§4 二次曲面与直线的相关位置

1. §4二次曲面与直线的相关位置 设二次曲面的方程为: (4.1) 其中, 是对称矩阵, 记:

2. 称为函数F(x,y,z)的梯度向量. 设直线 过点 ,方向向量为 ,则 直线 的参数方程为: (4.2) 将(4.2)代入(4.1),我们得:

3. 即 (4.3) 我们来讨论方程(4.3) : (1).当 时(4.3)的判别式: 1°当Δ>0时， 与S有两个不同的实交点； 2° 当Δ=0时， 与S有两个相同的实交点； 3° 当Δ<0时， 与S没有实交点，有一对共轭的虚 交点。 (2).当 时: 1° 当 时， 与S有唯一的实交点； 2° 当 时， 与S没有交点；

4. 3°当 时， 在S 上。 定义4.1满足 的方向X:Y:Z叫做S 的渐近方向.否则称为S的非渐近方向. 由以上讨论知具有渐近方向的直线或与S没有交点， 或有唯一交点或整条直线在S上。 由曲面渐近方向的定义可得到经过一固定点 ，以二次曲面的渐近方向为方向的所有直线构成的曲面方 程是: 它是二次齐次方程，因而是以 为顶点的锥面，锥面上 每一条母线的方向都是二次曲面的渐近方向。此锥面 称为二次曲面的渐近方向锥面。

5. 2. 中心 定义4.2点C称为二次曲面S的中心，如果S上任意一 点 关于C的对称点 仍在S上。 定理4.1是S的中心的充要条件是: 即 证明:必要性 设 是S的中心,任取S的非 渐近方向 ,过C点且以 为方向的直线与S必 有两个(实、重合、虚的)交点 (i=1,2).由于C 为S的中心,所以C为线段 的中点。. 的方程为:

6. 设 对应的参数为 (I=1,2),则 于是由方程4.3及韦达定理给出: 即 (4.5) (4.5)对一切的非渐近方向都成立,故 。 充分性.若 满足(4.4),作移轴 使C为新坐标系的原点,得到S的新方程: (4.6) (4.6)中用 分别代替 方程不变,所 以C是S的中心. 由定理4.1看出二次曲面的中心坐标是方程组

7. 的解.它的系数矩阵与增广矩阵分别为: 由线性方程组有解判别定理知道: (1).当 即 方程组有唯一解，因 而S有唯一中心，这种二次曲面称为中心曲面. (2).当 方程组的解构成一条直线，即这 条直线上的点都是S的中心，这样的二次曲面称为线心曲 面。 (3).当 方程组的解构成一个平面，即此 平面上的点均为S的中心，称此曲面为面心曲面. (4). 当 ,方程组无解，即曲面S没有中心， 称此曲面为无心曲面. 线心曲面、面心曲面及无心曲面统称为非中心曲面。

8. 命题4.1二次曲面为中心曲面的充要条件是 ；二 次曲面为非中心曲面的充要条件是 。 例1椭球面 与单叶、双叶双曲面 是中心曲面，中心均为原点O(0,0,0)。 解 椭球面的不变量 单叶、双叶双曲 面的不变量 因而它们都是中心曲面。中 心都满足方程 故 中 心 均 为 原 点 O(0，0，0)。

9. 例2抛物面 是无心曲面. 解: 易知 , 因而抛物面是非中心曲面。因为 所以抛物面没有中心。 例3曲面 是线心曲面. 解: 此方程组的解为 y=0,z=0。因此中心构成直线，即x轴， 故曲面为线心曲面。

10. 对二次曲线Г而言，渐近方向和中心的概念可以类似对二次曲线Г而言，渐近方向和中心的概念可以类似 地定义，有关的结论也是相仿的。中心满足方程组 (4.7) (4.7) )的系数矩阵和增广矩阵分别为: (1).当 即 (4.7)有唯一解, 即Г有唯一中心，称Г为中心曲线。例如椭圆、双曲线。 (2).当 (4.7)的解组成一直线，称Г为 线心曲线。例如两平行直线。 (3).当 , （4.7）没有解，即Г没有中心， 称Г为无心曲线，例如抛物线。

11. 圆锥曲线的切线切线 定义如果直线 与二次曲面S有两个重合的交 点或 在S上，则称 为S的切线，交点称为切点。 设直线 过点 ∈S，方向为X∶Y∶Z， 则由(4.3)得 与S有两个重合的交点当且仅当 在S上 当且仅当 故经过 ∈S的直线 是S的切线当且仅当 (6.1)

12. (1) 不全为零 由直线 的方程(4.2)有 X∶Y∶Z= 将此代入(6.1)得 (6.2) (6.2)表示一个平面，即过点 ∈S的所有切线上的 点构成一个平面。 定义 二次曲面S上一点处的所有切线上的点构 成的平面称为S的 切平面 ，此点称为 切点。 (2) 此时(6.1)成为恒等式，它对任何方向都满足，故过 点 的任何一条直线都是S的切线。

13. 定义 若过点 ∈S的每一条直线都是S的切 线，则称点 是S的奇异点 。S的非奇异点，称为S的 正 常点 。 由以上的讨论知道 命题6.1 (1)正常点处有唯一的切平面，方程为(6.2)。 (2) 为奇异点当且仅当 如果 ,则过 的切线 不可能在S上，故 过 的直线 为S的切线当且仅当

14. 对切线 上的任意点(x,y,z)都有 将之代入(6.3)中得 它是关于 的二次齐次方程，即 表示以 为顶点的二次锥面，称为S的 切锥 。 定义6.4若过 ∈S的直线 与 处的切平 面垂直，则称直线 为S在 处的 法线 。 由此定义得法线方程 (6.4)

15. 对二次曲线Г而言，切线、法线、正常点、奇异点同对二次曲线Г而言，切线、法线、正常点、奇异点同 样地定义。过正常点 ∈Г，方向为X∶Y的直 线为Г的切线当且仅当 由此得切线方程为 法线方程为 过曲线Г外的一点 的直线为Г的切线当且仅当

16. 因而切线上的点(x,y,z)满足 (6.6) (6.6)的左端是 的二次齐次多项式或零多 项式。若为前者，当它可以分解为两个实系数一次因式 的乘积时，便得到过 的两条直线，如果这两条直线 的方向为非渐近方向，则它们是过 的Г的切线；如果 这两条直线的方向是渐近方向，则过 的Г的切线不 存在。当它在实数范围内不能分解时，则过 没有Г的 实切线；若为后者，则过 的任意直线均为Г的切 线。