1 / 41

电子储存环物理

电子储存环物理. 第二讲 电子储存环的粒子动力学（上）. 基本假设 电子的横向运动 电子的横向振荡的特性 动量分散函数 电子的纵向运动 —— 能量振荡. 坐标系. 自然坐标系 —— 建立在理想电子上 真实电子坐标 x— 径向坐标（水平） y — 垂直 坐标（统一用 u 表示横向） s— 纵向坐标 理想轨道在水平面内 s 是周期性的， s 、 s+L 、 s+2L 都是指都一个位置. r 0. r. 理想轨道. 电子存在一个理想 轨道 —— 设计 轨道 理想轨道是闭合、平滑、近似环形的 轨道周长 L ＝ 2πR R —— 等效 半径

linus
Download Presentation

电子储存环物理

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 电子储存环物理 第二讲 电子储存环的粒子动力学（上）

  2. 基本假设 • 电子的横向运动 • 电子的横向振荡的特性 • 动量分散函数 • 电子的纵向运动——能量振荡

  3. 坐标系 • 自然坐标系——建立在理想电子上 • 真实电子坐标 x—径向坐标（水平） y—垂直坐标（统一用u表示横向） s—纵向坐标 • 理想轨道在水平面内 • s是周期性的，s、s+L、s+2L都是指都一个位置 r0 r

  4. 理想轨道 • 电子存在一个理想轨道 —— 设计轨道 • 理想轨道是闭合、平滑、近似环形的 • 轨道周长L＝2πRR —— 等效半径 • 理想电子在理想轨道上运动，如果参数正确，理想电子将可以永远在理想轨道做周期性运动 • 其运动满足周期性条件f(S)＝f(S＋NL)

  5. 其它电子在其附近做准周期性运动，Δx，Δz，Δs，ΔE都很小,满足稳定性条件，否则粒子将丢失其它电子在其附近做准周期性运动，Δx，Δz，Δs，ΔE都很小,满足稳定性条件，否则粒子将丢失 • 单粒子的束流动力学，不考虑粒子之间的相互作用 • 满足极端相对论条件：E>>E0 • 线性近似：电子能量等于常数，忽略同步辐射和加速对能量的影响，这些效应将用微扰法处理

  6. 磁场概述 弯转磁铁 • 常用磁铁有弯转磁铁、聚焦磁铁、六极磁铁等 • 弯转磁铁又叫二极磁铁、B铁、偏转磁铁等 • 作用偏转电子束流，形成理想轨道 电子运动的曲率半径 洛仑兹力 离心力 0.8GeV、1.2T 2.222m 磁刚度 8GeV、1.2T 22.22m

  7. 磁场概述 弯转磁铁类型 • 组合聚焦型弯转磁铁 场不均匀 弱聚焦 • 分离聚焦型弯转磁铁 均匀场 无聚焦

  8. 磁场概述 聚焦磁铁 • 聚焦磁铁又叫四极磁铁、Q铁等 • 聚焦电子束流，使电子被约束在理想轨道附近 • 场的特点 • 标志性参数

  9. 2.1电子的横向运动 • 横向运动是电子垂直于s轴的运动。是一种自由振荡 • 加速器中电子受到洛仑兹力作用 • 偏转电子成闭合轨道 • 磁场没有加速作用 • 磁场都是静磁场：导向磁场、聚焦磁场 • 任意磁场可以展开成为坐标变量的幂级数

  10. 横向运动方程 其中 为轨道曲率半径 为动量分散 为聚焦函数 没有能散的情形 Hill方程 周期性条件

  11. 2.1.1横向运动方程的解 • 二阶齐次微分方程的通解 • 矩阵形式 变换矩阵 又叫传输矩阵 取决于聚焦结构 分离式聚焦结构—K(s)是分段常数

  12. 聚焦节（四极铁） • K为正常数,聚焦 l为元件长度 初始条件

  13. 散焦节（四极铁） • K为负常数,散焦 双曲函数hyperbolic • l为元件长度 比较可知，横向两个方向上的聚焦函数差一个符号，所以，对于x方向聚焦的四极铁，在y方向上是散焦的，反之亦然

  14. 直线节（漂移空间） • K=0, 直线节（漂移空间）或自由空间; • 变换矩阵 • 在其中电子不受到任何外力作用，自由直线运动

  15. 四极磁铁的薄透镜近似 • 当四极磁铁的长度远小于其焦距时，可以采用薄透镜近似 • 薄透镜近似下假定四极磁铁没有长度

  16. 二极磁铁与边缘场 • 扇形弯铁的变换矩阵 水平方向 垂直方向相当于自由空间 其它形式弯铁需考虑边缘场的作用 水平方向 垂直方向

  17. 区间的变换矩阵 任何一个区间的矩阵是其每个子区间矩阵的乘积 变换矩阵相乘原则：左乘原则 按照电子看到元件的顺序，后面的元件的变换矩阵在前一个矩阵的左面 一个周期内有n个区间的话，则该周期变换矩阵为

  18. 记 可以证明* • 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 其本征方程 其本征值满足 即 令 解为

  19. 定义α、β、γ 得到 是电子横向振荡的振幅函数 电子每经过一个周期L的相角改变量

  20. 工作点 • α、 β、γ叫做Twiss参数，也叫Courant-Snyder参数 • 如果储存环由N个周期组成，则粒子在储存环中回旋一周后的相移为Nμ 定义 则υ(υx, υy)是粒子每回旋一圈时的横向振荡数，或称为横向振荡频率。υx, υy也被称为储存环的工作点。

  21. 2.1.2横向振荡的稳定性 相角为实数，振荡稳定 相角为复数，振荡不稳定 M矩阵可以写成 其中 且 且有 μ为实数则M的k次幂的矩阵元有界，稳定 μ为虚数则M的k次幂的矩阵元指数增加，不稳定

  22. 2.2电子的横向振荡的特性 相移μ独立于坐标s的参考点。证明如下 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同

  23. 2.2.1β和K的关系 利用Hill方程重写变换矩阵 • 上式对储存环上所有元件都是成立的

  24. 得到 即 又可写成 M矩阵又可表述成

  25. 对比可得

  26. 2.2.2横向振荡的振幅函数 • 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 其本征方程 令 解为 由特征值的定义 由变换矩阵又有

  27. 可以得到 常数，由初始条件决定 自由振荡的相移 自由振荡频率

  28. β是自由振荡的振幅函数，是s的周期函数 • 自由振荡振幅函数的倒数的平均值 ，其中R为轨道平均半径* • 横向振荡轨迹可以写成 • 其中 *教材上的 不严密， 参考The physics of electron storage一书中的P41，公式2.67

  29. 2.2.3横向振荡的包络 • 粒子的横向振荡是一种假谐波振荡 • 是振荡轨迹的包络，即 时的值 • 也就是说，所有的振荡振幅都在 之内 • 轨迹分为类余弦，类正弦两类

  30. 2.2.4系统的接受度 • 横向振荡轨迹重写为 • 微商 • 重写成 • 平方相加 • 即 • 得到

  31. 椭圆方程 • 就可以得到 • 设 显见 • W是一个常数，独立于变量s。 • 椭圆的面积不变。椭圆由α、β、γ决定。 • α、β、γ 是s的函数，椭圆的形状是随s变化的。

  32. 横向运动的相椭圆 • 其最大u值在du/du’＝0处 因此 u可能的最大值 此时是正椭圆

  33. 储存环中，电子横向运动受到真空室横向尺寸b限制，即|y|<b储存环中，电子横向运动受到真空室横向尺寸b限制，即|y|<b 则满足条件 的电子都不会丢失 定义系统接受度（容纳度）为

  34. 2.2.4变换矩阵M和N • 若已知s1和s2处的Twiss参数以及之间的相移，怎么求M矩阵？ • 由轨迹方程可知在s1处有 • 在s2处有 • 将两式结合，消去初始相位就得到

  35. 因此传输矩阵为

  36. 已知M，求Twiss参数的变换矩阵N • 即 • 消去相移部分

  37. 即 • 得到N矩阵

  38. 作业题 • 自行推导粒子的横向运动方程 • 证明变换矩阵M的行列式为1 • 化简变换矩阵M的矩阵元，消去相移，从而得到N

More Related