電路學

電路學 第五章交流電路

直流與交流的差異 • 直流電流只往單一方向來傳送。一個穩態或理想條件下的直流，其電壓或電流在理論上不隨時間來改變，如圖5-1所示。但在某些應用裡需要用到如圖5-2所示的波形，此一波形稱為脈波直流，當使用到此一波形時在某一時段裡，電源供應器，提供了一個從零往最大值來增加的電壓，到達最大值之後，又往零來減少。減少到零後又再度往最大值來增加，如此反覆來進行，雖然其值一直在改變，但其電流的流向不變，只在單一方向來流動，一般的電池充電器就是以此一方式來工作。圖5-1 穩態直流圖 5-2 脈波直流

直流與交流的差異 • 交流電是一種大小及方向均隨時間來變的電，在某一瞬間裡因電壓的關係，電流往某一方向來流動，而在另一瞬間電壓的極性改變，而使電流往相反的方向來流動，如圖5-3(a)所示，而圖5-3(b)為常用的交流電波形，圖5-3(c)及(d)表示電流流向隨電壓極性來改變的關係。圖5-3 交流

交流波形 • 交流波形一般可分為六種，分別為弦波(圖5-4(a))、方波[圖5-4(b)]、脈波(圖5-4(c))、三角波(圖5-4(d))、鋸齒波(圖5-4(e))以及不規則波(圖5-4(f))。圖5-4 各種交流波形

弦波 • 弦波是最常用的交流波形，一般發電機所產生的波形即為正弦波，圖5-5所示即為正弦波的完整表示法。圖5-5 正弦波

弦波 • 正弦波若以數學式來表示，可表示為： (5-1) i(t)表示在某一時間t裡正弦波之大小。 IP表示正弦波的峰值，亦即最大值。 表示正弦波變化的角頻率，f表示正弦波變化的頻率。 T表示正弦波的週期，表示相角。

弦波 • 幅度所指為正弦波在某一瞬間裡的大小，圖5-6所示為幅度隨時間變化的情形，在此一圖上是以向量的方式來表示幅度，其中幅度的長度表示電流或電壓的大小，而向量箭頭所指的方向即表示電壓之極性或電流的流向。圖5-6 正弦波之幅度

弦波 • 最大的幅度稱為峰值，正弦波有兩個峰值，其中一個為正峰值，另一為負峰值，而正峰值與負峰值的差值稱為峰至峰值 Ip-p，如圖5-7所示。圖5-7(a)所示為一個幅度為10A的正弦電流，而其峰至峰值Ip-p＝20A。圖5-7(b)所示為一個幅度為Vp＝9V的正弦電壓波形，其峰至峰值Vp-p＝18V。圖5-7 峰至峰值(a)Ip＝10A，Ip-p＝20A及(b)Vp＝9V，Vp-p＝18V之正弦波

弦波 • 當直流電流I流過電阻R時，會依P＝I2R之速率來發熱而消耗能量，若一交流電流i(t)流經電阻R，則每一瞬間之i(t)均在電阻R內以p(t)＝i2(t)R之方式來消耗功率。在交流電一週期T內，電阻所消耗之總能量為： (5-2) 則此電流i(t)流經電阻R在T秒內平均消耗之功率為： (5-3)

弦波 • 若有某一直流電流I於T秒內在電阻R中所消耗的功率恰等於(5-3)式，則此一直流電流I就稱為是交流電流i(t)之有效值Ieff (5-4) 或 (5-5)

弦波 • 交流電i(t)之有效值是經由三個步驟所計算得到，首先將瞬間值i(t)加以平方，然後取其平均值，最後再開根號。因此依其運算過程來命名，有效值又稱為根均方(rms)值，對正弦波而言其有效值或rms值是等於峰值的0.707倍，亦即 Vrms＝0.707Vp[V](5-6) 或 Vp＝1.414Vrms＝Vrms[V](5-7) 如圖5-8所示。除非有特別註明，否則一般交流電壓或電流均以rms值來表示。例如一般家用的110V所指即為rms值，其瞬間最大幅度為110V×1.414＝155.54V，在考慮用電器具之耐壓時，即以此一最大幅度為準。

弦波圖5-8 有效值與峰值的關係

弦波 • 平均值是指交流波形曲線所包含的面積除以其所經過的時間亦即週期所得到的值。對一完整的正弦波而言，它包含有正半週及負半週兩部分，這兩部分完全相等，但符號相反，如果在計算平均值時採用一週期的話，則其平均值必定為零，所以一般以半週來加以考慮。對一完美的正弦波而言，其平均值與峰值的關係為： Vave＝0.637Vp(5-8) 圖5-9 平均值與峰值的關係

弦波 • 在一般應用裡很少使用到平均值，但任何一波形其有效值與平均值之比稱為波形因數(FF)，亦即 (5-9) 對一完美的正弦波而言FF＝1.11。直流電其有效值與平均值相等，所以FF＝1。由此可知，當波形平坦時，其FF＝1，當波形變為尖凸時其FF會增大，波形愈尖凸，FF就愈大。此一FF值是專門用來判斷一波形是否為完美的正弦波。

例5-1 • 若有一大小為120V的交流電，其為正弦波，試求其Vp，Vp-p及Vave。 • [解]：因Vrms＝120V，所以 Vp＝1.414×120V＝169.68[V] Vp-p＝2Vp＝2×169.68V＝339.36[V] Vave＝0.637Vp＝0.637×169.68V＝108.09[V]

弦波 • 所謂週期是指一正弦波形完成一週所需要的時間，通常以秒(s)為單位，並以T來表示。正弦波形的一週是指由零開始增加到最大值，再降為零，然後再往反方向最大值來變化，到達負最大後再降為零，即完成一週的工作。圖5-10 頻率與週期

弦波 • 頻率是指週期性波動在單位時間裡重覆的次數，以f來表示，其單位為赫(Hz)，1Hz等於每秒一週，頻率與週期成倒數關係。所謂角頻率是以每秒弧度(rad/s)來表示的頻率關係，它與頻率f的關係為＝2f，而它與週期的關係為T＝2，。例如一般家用電力系統其電壓為110V，頻率為60Hz，意指每秒鐘電器插座端的電壓變化60週，每一週的週期為

弦波圖5-11 110V，60Hz交流電源

例5-2 若有一正弦波完成2週需要25ms，則在1秒裡它共有幾週？ • [解]：完成2週需要25ms，亦即每週需要12.5ms，因此每秒的週數或頻率為：

例5-3 試求下列各頻率之週期：(a)100MHz，(b)每5秒40週， (c)500KHz • [解]： (a) (b)40週/5s＝8週/s＝8Hz (c)

弦波 • 直流與交流最大的不同是交流電裡存在有相角的關係，所謂相角是指兩個具有相同頻率之正弦波其間的角度關係。以圖5-12的波形來加以說明，圖5-12(a)所示為兩個具有相同頻率但幅度不一樣的正弦波，其中A的正走向零點出現在0，其正峰值是在90，其負走向零點在180，負峰值在270，整個週波是在360完成。而B的各走向及峰值出現的角度與A完全相同，因此A及B兩者稱為同相。但在圖5-12(b)裡B相對於A向右移了90，因此這兩波形稱為異相。此一90的相移或相角表示A領先B 90或B落後或滯後A 90。通常領先或落後的關係是以正斜率部分來比較。由圖5-12(b)可知，A的正峰值出現比B的正峰值出現早，因此可以說是A領先B或B落後A。圖5-12 (a)同相，(b)異相

例5-4 • 圖5-13(a)及(b)裡兩波形的相關係為何？ • [解]：在圖5-13(a)裡兩波形相差90，其中B的正峰值較A的正峰值早90出現，因此B領先A 90或A滯後B 90。在圖5-13(b)裡兩波形相差45，其中A的正峰值先出現，因此A領先B 45或B滯後A 45。圖5-13 例5-4之圖

方波 • 方波是一週期波，其正及負峰值存在的時間長度一樣，而兩者是交互出現，如圖5-14所示。對一方波而言，其峰值、有效值及平均值三者是相等。方波的一週包含有兩個部分，其中一個是峰值為正的正脈波，而另一個是峰值為負的負脈波，對一完美的方波而言，其正脈波寬與負脈波寬為相等。在正弦波裡所存在的各參數同時也存在於方波，例如以圖5-14的方波為例，其峰值為Vp＝10V，峰至峰值為Vp-p＝20V＝2Vp，其頻率為1KHz，而週期為T＝1/f＝1ms，也就是指正脈波寬及負脈波寬均為(1ms/2)＝0.5ms。圖5-14 方波

方波 • 工作週期是一個只存在於方波及脈波裡的參數，在正弦波裡並不需要考慮工作週期。所謂工作週期是指脈波寬度與週期之比，一般是以百分數來表示，亦即 (5-10) 對完美方波(圖5-14所示者)而言，工作週期必定為50%，若工作週期少於50%，則它就被歸納為後述的脈波類。

方波 • 對一完美方波而言，其峰值、平均值及有效值是相等，但此一關係只出現在如圖5-14所示的方波，也就是正負兩半週是相對於零點來變化，而且是以半週來考慮平均值的情形。實際上對一方波而言，其平均值可以用下式來計算：平均值＝基線＋(工作週期×峰至峰值) (5-11) 所謂基線是指方波存在的最小值，以圖5-14的方波為例，其基線為－10V。若利用(5-11)式來計算圖5-14方波的平均值，則 Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值) 　　　＝－10V＋(50%×20V)＝－10V＋10V＝0[V] 亦即是指相對於零點來變化的完美方波其平均值為零

方波 • 方波不一定是相對於零點來變化，如圖5-15所示方波是由2V變化到18V，亦即是指其基線是在2V的位置，而其Vp-p＝16V，因此對此一波形而言，其平均值為： Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)＝2V＋(0.5×16V)＝10[V] 圖5-15 不相對於零點來變化的方波

方波 • 理想方波，是指當它由正峰值轉變到負峰值或者由負峰值轉變到正峰值，都是在瞬間進行而沒有任何延誤。圖5-16 理想方波變化

方波 • 實際上當方波由負峰值轉變到正峰值，亦即作正邊緣或領先緣的變化工作時，不可能在瞬間裡完成，而是必須要經過一段所謂的上升時間(TR)才可能完成。相同地，當它由正峰值轉變到負峰值，亦即作負邊緣或拖曳緣的變化工作時，也需要經過一段所謂的下降時間(TF)才能完成。上升時間是指由全幅度10%上升至90%所需要的時間；而下降時間是指由全幅度90%下降到10%所需要的時間。圖5-17 上升及下降時間的定義

方波 • 對實際方波而言，很難以確定它的寬度，因此必須訂出一寬度測量的標準，通常是以全幅度50%的寬度視為是方波的寬度。圖5-18 方波之寬度

脈波 • 脈波亦稱為矩形波，與方波很相似，它也是一種在兩個固定值之間作交換的週期波。唯一不同的地方是，在脈波裡這兩個固定值所存在的時間不一定是相等，如圖5-19所示。在圖5-19(a)裡正值所存在的時間較負值所存在的時間為短，它稱為正脈波。而圖5 -19(b)則相反，其負值所存在的時間較短，它稱為負脈波。圖5-19 (a)正脈波，(b)負脈波

脈波 • 某些在正弦波及方波所用到的參數在脈波裡必須要修改，例如正弦波及方波裡的頻率，對脈波而言必須改稱為脈波重覆頻率(PRF)，在正弦波及方波裡頻率的倒數為週期，但在脈波裡，脈波重覆頻率的倒數稱為脈波重覆時間(PRT)。 • 以圖5-20的脈波為例，它是一個頻率為1KHz，脈波寬度為1s而幅度為5V的脈波，頻率為1KHz則表示此一脈波每1ms(1/1000Hz)重覆一次，也就是兩個領先緣之間相隔1ms或可說其PRT=1ms，在此一例子裡其脈寬只有1s，也就是指兩脈波相隔了999s，在此段時間裡沒有任何訊號的存在。圖5-20 脈波的PRT

脈波 • 脈波的工作週期之定義與方波相同，也就是脈波寬度與脈波重覆時間，PRT，之比。對圖5-20的例子而言，也就是指脈波只佔了整個週期的0.1%。 • 脈波平均值的計算與方波者相似，對圖5-20而言， Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值) ＝0V＋(0.001×5V)＝0V＋5mV＝5[mV]

例5-5 • 有一脈波，其峰值為20kV，脈波寬度為1s，基線電壓為0V，PRF=3300脈波/秒，試求其工作週期及平均值。 • [解]：因　　所以 Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值) ＝0＋(0.33%×20kV)＝66[V]

三角波 • 三角波是由兩個時間變化率相似的斜坡所合成，但一個往正方向來變，而另一個則往負方向來變。 • 三角波的頻率、週期之定義與正弦波及方波者相似，但對三角波而言，其平均值為峰值的50.5%，而有效值為峰值的62.4%。圖5-21 三角波

鋸齒波 • 鋸齒波與三角波很相似，但它其中的一個斜坡之斜率為無限大。圖5-22 鋸齒波(a)正斜坡，(b)負斜坡

其他波形

交流運算之數學關係 正弦波的變化過程可用一長度固定之旋轉向量在縱軸之投影來表示。圖5-24 正弦波與旋轉向量之關係

相量 • 如圖5-24所示，長度H的半徑以一定的速率(即正弦波的角頻率)反時針轉動，它在各位置的垂直分量恰巧等於正弦波在該位置之幅度，此H可代表一正弦波電壓或電流之峰值。此一表示正弦波之旋轉向量稱為相量，相量常以位置在t=0時之旋轉向量表示，此向量與水平軸之夾角即為該正弦波的相角。若角度由水平軸反時針方向起算得到，則相角為正值，否則為負值。相量具有空間向量之性質，可用於相同頻率正弦波之加減；在交流電路中，相量之大小通常代表該正弦波之有效值。

相量 • v(t)＝50cos(t+60)[V](5-12) 的正弦波，若以相量方式來表示，則可以表示為 (5-13) 在此一表示法裡並不存在有頻率的項目，因此在利用此一表示法時，頻率必須要另外說明。 • (5-13)式的表示方法是一種所謂的複數表示法，複數是一個包括有兩個部分的數，其中一部分稱為實部，而另一部分稱為虛部。

複數 • 一般常用的數例如5、2.3或等，稱為是實數，任何實數其平方根必定為正實數，但有某些數其平方根卻為負實數，此類數即稱為虛數，通常一虛數是以j的符號來表示，其中。因為j2＝－1，故1/j＝－j。 • 任何一複數均可表示為： Z＝x＋jy 其中x表示Z的實數部並以Re(Z)來表示，而jy表示Z的虛數部，並以Im(Z)來表示，因此一複數也可以表示為： Z＝Re(Z)＋Im(Z)

複數 • 相對於任何一複數均有一共軛存在，對 Z＝x＋jy 的複數而言，它的共軛為 Z*＝x－jy 當兩複數互為共軛時，它們的實部與虛部的絕對值是相等，但虛數的符號是相反。 • 任何一複數與其共軛的乘積必定為一實數，例如將Z與Z*相乘可得： • 通常ZZ*是以來表示，它代表Z的絕對平方值，因此的絕對值為。

複數 • 任何一複數都可用複數平面上的任何一點來表示。複數平面實際上就是一個如圖5-25所示的x-y平面，但其水平軸，亦即一般所謂的x軸是以Re(Z)來表示其座標；而垂直軸，亦即一般所謂的y軸是以Im(Z)來表示其座標。圖5-25 複數平面

複數 • 任一複數是以存在於複數平面上的一個點來表示，此一代表複數的點其座標的表示方式有三種，分別為： (1)直角座標表示法：Z＝x+jy(5-18) (2)極坐標表示法：Z＝r(cos+jsin)(5-19) (3)指數表示法：Z＝re j＝r(5-20) 其中x及y分別表示該點的水平軸(實數軸)及垂直軸(虛數軸)的坐標，而r表示複數的絕對值，它可表示為： (5-21) • 表示複數相量與實數軸之間的夾角，大小可表示為： =tan－1(y/x) 同時由(5-18)、(5-19)及(5-20)式的關係可知： • x＝rcos及y＝rsin 複數雖然有各種不同的表示方法，但它們之間可以互換

複數 • 複數可以進行加減乘除等不同的運算，但必須要遵守一些規則，通常在進行加減運算時是採用直角座標型式，將其實數部分及其虛數部分分開處理。 • 在進行乘及除的運算時也可以利用直角座標型式來進行但比較麻煩，若採用指數型式就簡單多，如在相乘時或相除時或 • 在相乘時絕對值相乘而角度相加，在相除時絕對值相除而角度相減。

複數 • 當一正弦波其表示式為v(t)＝Vocos(t+)時，則其相量表示法可寫為V=Voej。相反的假如一相量為已知時，將此一相量與ejt相乘然後取其實數部分即可得正弦波的表示式。也就是指當Voej已知時，可進行以下之運算工作： Re(Voejejt)＝Re(Voej(t+)) 　　　　　　　＝Re{Vo[cos(t+)+jsin(t+)]} 　　　　　　　＝Vocos(t+)

正弦波型式 • 任何一正弦訊號都可以用兩種方式中的任何一種來表示，時域型式v(t)＝Vocos(t+)以示波器來觀察相量型式或頻域型式V()＝Voej以頻譜分析儀來觀察 • 在交流電路裡，使用相量的主要原因是使計算處理的過程簡單化，因為相量的運算只需要用到簡單的加減乘除，若以時域型式來加以運算，則必須要使用到較為複雜的三角函數轉換關係，圖5-26 1KHz正弦波的波形(a)時域，(b)頻域

例5-6 • 今有兩交流電源其值分別為： v1(t)＝15cos(377t＋45)[V]及v2(t)＝15cos(377t＋15)[V] 若兩者串聯在一起，則總電壓為多少？ • [解]：首先考慮時域的解法，展開這兩電壓可得： v1(t)＝15cos(377t+45)V ＝[15cos45cos377t－15sin45sin377t][V] v2(t)＝15cos(377t+15)V ＝[15cos15cos377t－15sin15sin377t][V] 將兩者相加，可得 vT(t)＝v1(t)＋v2(t)＝15(1.673cos377t－0.966sin377t) ＝15[1.932cos(377t＋30)][V] ＝29.98cos(377t＋30)[V]

例5-6(續) • 若以相量方式來處理，則其過程會簡化得多，首先將兩電壓寫成為相量型式 V1=15ej4.5=14.49＋j3.88[V] V2=15ej1.5=10.61＋j10.61[V] 　然後使兩者相加，可得 VT＝V1＋V2＝25.10＋j14.49＝29.98ej30[V] 再將它轉變回時域可得 vT(t)＝29.98cos(377t＋30)[V]

阻抗 • 在直流電路裡當有一電壓跨於電阻器的兩端時，將產生一流過電阻器的電流，此一電壓與電流的比值稱為電阻。此一關係也存在於交流電路裡，也就是指任何一電路元件當有一交流電壓跨於其間時，將會產生一交流電流。如同直流的情形一樣，此一交流電壓與交流電流也存在有一比例關係，但因交流電壓及交流電流都具有複數的形態，因此它們的比值也是以複數的形態存在。此一以複數形態來存在的比值稱為複數電阻，但一般稱之為阻抗)。因此對任何一電路而言，其阻抗，Z，被定義為跨於此一電路的相量電壓(V)與流過於其間的相量電流I之比值，亦即 (5-26)

阻抗 • 交流有兩種表示法，分別是時域表示法以及頻域或相量表示法。對時域表示法而言，設其電壓及電流分別為： v(t)＝Vpsin(t＋)[V] 及i(t)＝Ipsin(t＋)[A] 其相對應的相量可以表示為： V＝Vp[V] 及I＝Ip[A] 由(5-26)式的關係可得： (5-27) 其中Z＝Vp/Ip為阻抗的絕對值，而為阻抗的相角。在此要特別強調的是，阻抗是一個由兩個複數V及I的比值而得到的複數，不是一個相量，其性質與Vp及Ip不同，其並不代表相對的正弦時域函數，但電壓Vp及電流Ip則分別代表相對的正弦時域函數。

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