第二章运算方法和运算器

第二章运算方法和运算器 一、数据和文字的表示二、定点加法、减法运算三、定点乘法运算四、定点除法运算五、逻辑运算六、定点运算器的组成和结构

2.1 数据与文字的表示方法 -------------------------------------------------------------------------------- 2.1.1 数据格式 2.1.2 数的机器码表示 2.1.3 字符与字符串的表示方法 2.1.4 汉字的表示方法 2.1.5 校验码

2.1.1 数据格式 计算机中常用的数据表示格式有两种: 一是定点格式，二是浮点格式定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂。

1、定点表示法 定点格式：小数点位置固定的数。计算机中的定点数一般只采用纯整数或者纯小数形式，分别称为定点整数和定点小数。问题：（1）n +1位纯小数或纯整数的表示范围？（最高位为符号位）（2）定点格式表示有什么缺点？

定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn在定点机中表示如下(ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号):定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn在定点机中表示如下(ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号): 纯小数的表示范围为(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn各位均为0时最小；各位均为1时最大) 0≤|ｘ|≤1－2-n(2.1) 纯整数的表示范围为 0≤|ｘ|≤2n－1(2.2) X0 X1X2...Xn

目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。

2、浮点表示法 浮点格式：小数点位置不固定的数。把一个数的有效数字和数的表示范围在计算机中分别表示。（1）浮点数格式一个任意进制的数N可以写成： N = RE · M M:浮点数的尾数（mantissa)，一般用定点小数表示 N:浮点数的阶码(exponent)，一般用定点整数表示 R: 基数(radix)，一般为2，8或16。机器中，浮点数的格式如下： Es E1E2……Em Ms M1M2……Mn 阶符阶码数符尾数

或： Es Ms E1E2……Em M1M2……Mn 阶符数符阶码尾数或： Ms E1E2……Em M1M2……Mn 数符阶码尾数问题：.浮点数的表示精度和表示范围如何决定？

为便于软件移植，按照 IEEE754 的标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式为: 31 30 23 22 0 32位浮点数 S E M 63 62 52 51 0 64位浮点数 S E M Ｅ：阶码，采用移码方式来表示正负指数。采用这种方式时，将浮点数的指数真值e 变成阶码Ｅ时，应将指数 e 加上一个固定的偏移值127(01111111)，即Ｅ＝e＋127.

一个规格化的32位浮点数ｘ的真值可表示为 　ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127e＝Ｅ－127(2.5) 一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023 e＝Ｅ－1023 (2.6) （2）浮点数的规格化当尾数的值不为0时，其绝对值应大于等于0.5 ，否则要以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一要求的表示形式。

规格化规定： 如果阶码以2为基，则应满足： 1/2〈=|M|〈1 对于正数，规格化浮点数的尾数（补码）最高位是S1=1 对于负数，规格化浮点数的尾数（补码）最高位是S1=0 问题： 1 . 如何进行规格化？修改阶码，左右移尾数

问题2：规格化浮点数为什么提高了数据的表示精度？问题2：规格化浮点数为什么提高了数据的表示精度？充分利用了有效位数。可以证明（下去自己证明）

（3）机器零 当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值；或阶码的值遇到它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称机器零。 3、定点表示与浮点表示的比较从以下两个方面：数值表示范围浮点数的运算比定点数的运算复杂问题：在选择计算机中的数的表示方式时，应全面考虑哪些因素？

1.要表示的数的类型 2.可能遇到的数值范围 3.数值精确度 4.数据存储和处理所需要的硬件代价

3.十进制数串的表示方法 十进制数串在计算机内主要有两种表示形式： 1.字符串形式　字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。为了指明这样一个数，需要给出该数在主存中的起始地址和位数(串的长度)。 2.压缩的十进制数串形式　　压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。它比前一种形式节省存储空间，又便于直接完成十进制数的算术运算，是广泛采用的较为理想的方法。

用压缩的十进制数串表示一个数，每个数位占用半个字节，其值BCD码或数字符的ASCII码的低4位表示。用压缩的十进制数串表示一个数，每个数位占用半个字节，其值BCD码或数字符的ASCII码的低4位表示。符号位也占半个字节并放在最低数字位之后，其值选用四位编码中的六种冗余状态中的有关值，如用12(c)表示正号用13(d)表示负号。在这种表示中，规定数位加符号位之和必须为偶数，当和不为偶数时，应在最高数字位之前补一个0。例如＋123 和－12分别被表示成： 1 2 3 C 0 1 2 D 要指明一个压缩的十进制数串，也得给出它在主存中的首地址和数字位个数(不含符号位)，又称位长，位长为0的数其值为0。

4. 自定义数据表示 在传统的计算机体系结构中，用指令本身来说明操作数据的类型。自定义数据表示则用数据本身来说明数据类型。表示形式有两种，即标志符数据表示和描述符数据表示。

标志符数据表示要求对每一个数据都附加标志符，其格式如下：　　　　　标志符数据其中标志符指明后面的数据所具有的类型，如整数、浮点数、BCD数、字符串等。　 标志符数据表示的优点：能简化指令系统，便于程序调试和查错。缺点：数据区域占用的存储空间增加，并使指令执行的速度减慢。

描述符数据表示主要用来描述多维结构的数据类型，如向量、矩阵、记录等。其格式为：描述符数据表示主要用来描述多维结构的数据类型，如向量、矩阵、记录等。其格式为：描述符标志位部分指明这是一个数据描述符；特征标记部分指明数据的各种特征；长度部分指明数组中元素个数；起始地址部分指明数据块的首地址。   描述符标志位特征标记数据块长度数据块起始地址

标志符与描述符表示的区别是： (1)标志符与每个数据相连，二者合起来存放在一个存储单元，而描述符要和数据分开存放。 (2)描述符表示中，先访问描述符，后访问数据，至少增加一次访存。 (3)描述符是程序的一部分，而不是数据的一部分。

2.1.2数的机器码表示 机器数：计算机中表示的带符号的二进制数。把符号位和数字位一起编码来表示相应的数的各种表示方法。机器数有四种表示方法即原码、补码、反码和移码。

1.原码表示法 原码表示法用“0”表示正号，用“1”表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。

定点小数： X 1＞ｘ≥0 [X]原 = 1-X=1+|X| 0≥ｘ＞－1 完成下列数的真值到原码的转换 X1 = + 0.1011011 X2 = - 0.1011011 [X1]原=0.1011011 [X2] 原=1.1011011

对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式： [+0]原=0.000...0 [-0]原=1.000...0

原码小数的表示范围: • 最大值 :1- 2-n • 最小值:-(1- 2-n) 例：若二进制原码小数的位数分别是8、16位，求其该数表示的最大值、最小值及所能表示数的个数？ 8位: 127/128，-127/128，255 16位: 32767/32768 ， -32767/32768 ， 65535

定点整数： X 2n>X≥0 [X]原 = 2n-X=2n+|X| 0≥X>-2n 完成下列数的真值到原码的转换 X1 = + 0 1011011 X2 = - 0 1011011 [X1] 原 =01011011 [X2] 原 =11011011

原码整数的表示范围: [+0]原=00000000 ； [-0]原=10000000 • 最大值 : 2n-1 • 最小值:-(2n-1) 例：若二进制的位数分别是8、16，求其表示的最大值、最小值及表示数的个数 8位: 127，-127，255 16位: 32767 ， -32767 ， 65535

原码特点： • 表示简单，易于同真值之间进行转换，实现乘除运算规则简单。 • 进行加减运算十分麻烦。

2.补码表示法 模：计量器具的容量，或称为模数。4位字长的机器表示的二进制整数为： 0000~1111 共16种状态，模为16= 24。整数N位字长的模值为 2n，一位符号位的纯小数的模值为2。补码的定义：正数的补码就是正数的本身，负数的补码是原负数加上模。

定点小数： X 1＞ｘ≥0 [x]补= 2+X=2-|X| 0 ≥ X≥-1 完成下列数的真值到补码的转换 X1 = + 0.1011011 X2 = - 0.1011011 [X1]补=01011011 [X2]补=10100101

定点整数： X 2n>X≥0 [x]补= 2n+1+X=2n+1-|X| 0≥X≥- 2n 完成下列数的真值到补码的转换 X1 = + 0 1011011 X2 = - 0 1011011 [X1]补=01011011 [X2]补=10100101

补码的表示范围: • n+1位纯整数: 2n -1~ -2n • n+1位纯小数: 1- 2-n ~ - 1 对于0，[＋0]补＝[－0]补＝0.0000 　　注意，0的补码表示只有一种形式。

原码与补码之间的转换 • 原码求补码正数 [X]补=[X]原负数符号除外，各位取反，末位加1 例：X= -01001001 [X]原=11001001 ， [X]补=10110110+1=10110111 [X]补= 28 +X=100000000-1001001= 10110111 10 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1

3 反码表示法 正数的表示与原、补码相同，负数的补码符号位为1，数值位是将原码的数值按位取反，就得到该数的反码表示

定点小数: X 1＞ X ≥ 0 [X]反= (2- 2-n )+X 0 ≥ X > -1 X1=+0.1011011 ， [X1] 反 =0.1011011 X2= -0.1011011 ， [X2] 反 =1.0100100

定点整数: X 2n > X ≥ 0 [X]反= (2n+1 -1)+X 0 ≥ X > -2n X3=+1011011 ， [X3] 反 =01011011 X4= -1011011 ， [X4] 反 =10100100 对于0: [+0]反=00000000 ； [-0]反 =11111111

4.移码表示法 [X]移= 2n + X 2n >X≥-2n X1 = 0101 0101 [X1]补=0101 0101 [X1]移=1101 0101 X2 = -0101 0101 [X2]补=1010 1011 [X2]移=0010 1011

码制表示法小结 • [X]原、[X]反、[X]补用“0”表示正号，用“1”表示负号； [X]移用“1”表示正号，用“0”表示负号。 • 如果X为正数，则[X]原=[X]反 =[X]补。 • 如果X为0，则 [X]补、[X]移有唯一编码， [X]原、[X]反有两种编码。 • 移码与补码的形式相同，只是符号位相反。

上面的数据四种机器表示法中，移码表示法主要用于表示浮点数的阶码。上面的数据四种机器表示法中，移码表示法主要用于表示浮点数的阶码。 • 由于补码表示对加减法运算十分方便，因此目前机器中广泛采用补码表示法。在这类机器中，数用补码表示，补码存储，补码运算。也有些机器，数用原码进行存储和传送，运算时改用补码。 • 还有些机器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码运算。

[例5]设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问：[例5]设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问： (1)定点原码整数表示时，最大正数是多少?最小负数是多少? (2)定点原码小数表示时，最大正数是多少?最小负数是多少?； [解:] (1)定点原码整数表示　最大正数值＝(215－1)10＝(＋32767)10 0 111 111 111 111 111 　最小负数值＝－(215－1)10＝(－32767)10 1 111 111 111 111 111 (2)定点原码小数表示最大正数值＝(1－2－15)10＝(＋0.111...11)2 最小负数值＝－(1－2－15)10＝(－0.111..11)2

[例6]假设由S，E，M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数ｘ，真值表示为：[例6]假设由S，E，M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数ｘ，真值表示为：ｘ＝(－1)s×(1.M)×2E－128 问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？ [解:] (1)最大正数: 0 11 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11 ｘ＝[1＋(1－2-23)]×2127 (2)最小正数 : 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 ｘ＝1.0×2－128 (3)最小负数: 1 11 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11 ｘ＝－[1＋(1－2－23)]×2127 (4)最大负数: 1 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 ｘ＝－1.0×2－128

2.1.3 字符与字符串的表示方法 　　　　 1.字符的表示方法国际上普遍采用的字符系统是七单位的ASCII码(美国国家信息交换标准字符码，共128个元素。其中95个编码，对应着计算机终端能敲入并且可以显示的95个字符，打印机设备也能打印这95个字符，另外的33个字符，其编码值为0—31和127，则不对应任何一个可以显示或打印的实际字符，它们被用作控制码，控制计算机某些外围设备的工作特性和某些计算机软件的运行情况。

2.字符串 字符串是指连续的一串字符，通常方式下，它们占用主存中连续的多个字节，每个字节存一个字符。当主存字由2个或4个字节组成时，在同一个主存字中，既可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串的内容，也可按从高位字节向低位字节的次序顺序存放字符串的内容。

2.1.4 汉字的表示方法 1.汉字的输入编码　　为了能直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机，就必须为汉字设计相应的输入编码方法。当前采用的方法主要有以下三类: 数字编码：常用的是国标区位码，用数字串代表一个汉字输入。拼音码：拼音码是以汉字拼音为基础的输入方法。字形编码：字形编码是用汉字的形状来进行的编码。

2.汉字内码 　汉字内码是用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。英文字符的机内代码是七位的ASCII码，当用一个字节表示时，最高位为“0”。为了与英文字符能相互区别，汉字机内代码中两个字节的最高位均规定为“1”。

3.汉字字模码 字模码是用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式。　根据汉字输出的要求不同，点阵的多少也不同。字模点阵的信息量很大，所占存储空间也很大。因此字模点阵只能用来构成汉字库，而不能用于机内存储。字库中存储了每个汉字的点阵代码。当显示输出或打印输出时才检索字库，输出字模点阵，得到字形。

汉字的输入编码、汉字内码、字模码是计算机中用于输入、内部处理、输出三种不同 用途的编码，不要混为一谈。

2.1.5 校验码 　　　　　　　　　　元件故障、噪声干扰等各种因素常常导致计算机在处理信息过程中会出现错误。为了防止错误，可将信号采用专门的逻辑线路进行编码以检测错误，甚至校正错误。通常的方法是，在每个字上添加一些校验位，用来确定字中出现错误的位置。

奇偶校验 设ｘ＝(ｘ0ｘ1…ｘn－1)是一个n位字，则奇校验位Ｃ定义为 C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1 (2.15) 式中⊕代表按位加，表明只有当ｘ中包含有奇数个1时，才使C＝1，即C＝0。　偶校验位Ｃ定义为 C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1 (2.16) 即ｘ中包含偶数个1时，才使C＝0。

假设一个字ｘ从部件 A 传送到部件 B。在源点 A，校验位C可用上面公式算出来，并合在一起将(ｘ0ｘ1…ｘn－1C)送到B。假设在B点真正接收到的是ｘ＝(ｘ'0ｘ'1…ｘ'n－1C ')，然后计算 F＝ｘ'0⊕ｘ'1⊕…⊕ｘ'n－1⊕C ' 　　若F＝1，意味着收到的信息有错，若F＝0，表明ｘ字传送正确。奇偶校验可提供单个错误检测，但无法检测多个错误，更无法识别错误信息的位置。

第二章 运算方法和运算器