物体内一点容重为： —— 单位体积的重量（N/m3），则有： ΔV、V 分别为微元体和物体的体积。均质物体的重心位于物体的几何形心。上式可表示为：对平面图形，上式变为：

3. 均质组合形状物体的重心计算 （1）对称性法重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。（2）组合法（叠加法）求图示平面图形的重心。（3）负面积法小问题:如何设计不倒翁？

三、重心确定的实验方法 适用于非均质、形状不规则等一般物体。（1）悬挂法注：适用于小物体。

则有整理后，得（2）称重法若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？

例4-7 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。求：其重心坐标解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可。用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为则

小半圆（半径为r+b）面积为A2 , 设大半圆面积为A1，由对称性，有而由小圆（半径为r）面积为A3，为负值。例4-8 已知：等厚均质偏心块的求：其重心坐标。解：用负面积法，为三部分组成，得

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