Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

1. Тема: Предел функции. Свойства пределов1. Предел функции Пусть f(x) – функция, определенная на множестве Х; А и а –числа. Опр. Число Аназываетсяпределом функцииf(x) при xa, если >0  такая -окрестность точки аU(a), что | f(x) -A|<xU(a). Эквивалентные формы записи: или f(x) Апри xa. Опр. , если  >0 =(): | f(x) -A|<|x|> .

2. Замечания: • Функция может быть меньше своего предела. • Функция может быть больше своего предела. • Функция может колебаться вокруг своего предела.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (БМФ и ББФ) Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой при xa, если >0 U(a), что |f(x)|<при xU(a)или Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой при xa, если >0 U(a), что |f(x)|>при xU(a)или

4. Лемма (связь БМФ и ББФ) . Теорема (свойства БМФ). • Алгебраическая сумма (+ и -) конечного числа б.м. функций при xaесть б.м. функция при xa. • Произведение б.м. функций при xaестьб.м. функция при xa.

5. 2. Свойства пределов Теорема 1. Число Aявляется пределом функции f(x) при xa, тогда и только тогда, когда функция f(x)-A является бесконечно малой: Теорема 2. Предел постоянной функции f(x)Cприxaравен самой постоянной:

6. Свойства пределов (продолжение) Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебр. суммы конечного числа функций имеет предел при xa, то предел этой суммы  приxaи равен сумме пределов слагаемых: Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при xa, то предел произведения  приxaи равен произведению пределов сомножителей:

7. Свойства пределов (продолжение) Теорема 5. Предел частного равен частному пределов: Теорема 6. Если функция f(x)имеет предел при xa и Теорема 7. Если f(x) – элементарная («школьная») функция и число aпринадлежит ее области определения, то предел вычисляется прямой подстановкой:

8. Следствия Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при xa, то предел приxaцелой положительной степени nее равен такой же степени предела этой функции:

9. Следствия (продолжение) Следствие 3. Если функция f(x) имеет предел при xa, отличный от 0,то предел приxaобратной ей по величине функции равен обратной величине предела даннойфункции:

10. 3. «Замечательные» пределы Замечание. Не всякая функция имеет предел (даже ограниченная). Пример: Теорема 1. (1-й замечательный предел) Теорема 2. (2-й замечательный предел)

11. 4. Раскрытие неопределенностей Опр. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями. Они бывают следующих типов: Устранить неопределенности часто удается с помощью алгебраических преобразований.

12. 1-й тип В числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции. Для степенных функций – вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; для показательных функций – за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

13. 2-й тип а) многочлены Необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби, исходя из того, что, если a – корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x-a).Часто помогают «формулы сокращенного умножения». После сокращения дроби неопределенность устраняется.

14. 2-й тип б) тригонометрические Необходимо упростить выражение, чтобы свести к 1-му замечательному пределу

15. 3-й тип Если функция представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений (корней), то неопределенность устраняется или приводится к 1-му типу путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

16. 4-й тип Сводить ко 2-му замечательному пределу