Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Funções: Zeros, Máximos e Mínimos Jorge Cruz DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 1º Semestre 2005/2006 Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

y v0 f(a) hmax  y0 dmax (0,0) x a Generalização do Problema • Um projéctil é lançado de uma altura de y0 metros, com um ângulo inicial de lançamento de  radianos e com uma velocidade inicial de v0 metros por segundo. • A trajectória do projéctil em coordenadas (x,y) modelada por: • Problema:determinar a distância máxima (dmax) e a altura máxima (hmax) atingidas pelo projéctil. • Equivalente: determinar o zero e o máximo de f(x) para x>0 Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Zero de uma Função • O método de pesquisa dicotómica é um método simples para determinar um zero de uma função f num intervalo [xmin, xmax] sempre que o seu valor nos extremos do intervalo tenha sinais contrários, isto é: • f(xmin) * f(xmax) < 0. • A ideia consiste em: • dividir o intervalo no seu ponto médio xmed; • verificar se este ponto é aproximadamente um zero de f: |f(xmed)| (em que  é uma tolerância aceitável) • caso xmed não seja zero de f, aplicar o método de pesquisa dicotómica ao subintervalo: [xmin,xmed] se f(xmin)*f(xmed)<0 ou [xmed,xmax] se f(xmed)*f(xmax)<0 Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Zero de uma Função • O método de pesquisa dicotómica assume que se conhece inicialmente o intervalo [xmin, xmax] onde: • f(xmin) * f(xmax) < 0. • Se f tiver mais que um zero nesse intervalo, o método apenas calcula um dos zeros. • Por cada iteração o intervalo de pesquisa é reduzido a metade. • É necessário indicar um valor de tolerância  para garantir que o algoritmo termina. • É possível definir como critério de paragem alternativo/complementar um valor mínimo para o tamanho do intervalo de pesquisa. Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Zero de uma Função • A pesquisa dicotómica pode ser definida recursivamente em Octave pela função seguinte onde xmin e xmax representam os extremos do intervalo de pesquisa inicial e epsilon a tolerância: • Assume-se que a função f está definida no ficheiro f.m function z=zerof(xmin,xmax,epsilon) xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed); if abs(ymed)<=epsilon % cláusula base z=xmed; else % definição recursiva if f(xmin)*ymed<0 z=zerof(xmin,xmed,epsilon); else z=zerof(xmed,xmax,epsilon); endif; endif; endfunction; Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Zero de uma Função • Para obter uma versão iterativa teria que se substituir a chamada recursiva por um ciclo while que apenas termine quando a aproximação estiver dentro da tolerância epsilon. function z=zerof(xmin,xmax,epsilon) xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed); while abs(ymed)>epsilon if f(xmin)*ymed<0 xmax=xmed; else xmin=xmed; endif; xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed); endwhile; z=xmed; endfunction; Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Zero de uma Função • Uma versão um pouco mais optimizada evitaria calcular repetidamente f(xmin) para determinar o subintervalo a escolher. • Para isso bastará manter a condição de que f(xmin) é sempre negativo e f(xmax) sempre positivo. Assume-se que a condição é satisfeita inicialmente. function z=zerof(xmin,xmax,epsilon) xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed); while abs(ymed)>epsilon if ymed>0 xmax=xmed; else xmin=xmed; endif; xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed); endwhile; z=xmed; endfunction; Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Aplicação ao Programa: trajectoria O programa principal, guardado no ficheiro “trajectoria.m”, chama a função maximos para calcular a distância e a altura máxima da trajectória. A distância máxima da trajectória corresponde ao zero de f. % Inicialização de Variáveis y0 = input(" Qual a altura inicial (m)? "); v0 = input(" Qual a velocidade inicial (m/s)? "); tet = input(" Qual o angulo inicial (rad)? "); dx = input(" Qual a precisao (m)? "); % Cálculo dos máximos [dmax, hmax]=maximos(y0,v0,tet,dx); % Apresentação de Resultados disp("Distância maxima da trajectoria (m):"); disp(dmax); disp("Altura maxima da trajectoria (m):"); disp(hmax); Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

A função f , guardada no ficheiro “f.m”, fica igual. function y=f(x,y0,v0,tet); g = 9.8; y = x*tan(tet)-(g*x^2)/(2*v0^2*cos(tet)^2)+y0; endfunction Funções: maximos e f function [dmax, hmax]=maximos(y0,v0,tet,dx); X = [0]; Y = [y0]; i = 1; while Y(i) > 0 i = i+1; X(i) =X(i-1) + dx; Y(i) = f(X(i),y0,v0,tet); endwhile hmax = max(Y); dmax = zerof(X(i),X(i-1),0.0001,y0,v0,tet); plot(X,Y); endfunction A função maximos detecta que o zero de f está entre os dois últimos pontos da trajectória testados e usa a função zerof para calcular o seu valor exacto (com uma tolerância de 0.0001). Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Função: zerof function z=zerof(xmin,xmax,epsilon,y0,v0,tet) xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed,y0,v0,tet); while abs(ymed)>epsilon if ymed>0 xmax=xmed; else xmin=xmed; endif; xmed=(xmin+xmax)/2; ymed=f(xmed,y0,v0,tet); endwhile; z=xmed; endfunction A função zerof, que chama a função f, é alterada de modo a considerar os parâmetros adicionais y0, v0 e tet. Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Máximo de uma Função • Uma variante do método de pesquisa dicotómica também pode ser usada para procurar o máximo de uma função f num determinado intervalo. • Considere o intervalo [xmin< xinter< xmax] com: • f(xinter) > f(xmin) e f(xinter) > f(xmax) • O seguinte método permite encontrar no intervalo anterior um máximo local (numa pequena vizinhança): • escolher o maior intervalo: [xmin,xinter] ou [xinter,xmax]; • dividir o intervalo no seu ponto médio xmed; • Se xmin<xmed<xinter aplicar o método de pesquisa ao subintervalo: [xmin<xmed<xinter] se f(xmed)>f(xinter) ou [xmed<xinter<xmax] se f(xmed)<f(xinter) • Se xinter<xmed<xmax aplicar o método de pesquisa ao subintervalo: [xinter<xmed<xmax] se f(xmed)>f(xinter) ou [xmin<xinter<xmed] se f(xmed)<f(xinter) • O algoritmo termina quando o intervalo de pesquisa é suficientemente pequeno: xmax  xmin (em que  é uma tolerância aceitável) Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Máximo de uma Função • O método de pesquisa dicotómica assume que se conhece inicialmente o intervalo [xmin< xinter< xmax] onde: • f(xinter) > f(xmin) e f(xinter) > f(xmax) • Se f tiver mais que um máximo local nesse intervalo, o método apenas calcula um deles. • Não há garantias que o máximo local seja um máximo absoluto, mesmo que este exista no intervalo inicial. • Se os três pontos forem equidistantes, por cada 2 iterações o intervalo de pesquisa é reduzido pelo menos a metade. • É necessário indicar um valor de tolerância  para garantir que o algoritmo termina. • Um método semelhante pode ser usado para calcular um mínimo local de f. Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Máximo de uma Função • A pesquisa dicotómica pode ser definida recursivamente em Octave pela função seguinte onde xmin e xmax representam os extremos do intervalo de pesquisa inicial, xinter o valor intermédio e epsilon a tolerância: • Assume-se que a função f está definida no ficheiro f.m function y=maximof(xmin,xinter,xmax,epsilon) if (xmax-xmin)<=epsilon % cláusula base y=f(xinter); else % definição recursiva if (xinter-xmin)>(xmax-xinter) x1=(xmin+xmax)/2; x2=xinter; else x1=xinter; x2=(xmin+xmax)/2; endif if f(x1)>f(x2) y=maximof(xmin,x1,x2,epsilon); else y=maximof(x1,x2,xmax,epsilon); endif; endif; endfunction; Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Máximo de uma Função • Para obter uma versão iterativa teria que se substituir a chamada recursiva por um ciclo while que apenas termine quando a aproximação estiver dentro da tolerância epsilon. function y=maximof(xmin,xinter,xmax,epsilon) while (xmax-xmin)>epsilon if (xinter-xmin)>(xmax-xinter) x1=(xmin+xmax)/2; x2=xinter; else x1=xinter; x2=(xmin+xmax)/2; endif if f(x1)>f(x2) xinter=x1; xmax=x2; else xmin=x1; xinter=x2; endif; endwhile; y=f(xinter); endfunction; Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Máximo de uma Função • Uma versão um pouco mais optimizada evitaria calcular repetidamente o valor de f nos pontos intermédios. • Para isso bastará acrescentar um parâmetro com o valor de f no ponto intermédio. Assume-se que o valor desse parâmetro é passado inicialmente. function y=maximof(xmin,xinter,xmax,finter,epsilon) while (xmax-xmin)>epsilon if (xinter-xmin)>(xmax-xinter) x1=(xmin+xmax)/2; x2=xinter; f1=f(x1); f2=finter; else x1=xinter; x2=(xmin+xmax)/2; f1=finter; f2=f(x2); endif if f1>f2 xinter=x1; xmax=x2; else xmin=x1; xinter=x2; endif; endwhile; y=finter; endfunction; Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Aplicação ao Programa: trajectoria O programa principal, guardado no ficheiro “trajectoria.m”, chama a função maximos para calcular a distância e a altura máxima da trajectória. A altura máxima da trajectória corresponde ao máximo de f. % Inicialização de Variáveis y0 = input(" Qual a altura inicial (m)? "); v0 = input(" Qual a velocidade inicial (m/s)? "); tet = input(" Qual o angulo inicial (rad)? "); dx = input(" Qual a precisao (m)? "); % Cálculo dos máximos [dmax, hmax]=maximos(y0,v0,tet,dx); % Apresentação de Resultados disp("Distância maxima da trajectoria (m):"); disp(dmax); disp("Altura maxima da trajectoria (m):"); disp(hmax); Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

A função f , guardada no ficheiro “f.m”, fica igual. function y=f(x,y0,v0,tet); g = 9.8; y = x*tan(tet)-(g*x^2)/(2*v0^2*cos(tet)^2)+y0; endfunction Funções: maximos e f function [dmax, hmax]=maximos(y0,v0,tet,dx); X = [0]; Y = [y0]; i = 1; while Y(i) > 0 i = i+1; X(i) =X(i-1) + dx; Y(i) = f(X(i),y0,v0,tet); endwhile hmax = maximof(X(1),X(2),X(i),Y(2),0.0001,y0,v0,tet); dmax = zerof(X(i-1),X(i),0.0001,y0,v0,tet); plot(X,Y); endfunction A função maximos detecta que o máximo de f está entre o primeiro e o último ponto da trajectória (sendo o 2º ponto maior que ambos) e usa a função maximof para calcular o seu valor exacto (com uma tolerância de 0.0001). Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

Função: maximof function y=maximof(xmin,xinter,xmax,finter,epsilon,y0,v0,tet) while (xmax-xmin)>epsilon if (xinter-xmin)>(xmax-xinter) x1=(xmin+xmax)/2; x2=xinter; f1=f(x1,y0,v0,tet); f2=finter; else x1=xinter; x2=(xmin+xmax)/2; f1=finter; f2=f(x2,y0,v0,tet); endif if f1>f2 xinter=x1; xmax=x2; else xmin=x1; xinter=x2; endif; endwhile; y=finter; endfunction; A função maximof, que chama a função f, é alterada de modo a considerar os parâmetros adicionais y0, v0 e tet. Funções: Zeros, Máximos e Mínimos

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