二项式系数的性质

1. X 二项式系数的性质 制作：王勇群

2. 复习 1。什么叫二项式定理？通项公式？ 2。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？

3. 二项式系数的性质 ( a + b )1 … … … … … … … … …1 1 ( a + b )2 … … … … … … … 1 2 1 ( a + b )3 … … … … … … 1 3 3 1 ( a + b )4 … … … … … 1 4 6 4 1 ( a + b )5 … … … … … 1 5 10 10 5 1 ( a + b )6 … … … … 1 6 15 20 15 6 1 … … … … … … … … … 递推法

4. 一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：

5. 这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

6. 令 f ( r ) 20 14 6 r O 3 6 定义域{0,1,2, … ,n} 当n= 6时,其图象是7个孤立点

7. 当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ； 当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。 1.对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。 2.增减性与最大值 3.各二项式系数和

8. 例一、选择填空： C 1.( 1﹣x ) 13的展开式中系数最小的项是 （ ） (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项 2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ） (A)20 (B)219（C）220 (D)220－ 1 D 4或5 -2 -1094 1093

9. 例二、已知 的展开式中只有第10项系数 最大，求第五项。 解：依题意， 为偶数，且 变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？

10. 例三、已知二项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项； （2）比较T3， T7， T12， T13各项系数的大小，并说明理由。 解：（1）中间项有两项： （2）T3， T7， T12， T13的系数分别为：

11. 例四、已知a,b∈N，m,n ∈Z，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b的取值范围。 解： 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m代入，解得 r = 4 故T5 为常数项，且系数最大。

12. 小结 （1） 二项式系数的三个性质。 （2） 数学思想：函数思想。 a 单调性； b 图象； c 最值。 （3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法 作业　　书P111习题10.4 8,9,10 　　　　苏大P126 73课 1—8 研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如( ax + b) n展开式中系数最大项的方法或步骤。

13. 解：设最大项为 ，则： 即 即 则展开式中最大项为