例 3-1 火箭的运动 ( 假定地球是一个惯性参考系 )  火箭 Rocket 是一种导弹，靠火箭内的燃烧室里所产生的气体不断喷出而获得连续的推动力。

1. v m -dm v′ • 例3-1 火箭的运动 (假定地球是一个惯性参考系) •  火箭 Rocket是一种导弹，靠火箭内的燃烧室里所产生的气体不断喷出而获得连续的推动力。 设v 为火箭相对于地球的速度，v′为喷出气体相对于地球的速度，于是喷出气体相对于火箭的速度是ve= v′- v t 时刻 ： 火箭 m、 v、 P = mv t + dt时刻： 火箭 m + dm、v + dv 喷出气体 - dm、 v′ 注意：火箭质量在减少，dm是负值。

2. P′= (m+dm)(v+dv) + (-dm)v′ • = mv + mdv + vdm + dmdv - vdm • = mv + mdv - (v′- v )dm [ dmdv = 0 ] • = mv + mdv - vedm • 在 dt 时间内系统动量的变化为 • dP =P′- P = mdv - vedm • 而整个系统单位时间的动量变化为 • dP/dt = mdv/dt - vedm/dt = F • F 是作用在火箭上的外力 • vedm/dt 常称为 火箭的推力 • Thrust of the rocket

3. 假设 ve为定值，略去空气的阻力和重力随高度的变化，则唯一的外力是火箭的重量mg， • 火箭方程：mdv/dt - vedm/dt = mg • 特例：设运动是竖直，v，ve，g  • 火箭方程的标量形式： • mdv/dt + vedm/dt = - mg • 初始条件： t = 0，v0 ，m0；t 时刻，v ，m • dv + ve dm/ m = - gdt • v0vdv + ve m0mdm/m= - gt0t dt • 得 v - v0+ veln(m/mo) = - gt • 即 v = v0+ veln(m0/m) - gt

4. v = v0+ ve ln(m0/m) - g t • 如果 t 是用完全部燃料所需的时间，于是上式中的 m 就是最后的质量，而 v是火箭所能达到的最大速度。 • 例如火箭的初始质量为 2.72×106 kg，燃料用完后的质量为 2.52×106 kg，气体的排出速度为 1290 kg/s，则用完燃料所需的时间 t = 155 s。如果我们假定喷出气体的速度ve=55000 m/s， v0 = 0，则火箭的最大速度为： v = 55000ln( 2.72×106/2.52×106 ) • - 9.8×155 • = 2681 m/s

5. u m θ x M • 例 3-2 水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹，炮车质量为 M，炮身仰角为 θ ，炮弹质量为 m，炮弹刚出口时，相对于炮身的速度为 u，（1）求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度的大小 VX；（2）若炮筒长为 L，求发炮过程中炮车移动的距离 ΔX 。 • 解：设炮弹相对地面速度为v弹地 • 炮车反冲速度为 V车地 • 相对速度公式 ： • v弹地= u弹车+V车地

6. u m θ x M • 1、水平方向内力很大，可忽略地面摩擦的 • 影响，因此水平方向动量守恒。 • 水平速度分量：vx = ucosθ+ Vx • 水平动量守恒： • 0 = MVx + mvx = MVx + m(ucosθ+ Vx ) • 故得： Vx = - mucosθ／(M + m) • 负号表示向后退。

7. u m θ x M • 2、以 u(t) 表示发炮过程中任一时刻炮弹相 • 对炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为： • Vx(t)= - mu(t)cosθ／(M + m) • 积分求炮车后退距离： • ΔX = o T Vx(t)dt ( T发炮过程所需时间 ) • = - mcosθ/(M + m)o T u(t)dt • = - mLcosθ/(M +m) • 负号表示向后退。

8. 例3-3 水力采煤就是利用水枪在高压下喷射出来的强力水柱冲去煤层而使煤层碎裂。设所用水枪直径为d=3×10-2m，水速为v=60m/s，水柱与煤层表面垂直。求水柱施于煤层的作用力。 y O x • 解：建立坐标系 Oxy， • 取水枪dt时间内喷出的水作为质点系，该质点系在冲击煤层时受到两个外力：煤层对它的反作用力和重力，重力略去不计。

9. 在冲击煤层前，dM为质点系的总质量，v 为水柱在冲击煤层前速度，ρ表示水的密度，总质量可表示：dM=ρπd2vdt/4 • 总动量：P1 =dMv i =ρv2πd2 dt/4 i • 在冲击煤层后，总动量P2=0。所以该质点系在冲出煤层前后总动量的变化为 • dP =P2 - P1= -ρv2πd2 dt/4i • 煤层对该质点系的反作用力 F′： •  F′= dP/dt = -ρv2πd2/4 i • 水柱作用于煤层的作用力：F = - F′，故 • F = - F′= ρv2πd2/4 i • = 1000×602×3.14×0.032/4 i • =2545i牛顿

10. 例 3-4 一质量为 2 kg的质点，在 xy 平面上运动，受到外力 F=4i -24t2j (SI)的作用，t=0 时，它的初速度为 vo =3 i+4 j (m/s)，求t=1s时质点受到的法向力Fn 的大小和方向。 • 解：设质点质量 m =2kg，t =1s时，速度为 v • 动量定理：mv-mvo=o1Fdt= o1(4 i - 24t2 j)dt • v = o1(2 i - 12t2 j)dt + vo • =2 i - 4 j +3 i +4 j • =5 i m/s • 即切向方向为 i，法向方向为 j。所以 t = 1 s时质点受到的法向力 Fn= -24t2 j|t=1= -24 j (N)

11. N m v 2gh = h 0 m v v ( N mg ) = 0 ( m ) τ 0 0 m mg m 2gh 工件 N mg = + τ 6 6 . . 1 6 6 1 0 + 0 0 3 1 0 ( N ) = × × [例1]质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，它与工件的碰撞时间为τ= 0.01s，求：打击的平均冲力。 解一：对碰撞过程应用动量原理

12. τ t mg N mg + ( ) = 0 0 t 6 ( N ) ) N = mg + 1 = 1.69 1 0 ( × τ N m h m v 0 m mg 工件 解二：对整个过程应用动量原理

13. m = 0 3 kg 2 1 [例2]一小球与地面碰撞 × , . α -1 0 = 6 0 v v 5 . 0 m s t = Δ 0.05s = = 碰撞时间 求:平均冲力。 Δ α α = N t mv sin mv sin N x N y ( N mg ) t mv cos α Δ = N y x ( mv cos ) α mg N 0 = x v Y v 2mv cos α N mg = + y α α t Δ X = 2.0 + 0.2 ( N ) = 2.2 ( N )

14. y h+l L L -l h o l • [例 3] 质量为 m 均匀链条，全长为 L，手持 • 其上端，下端与地面的距离为 h。手一松， • 链条自由下落在地面上，试求链条下落在地 • 面的长度为 l 的瞬时，地面所受链条作用力 • 的大小。 解：设链条线密度为 ρ 则 ρ= m / L。 若链条下落在地面的长度 为 l，则该段链条的质量为 ml =m l / L。 l 段对地面的作用力： ml g = ml g / L

15. y h+l L L -l h o l • 此时，未落地部分的速度为 • v =[ 2g( h + l )] 1/ 2 • 在 dt 时间内，微元段 • vdt 落地。落地前速度为 - v， • 落地后速度为 0，这是在时 • 间 dt 内受地面冲力 f 而致。 • 动量原理：f dt = 0 - ( - ρvdt v) = ρv2 dt • 所以 f = ρv2 = 2mg（h + l）/ L • 地面所受总作用力的大小为： • F总= mlg/L+ 2mg（h + l）/ L • = mg（2h + 3 l）/ L

16. 例 3-5 一质量为m的质点系在绳子的一端，绳的另一端穿过水平光滑桌面中央的小洞，起初下面用手拉着不动，质点在桌面上绕O作匀速圆周运动，然后，慢慢地向下拉绳子，使它在桌面上那一段缩短。质点绕O的角速度ω如何随半径 r变化? vo ro F r • 解：质点受到的是一个有心力，故其角动量守恒 • v = rω • L = mrv = mr2ω • 角速度反比于半径的平方 • ω  1 / r2

17. 例3-7 一弹簧放在水平位置上，如图所示，把质量为 m的质点向右移动一距离 L，然后释放。当质点离平衡位置的距离为 x 时，试求它的动能。 k F m X 0 x • 解：当弹簧伸长一距离 x 时，弹簧对质点的作用力： F = - kx ( k为倔强系数 ) • 当质点被释放时，x=L，F= - kL，v0= 0，因而初动能为零。

18. 令 v 表示在中间位置 x上的速率，把质点从 L 移至 x 时对质点所作的功为 • A = Lx Fdx = Lx - kx dx • = k ( L2 - x2 ) /2 • 根据动能定理可得： • mv2/2 - 0 = k ( L2 - x2 ) / 2 • 因此 上式表明，只要 x 的绝对值相同，速率便具有相同的值；也就是说，质点的运动对称于O点。在 x 处的速度 vx =±v，说明该处的质点可向左或向右运动。同时表明质点的运动将限于在 x = -L 和 x = +L 的范围内。

19. 例3-9 有心力作功与势能 • 解：设有心力的力心为参考系原点O，一般有心力可表示为 F(r) = F(r) ro其中 ro为 r的单位矢量。有心力作功为： • A = AB F(r)dr • = AB F(r) rodr • = rArB F(r)dr （路径无关） • 所以有心力为保守力，并且相应的势能仅取决于质点至力心的距离，即 • Ep= Ep(r) = - F(r)dr

20. Ep = - F(r)dr • 例如：(1) F(r) = k /r2  • Ep = - F(r)dr =k /r2dr = k /r + C • 对于与 r成反比的势能，在决定 C时，习惯上取 r =∞处的 Ep∞=0，所以C=0，因而有： • Ep= k /r • 此式在研究万有引力和库仑力时十分有用。 （2）一维有心力 F = - kx（弹性力） • Ep= -  Fdx =  kxdx = kx2 /2 + C • 习惯上令 x= 0时，Epo= 0，所以 C=0，因而 • Ep= kx2 /2 • 这个式子在讨论振动时是很有用的。

21. 例3-10 处于保守力场中的某一质点被限制在 x 轴上运动，它的势能Ep(x)是 x 的函数，它的总机械能 E 是一常数，设 t = 0 时，质点位置为 x0 。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向 x 轴正方向，试求质点位置 x 与时间 t 的关系。 • 解：在 t 时刻，质点位置为 x ，速度为 v。 • 机械能守恒定律： • E= mv2/ 2 + Ep(x) = m(dx/dt)2/ 2 + Ep(x)   

22. 例 3-11 一链条总长为 L，质量为 m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与 桌面之间的摩擦系数为μ，令链条由静止开始运动，则 (1) 链条离开桌面的过 程中，摩 擦力对链条作了多少功 ？(2) 链条离开桌面时的速率是多少 ？ L - x O x X • 解：设链条线密度为ρ= m/L • 1、建立坐标 OX 轴，链条下 • 垂一端的长度为 x ，则 • 摩擦力：f =μρg（L - x）

23. L - x O x X • f = μmg（L - x）/ L • 摩擦力作功：Af = -∫aL f dx • = -∫aLμmg（L-x）/ Ldx • = -μmg（L-a）2 / 2L • 2、重力作功：AG =∫aL mgx/Ldx • = mg（L2 -a2 ）/ 2L • 动能定理：Af + AG = mv2 / 2 - mvo2 / 2 • 因为 vo = 0

24. B-8 空中有一气球，下连一绳梯，它们的质量共为 M ，在梯上站一质量为 m 的人，起始时气球与人均相对于地面静止。当人相对于绳梯以速度 v 向上爬时，试求气球的速度 • 解：设气球速度 V球地 ，人相对地速度 u人地 • 人相对绳梯 ( 球 )速度 v人球 • 相对速度： u人地 = v人球 + V球地 • 标量式： u = v + V • 动量守恒：MV + mu = 0 • MV + m( v +V ) = 0 • 所以 V = - mv/( M+m)

25. B-9 粒子 B 的质量是粒子A 的质量的 4 倍，开始时粒子A 的速度为 ( 3 i +4 j )，粒子 B 的速度为 ( 2 i - 7 j )，由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为 ( 7 i - 4 j )，试求粒子 B 的速度。 • 解：根据题意mB = 4mA • 动量守恒：mA ( 3 i +4 j ) + mB ( 2 i - 7 j ) • = mA ( 7 i - 4 j ) + mBvB • vB = mA/ mB ( 3 i +4 j -7 i + 4 j ) + 2 i - 7 j • = i - 5 j

26. 2-1 质量为 m 的小球，用轻绳 AB、BC连接，如图，剪断绳 AB 前后的瞬间，绳 BC中的张力比 T:T' = 1:cos2 C  A B

27. 2-1 质量为 m 的小球，用轻绳 AB、BC连接，如图，剪断绳 AB 前后的瞬间，绳 BC中的张力比 T:T' = 1:cos2 y C  A T x B mg y' C  T' B mg x' • 剪断后: y’ 方向平衡 • T' = mgcos (2) • T:T' = 1:cos2 解: 剪断前: y 方向平衡 Tcos = mg (1)

28. 2-2 图中 p 是一圆的竖直直径 pc 上的端点，一质点从开始分别沿不同的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的时间相比较是 • (A)到 a 用的时间最短。 • (B)到 b 用的时间最短。 • (C)到 c 用的时间最短。 • (D)所用时间都一样。 p a b c

29. 2-2 图中 p 是一圆的竖直直径 pc 上的端点，一质点从开始分别沿不同的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的时间相比较是 • (A)到 a 用的时间最短。 • (B)到 b 用的时间最短。 • (C)到 c 用的时间最短。 • (D)所用时间都一样。 • 解：pc =d，pa =dcos • x方向：mgcos =ma 即 a =gcos （常数） • 匀速直线运动：dcos =at2/2=gcos t2/2 • t = ( 2d/g )1/2， 与  无关 。 答案 ( D ) p N a  d mg b x c

30. 2-3 一质量为 m 的质点在 x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cos  t i + b sin  t j，求受力的情况。 解：质点运动方程：x = a cos  t y = b sin  t 质点运动轨迹为椭圆：x2 / a2 + y2 / b2 = 1 v = -  a sin  t i +  b cos  t j a = - 2 a cos  t i - 2b sin  t j = - 2r 质点受力 f = m a = - m2r ，恒指向原点。

31.  y N an mg  x o x 2-4 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为 y = ax2 ，a 为常数。小环套于弯管上。求：弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。 解：(1) N cos = mg (1) N sin = man = m2 x (2) (2)  (1) tg  = 2 x / g 由抛物线方程 y = ax2 可得： tg  = dy/dx = 2a x  2 x / g= 2a x   = ( 2ag )1/2

32. v u 飞 船 M(t) 微尘粒子流 2-5 一宇宙飞船以恒速 v在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以 dm/dt 的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为 u，方向与 v 相反，在时刻 t 飞船的总质量为 M(t) ，试问：要保持飞船匀速，需多大的力 F？ 解： 飞船动量 尘粒动量 t 时刻 M(t) vu dm t + dt 时刻 [M(t)+dm] v F = {[M(t)+dm] v-M(t) v - udm}/dt = (v - u) dm/dt 向前推力：F = ( v + u) dm/dt

33. 2-6 质量为 m 的质点，以不变速率 v 沿图中正三角形ABC的水平光滑轨道运动，质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 • (A) mv (B)1.414mv (C) 1.732mv (D) 2mv • 答案 (C) mvo A I mv B C

34. 2-14 一质量为 2 kg的质点，在 xy 平面上运动，受到外力F =4i -24t2 j ( SI )的作用，t=0时，它的初速度为 vo =3 i +4 j (m/s)，求t=1s时质点受到的法向力 Fn 的大小和方向。 • 解：设质点质量 m=2kg，t =1s时，速度为 v • 动量定理：mv-mvo=o1Fdt= o1(4 i - 24t2 j)dt • v = o1(2 i - 12t2 j)dt + vo • =2 i - 4 j +3 i +4 j • =5 i m/s • 即切向方向为 i，法向方向为 j。所以 t = 1 s时质点受到的法向力 Fn= -24t2 j|t=1= -24 j (N)

35. 2-17 下列叙述中正确的是 • ( A ) 物体的动量不变，动能也不变。 • ( B ) 物体的动能不变，动量也不变。 • ( C ) 物体的动量变化，动能也一定变化。 • ( D ) 物体的动能变化，动量却不一定变化。 • 解：Ek = |P|2/2m 答案(A) • 1. 动量 P 不变，|P|也不变，动能也不变。 • 2. 动能 Ek不变，即|P|不变，但 P可以变。 • 3. 动量 P 变化，|P|可不变，动能也可不变。 • 4. 动能Ek变化，|P|变化，动量一定变化。

36. 2-35 一物体按规律 x =ct3在媒质中作直线运动，式中 c 为常数，t 为时间。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为 k，试求物体由 x =0 运动到 x = L 时，阻力所作的功。 • 解：v =dx/dt =3ct2 = 3c(x/c) 2/3 = 3c1/3 x2/3 • f = - kv2 = - 9kc2/3x4/3 • A =oL fdx = oL - 9kc2/3x4/3 dx • = - 9kc2/3 (3x7/3 /7)|oL • = -27kc2/3L7/3 /7

37. A-10 有一水平放置的板，在此板上放有一物体，沿水平方向作简谐振动 T = 0.5 秒。物体与板之间的摩擦系数为 0.5 ，试问要使此板上的物体不致滑动的最大振幅为多少？若将此板改为垂直方向作简谐振动，振幅为 5 cm，要使物体一直保持与板接触的最大频率为多少？ • 解：静摩擦力最大值为 fsmax = N = mg • 振动时，最大加速度值：amax = 2A • (1) 不打滑条件：板上物体的加速度有静摩 • 擦力提供。 • Fsmax = mamax mg = m2Amax

38. N m mg • 故：Amax = g/2= gT2/42 • = 0.59.80.52(43.142 ) • = 0.032 m • (2) 垂直方向上下振动时，物体在垂直方向 • 受的力为 ( 向下为正值 )： • F合= mg - N = mamax = m 2A • 不接触时，N = 0 • mg = m2maxA •  max = (g/A)1/2 = ( 9.8/0.05 )1/2 = 14 rad /s • max = /2 = 14/23.14 = 2.2 Hz

39. B-8 空中有一气球，下连一绳梯，它们的质量共为 M ，在梯上站一质量为 m 的人，起始时气球与人均相对于地面静止。当人相对于绳梯以速度 v 向上爬时，试求气球的速度 • 解：设气球速度 V球地 ，人相对地速度 u人地 • 人相对绳梯 ( 球 )速度 v人球 • 相对速度： u人地 = v人球 + V球地 • 标量式： u = v + V • 动量守恒：MV + mu = 0 • MV + m( v +V ) = 0 • 所以 V = - mv/( M+m)

40. B-9 粒子 B 的质量是粒子A 的质量的 4 倍，开始时粒子A 的速度为 ( 3 i +4 j )，粒子 B 的速度为 ( 2 i - 7 j )，由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为 ( 7 i - 4 j )，试求粒子 B 的速度。 • 解：根据题意mB = 4mA • 动量守恒：mA ( 3 i +4 j ) + mB ( 2 i - 7 j ) • = mA ( 7 i - 4 j ) + mBvB • vB = mA/ mB ( 3 i +4 j -7 i + 4 j ) + 2 i - 7 j • = i - 5 j

41. B-18 一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？(A)质点动量改变时，质点动能一定改变。 (B)质点动能不变时，质点动量也一定不变。(C)外力的冲量是零，外力的功一定为零。(D)外力的功为零，外力的冲量一定为零。 • 解：Ek = |P|2/2m 答案(C) • 1. 动量 P 改变，方向改变，大小 |P| 可不变。 • 动能 Ek不变，即|P|不变，但动量 P可以变。 • 2. I外是零，P 不变，Ek不变，A外为零。 • A外为零，Ek不变，P可以变，I外可不为零。

42. B-24 二质点的质量各为 m1 、m2，当它们之间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的功为 Gm1m2( 1/b - 1/a )。 • 解：A保 = - ( Ep末 - Ep初 ) • = - ( - Gm1m2/b + Gm1m2/a ) • = Gm1m2( 1/b - 1/a )

43. B-34 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo距离，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？ A B xo A B

44. B-34 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo距离，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？ A A B B xo A B • 解：弹簧恢复到原长时， • mB 的速度为 vo。 vo

45. B-34 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo距离，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？ A A B B xo A B • 解：弹簧恢复到原长时， • mB 的速度为 vo。 • 机械能守恒： • mBvo2/2 = kxo2/2 vo

46. B-34 物体 A和 B，质量分别为 mA与mB ，用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo距离，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？ A A B B xo A B • 解：弹簧恢复到原长时， • mB 的速度为 vo。 • 机械能守恒： • mBvo2/2 = kxo2/2 • 方法1:当两物体速度 v 相等 • 时，伸长量 x 最大 vo

47. v v L A B xA xB • 动量守恒：mB vo = ( mA + mB ) v • 机械能守恒： mBvo2/2=( mA+ mB )v2/2+kx2/2 • x =[ mA /( mA+ mB )]1/2 xo < xo • L为弹簧原长 • 方法2: x = xA - xB - L , x 为最大的条件： • dx/dt = dxA /dt - dxB /dt = 0 • 即 vA = vB = v