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经济数学 数学建模案例（上）知识点： 1 数学建模概要

经济数学 数学建模概要数学建模案例数学建模案例（上）主要内容

经济数学 分析航行问题建立数学模型的基本步骤：（1）做出简化假设（船速、水速为常数）；（2）用符号表示有关量：设船速为千米/小时，水速为千米/小时（3）用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； 1 数学建模概要（航海问题）甲、乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 简单模型一 1 数学建模概要

经济数学 分析设每月共打电话分钟，需要元电话费按入网卡方式得：按神州行卡方式得：结论：当每月电话打到125分钟之内时，用第一中方式更经济，超出125分钟后是选择第二种方式更经济。 1 数学建模概要简单模型二（手机电话卡的选择问题）已知：入网电话卡每分钟0.4元，每月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金。问：选择哪种卡比较省钱？ 1 数学建模概要

经济数学 分析假设现在有2个水龙头，10个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要1分钟，这是一种很常见的情况。 1 数学建模概要简单模型三（打水问题）每天晚上5:00至5:30之间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。 1 数学建模概要

经济数学 方法A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：2*(2+4+6+8+10)=60分钟方法B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分钟结论：后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。 1 数学建模概要分析（打水问题） 1 数学建模概要

经济数学 1 数学建模概要常见模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。实物模型：玩具、照片、飞机、火箭模型物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机符号模型：地图、电路图、分子结构图 1 数学建模概要

经济数学 建立数学建模的基本方法：方法一：机理分析法方法二：测试分析法方法三：二者结合 1 数学建模概要模型的定义数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程：包括表述、求解、解释、检验等。 1 数学建模概要

经济数学 分析本题有点像数学中解的存在性条件及证明问题假设：我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 1 数学建模概要假设的作用　　某人第一天由A地到B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地？ 1 数学建模概要

经济数学 1 数学建模概要建模的意义 1．在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地。如以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域。 2．在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具。如通讯、航天、微电子、自动化等高科技领域，或是将高科技用于传统工业去创造新工艺、开发新产品等。 3．数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等一些交叉学科。 1 数学建模概要

经济数学 1 数学建模概要建模的具体应用 1．分析与设计。例如：描述药物浓度在人体内变化规律以分析药物的疗效；用数值模拟设计新的飞机翼型。 2．预报与决策。例如：气象预报、人口预报、经济增长预报等预报模型；使经济效益最大的价格策略，使费用最少的设备维修方案等决策模型。 3．控制与优化例如：零件设计中的参数优化、电力与化工生产过程的最优控制等大系统控制与优化的数学模型。 4．规划与管理例如：生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度以及排队策略、物资管理等运筹模型问题。 1 数学建模概要

经济数学 2 数学建模案例 2 数学建模案例案例一（砖块叠放远度问题）（一）问题陈述将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。（二）模型分析与假设 1．砖块是均质的，形状假设都是长方形。 2．为了方便计算假设砖块长度与重量均为1，其重心都处在中点1/2砖长处。 3．不受任何其他外力与环境的影响下建立模型。（三）模型建立设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。由第块砖受到的两个力的力矩相等，有，故。从而上面块砖向右推出的总距离为：。当时，结论：故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。

经济数学 2 数学建模案例案例二（椅子问题）（一）问题陈述　　在日常生活里，将一只四条腿一样长的方椅子放在不平的地面上，其中三条腿同时着地（不在同一条直线上的三点确定一个平面），如果第四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪动，就可以使四条腿同时着地，椅子放稳？（二）模型分析 1．椅子是否能放稳与椅子自身的条件是有密切关系的。椅子的四条腿是　否长短一致，是影响椅子放稳的主要因素。 2．地面是否凹凸不平、地面是否有裂缝以及椅子所在的地面的质地是否　一致都是影响椅子放稳的因素。 2 数学建模案例

经济数学 2 数学建模案例案例二（椅子问题）（三）模型假设 1．椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，　四条腿的连线呈正方形． 2．地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面． 3．椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地． 2 数学建模案例

经济数学 （四）模型建立根据假设画出图形：将椅子放到直角坐标平面上，、、、为四条腿与地平面的接触点（或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图 B B1 A1 C O A C1 D1 D 2 数学建模案例案例二（椅子问题） 2 数学建模案例

经济数学 （四）模型建立 1．“稍作挪动”．假设椅子中心投影O不变，仅作旋转，用角来描述椅子位置．得正方形 B B1 2．如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与地面的距离来度量，零距离表示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地． A1 C O A 3．如何度量椅子放稳否？设处两椅子脚与地面的距离之和； C1 处两椅子脚与地面的距离之和． D1 D 2 数学建模案例案例二（椅子问题） 2 数学建模案例

经济数学 分析模型求解所需的基本原理：由假设（2）知，为的连续函数； 1．连续。 2．连续函数根的存在定理。由假设（3）知，由于三点着地，故对任意位置，和中至少有一个为零，即 =0．我们不妨假设、处椅子两脚着地；、处有一脚未着地．于是有如果“稍作挪动”，即旋转一适当角，使那么就表明椅子四个脚着地，椅子放稳了． 2 数学建模案例案例二（椅子问题） 2 数学建模案例

经济数学 （四）模型求解证明：将椅子转动，对角线互换，由可得令由的连续性，根据介值定理，在中至少存在一点 ,使得 ,即又，所以结论：能放稳。 2 数学建模案例案例二（椅子问题） 2 数学建模案例

经济数学 2 数学建模案例案例三（存储问题） (一)问题陈述　　某配件厂为装配线生产若干产品，轮换产品时因更换产品要付生产准备费，产量大于需求是要付存储费。该厂的生产能力非常大，即所需数量可在短时间内产出。现已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，存储费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 2 数学建模案例

经济数学 2 数学建模案例案例三（存储问题）（二）模型分析 1．分析三中不同的生产方式方式一：每天生产一次：每次100件，无存储费，准备费5000元。得每天费用是5000元。方式二：10天生产一次：每次1000件，存储费900+800+…+100=4500，准备费5000元，总计9500元。得每天费用是950元。方式三：50天生产一次：每次5000件，存储费4900+4800+…+100=122500，准备费5000元，总计127500元。得每天费用是2550元。 2．这是一个优化问题应该以每天总费用的平均值作为问题的最优目标。 2 数学建模案例

经济数学 （三）模型假设 1．产品每天的相需求量为常数，每天每件产品存储费用为 2．每次生产准备费用为 3．T天生产一次（周期），每次生产Q件，当存储量为零时，Q件产品立即到来（产生时间不计）。 2 数学建模案例案例三（存储问题） 2 数学建模案例

经济数学 （四）建立模型以需求速度设存储量是时间的函数，其中递减，。得。一周期的存储费为。一周期的总费用为：每天总费用平均值： 2 数学建模案例 2 数学建模案例案例三（存储问题）

经济数学 （五）模型求解求T使最小。由，得即著名的经济批量订货公式（不允许缺货的存储模型）。（六）模型应用（件）时，得（天），当（元）思考：当存储量降到零时仍有需求，即出现缺货的情况。模型该如何修改？ 2 数学建模案例案例三（存储问题） 2 数学建模案例

经济数学 （一）问题陈述　　一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售．他们都希望对产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货．请用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产与销售。 2 数学建模案例案例四（新产品销售问题） 2 数学建模案例

经济数学 （二）模型分析 1．产品推销速度快慢节奏的控制与产品的质地有关系。如果是易腐烂的产品就要制定较快的推销速度；如果是耐用品相对推销的速度可以放慢。 2．销售数量要符合购买者的正常消费心态和遵循市场经济的客观规律。 3．新产品的销售与产品的价格定位是有密切关系的，如果价格定位过高，可能就会失去很多顾客，而过低又没有利润。 2 数学建模案例案例四（新产品销售问题） 2 数学建模案例

经济数学 （三）模型假设 1．假设该产品是耐用品，可以长期使用，一般不会废弃和重复购置，价格相对稳定． 2．该产品刚进入市场，人们对其功能尚不熟悉，所以销售速度较慢．随着销售数量的增加，人们对于它的熟悉程度就会增加，销售速度也会增加，但这类产品销售一定数量时，因为人们不会重复购置，而使销售速度减慢．假设需求量有一个上界M ，用表示时间已售出的产品数量，则尚未购置的人数大约为 3．设销售速度与销售量和的积成正比，比例系数为 2 数学建模案例案例四（新产品销售问题） 2 数学建模案例

经济数学 （四）建立模型（五）模型求解或其中C是任意常数。 2 数学建模案例案例四（新产品销售问题） 2 数学建模案例

经济数学 （六）模型解释与讨论因为由此我们可做如下分析：显然，当时，．从而求出，使时，，因此单调上升；（1）当在因此，时达到最大值．这表明销售量小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半（2）当时，，因此单调下降．时，产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2 数学建模案例案例四（新产品销售问题） 2 数学建模案例

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