Спеціальні класи бінарних відношень

1. Спеціальні класибінарних відношень Функціональні відношення

2. Функціональні відношення FAB - функціональне відношення (x,y1),(x,y2)F  y1=y2 Для будь-якого xA існує не більше одного yB, що (x,y)F yоднозначно визначається по Fта x y=F(x)

3. Цей y позначається F(x)Оскільки це робиться для довільного xA,можна записати Функціональні відношення і функції FAB - функціональне відношення F для довільного x однозначно визначає y, такий що(x,y)F Залежність між y та x, яка визначається функціональним відношенням F називається функцією (відображенням)F

4. Функціональні відношення і функції • Функціональне відношення для довільної пари xA, yB визначає, чи належить ця пара даному відношенню (так, true), чи не належить (ні, false). • Функціяпо xAвизначає (обчислює) yB

5. Області відправлення та прибуття Область відправлення Може не співпадати з областювизначення Область прибуттяМоже не співпадатиз областю значень

6. образ x прообраз y Образи та прообрази

7. Образи та прообрази Нехай FAB - функціональне відношення Образом множини CA будемо називати множину всіх образів елементів множини C F(C)={yB|cC F(c)=y} Прообразом множини DB будемо називати множину всіх прообразів елементів множини D F-1(D)={xA|dD F(x)=d}

8. Прикладиобразів та прообразів

9. Обернена функція FAB - функціональне відношення (F:A→B – функція)Якщо обернене відношення F-1BA також є функціональним відношенням, то це відношення визначає деяку функцію, яку будемо називати оберненою до F функцією і позначати F-1:B → A

10. y = x2 y = sin x } не мають обернених Обернена функція

11. Лема про добуток функціональних відношень Добуток функціональних відношень є функціональним відношенням, Якщо FAB та GBC – функц. відношення, то F◦GAC – також функц. відношення F:A→B, G:B→C »»» F◦G:A→C

12. Доведення леми FAB, GBC, F◦GAC (x,z)F◦GyB (x,y)F, (y,z)G (x,z1),(x,z2)F◦G y1 (x,y1)F, (y1,z1)G; y2 (x,y2)F, (y2,z2)G (x,y1)F, (x,y2)F; (y1,z1)G, (y2,z2)G   в силу функціональності F y1=y2, (y1,z1)G, (y2,z2)G  (y1,z1)G, (y1,z2)G  z1=z2в силу функціональності G

13. Добуток функціональних відношень і суперпозиція функцій FAB, GBC, F◦GAC – функц. відношення, F:A→B, G:B→C, F◦G:A→C F:xA→yB, G:yB→zC, F◦G:xA→zC y=F(x), z=G(y) z=G(F(x)) F◦G:A→C »»» z=G(F(x)) Функцію, що відповідає добутку функціональних відношень F◦G, будемо називати суперпозицією відповідних функцій z=G(F(x))

14. Класифікація відображеньF:AB Ін’єкція «відображення в» Сюр’єкція «відображення на» Бієкція «взаємно однозначне відображення» δF=A та ін’єкція і сюр’єкція одночасно

15. Співвідношення для відображень f: XY, A,BX, C,DY

16. Доведення 1

17. Чиможнаобернутидоведення1 не можна

18. Приклад до п.1

19. Доведення 3

20. Доведення 3

21. Доведення 5

22. Доведення 5

23. Доведення6 AB  f(A)  f(B) y∊f(A) ⇒ y=f(x), x∊A ⇒ ⇒ y=f(x), x∊B ⇒ y∊f(B)

24. Зауваження до твердження1 Якщо f – ін'єкція, то f(A∩B)=f(A) ∩ f(B) f(A∩B)f(A) ∩ f(B) – вже доведено Доведемо, що <пр.част.>⊂<лів.част.> y∊f(A) ∩ f(B) ⇒y=f(x1),x1∊A, y=f(x2),x2∊B⇒ в силу ін'єктивностіx1=x2⇒ y=f(x1),x1∊A, x1∊B⇒ y=f(x1),x1∊A∩B⇒ y∊f(A∩B)

25. Якщо f ін'єкція, то f(A\B)=f(A) \ f(B) y∊ f(A\B)⇒ y=f(x),y=f(x),x∊A, x∉B⇒ а)y∊f(B),x∉B,⇒x∉B, y=f(x),y=f(x’),x’∊B⇒в силу ін'єктивності⇒x=x’ ⇒ x∉B, x∊B⇒ неможливо б) y∉f(B), y=f(x),x∊A, ⇒ y∊f(A), y∉f(B) ⇒ y∊f(A) \ f(B)

26. Якщо f ін'єкція, то f(A\B)=f(A) \ f(B) y∊ f(A)\f(B)⇒ ⇒ y∊ f(A), y∉f(B) ⇒ y=f(x),x∊A,y∉f(B) а) x∊B,y=f(x),x∊A, y∉f(B) ⇒y∊f(B), y∉f(B) ⇒ неможливо б) x∉B,y=f(x),x∊A, ⇒ y=f(x),x∊A\B⇒ yf(A\B)