第二章平面体系的几何组成分析

第二章平面体系的几何组成分析 §2-1 几何组成分析的目的 §2-2 平面体系自由度的概念 §2-3 几何不变体系的简单组成规则 §2-4 几何组成分析举例 §2-5 静定结构和超静定结构

第二章平面体系的几何组成分析 重点掌握内容： 1. 结构几何组成规律分析的目的 2. 基本概念：如：几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、自由度、约束 3. 几何不变体系的组成规律

第一节几何组成分析的目的 几何不变体系和几何可变体系 • 几何不变体系—— 在荷载作用下，不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状保持不变； • 几何可变体系—— 在很小荷载作用下，不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状也会改变； • 只有几何不变体系才可以作为结构。 • 几何组成分析的目的—— 判断体系是否为几何不变体系，以保证结构能承受荷载并维持平衡。

第二节平面体系自由度的概念 1. 自由度 • 自由度—— 体系在运动时，用来确定其位置所需要独立坐标的数目； • 平面内一点——需x、y坐标其位置，因此有两个自由度； • 平面内刚体——需x、y、a来确定其位置，因此有三个自由度；平面内点的自由度平面内刚体的自由度体系的自由度数—— 体系独立的运动方程数；几何可变体系的自由度大于零；几何不变体系的自由度不大于零。

刚性连接 铰连接链杆链杆支座铰支座固定端支座定向支座 2.约束 • 一个链杆：使自由度减少一，在相当于一个约束； • 一个单铰、铰支座、定向支座：使自由度减少二，相当于两个约束； • 一个刚性连接、固定端支座：使自由度减少三，相当于三个约束；

3. 多余约束 • 对体系的自由度（或几何不变性）没有影响的约束。 • 多余约束的数目等于保证体系几何不变可去掉最多约束的个数；一个多余约束两个多余约束

瞬变体系 4.瞬变体系 • 瞬变体系—— 在某一瞬时可产生微小运动的几何可变、经微小为以后又成为几何不变的体系； —从微小运动的角度来看是个可变体系； — 微小运动后，就转化为几何不变体系； — 瞬变体系的特点： 1) 必要的约束数不少，但约束的布置不合理，当发生微小位移后，约束的布置变得合理，就成为几何不变体系； 2) 在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至少有一个多余约束。

ì ì 无多余约多余约束－静定结构几何不变体系（可作为结构） í ï ï 有多余约多余约束－超静定结构 î 体系 í ì 常变变体 ï 几何可变体系（不能作为结构） í ï 瞬变变体 î î 常变体系不变体系 4.瞬变体系 • 几何可变体系分：瞬变体系和常变体系；常变体系——可以发生大位移的几何可变体系。

无穷远瞬铰 瞬铰瞬铰 5.瞬铰（虚铰） • 瞬铰——刚片的瞬时转动中心，两根链杆在某一瞬时的作用相当于其交点处的一个铰，该交点即为瞬铰。 ——瞬铰的位置在运动过程中不断改变。返回

5.瞬铰（虚铰） 注意：连接两个刚片的两根平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰。 • 体系中如有无穷远的瞬铰，在几何组成分析时，可采用影射几何中关于无穷点和无穷线的结论： • 每个方向都有且只有一个无穷远点（即该方向各平行线的交点）,不同方向有不同的无穷远点。 • 各方向的无穷远点都在一条广义直线上。 • 有限点都不在无穷线上。返回

第三节几何不变体系的简单组成规则 规则1 两刚片组成规则两个刚片用一个单铰和一个不通过铰的链杆相连可构成静定结构，称为单体或联合结构，当刚片为一直杆时称为梁式结构。

(a) 一铰一杆 (c) 一虚铰一杆 (b) 三杆情况第三节几何不变体系的简单组成规则需要注意的是： • 当铰由两链杆构成时，规则叙述改为：两个刚片用三个既不全平行也不全交于一点的链杆相连构成静定结构，如图所示。

瞬变体系 第三节几何不变体系的简单组成规则 • 若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系，图所示的即为瞬变体系。

第二节几何不变体系的组成规律 联结两刚片的三个铰共线、三个链杆交于一点或彼此平行（不等长），组成瞬变体系；联结两刚片的三个链杆共用一顶点或彼此平行且等长，则组成常变体系。瞬变体系常变体系

第三节几何不变体系的简单组成规则 规则2 三刚片组成规则 • 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。 • 规则2也称为三角形规律：一个铰结三角形是没有多余约束的几何不变体； • 以上规律的每个铰都可以用交于该铰的两根链杆代替。 • 联结三刚片的三个铰如在同一直线上，则组成瞬变体系。规则2装配复合装配格式

第三节几何不变体系的简单组成规则 三个刚片之间的联结方式复合装配格式

简单装配 第三节几何不变体系的简单组成规则规则3 二元体规则 • 规律3：一个刚片与一个结点用两根链杆相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变整体，且没有多余约束。 • 上述装置也称为二元体—— 在一个体系上增加、撤除二元体不改变体系的几何组成； ———称为简单的装配格式。 • 凡本身几何不变者均可视为刚片。如：基础、杆件、扩大的几何不变的整体等。

体系组成分析的步骤: 第四节几何组成分析举例 • 从基础出发进行装配——先将基础视为基本刚片，与周围结点、刚体按基本装配格式，逐步扩大基本刚片，直至形成整个体系。 • 当基础与体系的约束超过3时，一般采用此装配方式。

第四节几何组成分析举例 • 从内部刚片出发进行装配——先取体系内部一个或几个刚片作为基本刚片，与周围结点、刚体按基本装配格式，逐步扩大基本刚片，直至形成整个体系。 • 当基础与体系的约束等于3时，一般采用此装配方式。刚片I(BCF)和刚片II(DEA) 由链杆AB、CD、EF联结成一几何不变的整体，可视为一大刚片，与基础用三链杆固定。刚片I(ADC)和刚片II(BEC) 由铰C和链杆DE联结成一几何不变的整体，可视为一大刚片，与基础用三链杆固定。

C A B D 第四节几何组成分析举例 • 从内部刚片出发进行装配 • 先取体系内部任一个刚片作为基本刚片，如与周围有三个约束，则用两刚片组成规律，三个约束连接的另一端为第二个刚片；如果与周围有4个约束，则用三刚片组成规律，其中两两约束连接的另一端为另两刚片。去掉链杆AB或CD，根据三角形规律，体系为一几何不变的整体。因此整个体系为有一个多余约束的几何不变体系。刚片I(ABC)和刚片II(ADE) 由铰A和链杆CD联结成一几何不变的整体，可视为一大刚片，与基础用三链杆固定。

第四节几何组成分析举例 3. 链杆和刚片可以相互转化。有时把链杆作为刚片分析, 有时把曲杆或扩大的刚片看作链杆分析，三角形也并不总是被看作一个刚片，必要时应把它拆分成链杆，甚至可以把一种形式的刚片化为另一种形式的刚片。

第四节几何组成分析举例 例2-1 • ADE、AFG、基础分别视为刚片I 、刚片II、刚片III ； • 刚片I 、刚片II通过铰A联结；刚片I 、刚片III通过链杆1、2联结，相当于一瞬铰B；刚片II、刚片III通过链杆3、4联结，相当于瞬铰C； • A、B、C不共线，根据规律3，体系为几何不变体系，且没有多余约束。

第四节几何组成分析举例 例2-1 • 折杆AC、BD用虚线所示的直杆2、3代替； • 刚片I(CDE)与刚片II(基础)通过1、2、3链杆联结； • 三链杆1、2、3交于一点，根据规律4，体系为瞬变体系。

应注意的问题: 1) 刚片必须是内部几何不变的部分。不能把图a中的EFGD取作刚片（图b） 2) 在得出结论时, 应写明体系的几何构造特性, 还应写明有几个多余约束. 3) 判断多余约束的个数时，内部多余约束也应考虑在内。 4) 瞬变体系必有多余约束。矩形刚片有三个多余约束。

第四节几何组成分析举例 例2-2 • 任选杆AD为刚片I ， AD与周围有四个约束（链杆AB、AF、DC、DE)相连，应用三刚片组成规律。分别取两链杆连接的杆作为另两刚片。即链杆AB、DE连接的杆BE作为刚片II ，链杆AF、DC连接的杆CF作为刚片III 。 • 刚片I 、刚片II通过链杆AB、DE相连，相当瞬铰OIII；刚片I 、刚片III通过链杆DC、AF相连，相当于一瞬铰OIIII；刚片II、刚片III通过链杆BC、EF联结，相当于瞬铰OIIIII； • OI II、OIIII、OIIIII不共线，根据规律3，体系内部为几何不变体系，且没有多余约束。但整个体系有三个自由度。

第四节几何组成分析举例 例2-2 • 任选杆DE为刚片I ， DE与周围有四个约束（链杆DA、DC、EB、EF)相连，应用三刚片组成规律。分别取两链杆连接的杆作为另两刚片。即链杆DA、EB连接的杆AB作为刚片II ，链杆DC、EF连接的杆CF作为刚片III 。 • 三刚片中，任意两两之间都有两链杆相连，相当于一瞬铰，三瞬铰不共线，根据规律3，体系内部为几何不变体系，且没有多余约束。但整个体系有三个自由度。 • 刚片的选取还有很多种情况，但分析结果相同。

第四节几何组成分析举例 例2-2 • 任选杆DA为刚片I ， DA与周围有四个约束（链杆AB、AF、DE、DC)相连，应用三刚片组成规律。分别取两链杆连接的杆作为另两刚片。即链杆AB、DE连接的杆EB作为刚片II ，链杆AF、DC连接的杆FC作为刚片III 。 • 三刚片中，任意两两之间都有两链杆相连，相当于一瞬铰，三瞬铰OI II、OIIII、OIIIII共线，根据规律3，体系内部为瞬变体系。 • 刚片的选取还有很多种情况，可尝试取不同的刚片分析。

第四节几何组成分析举例 例2-3

第四节几何组成分析举例

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第五节静定结构和超静定结构 无多余约束 (图a静定) 几何不变体系 (形状、位置不变) 有多余约束 (图e、f超静定) 杆件体系常变体系 (图b、c机构) 几何可变体系 (形状、位置可变) 瞬变体系 (图d)

(a) 形状位置都不变 (b) 形状可变 (c) 位置可变 (d) 形状可微小变化 (e) 多三个约束 (f) 多一个约束第五节静定结构和超静定结构杆件体系

第五节静定结构和超静定结构 根据静力特征，结构可分为静定和超静定的，前者可由平衡方程确定全部未知约束反力和内力，后者则不能：静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)  无多余约束结构 (几何不变) 超静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)  有多余约束土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系。

第五节静定结构和超静定结构 不同静力特征的结构其分析计算方法是不同的。因此，要正确分析必须首先准确无误地判断体系的可变性以及静定和超静定性质。

提示：如图。 思考题: 1. 几何可变体系是否在任何荷载作用下都不能平衡？ 2. 有多余约束的体系一定是超静定结构吗？ 3. 图中的哪一个不是二元体(或二杆结点)？ 4. W0 是保证体系为几何不变的必要和充分条件吗？

一、判断题 ╳ 1. 瞬变体系的计算自由度一定等零。 ╳ 2. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。 ╳ 3. 图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、杆2形成的瞬铰。 ╳ 4. 图示体系是几何不变体系。题4图题3图

二、选择填空 A 1. 体系计算自由度W≤0是保证体系几何不变的条件。 A.必要 B.充分 C.非必要 D.必要和充分 2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系是。 D A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系 C.瞬变体系D.体系的组成不确定 3. 图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，对于保持其几何不变来说有个多余约束，其中第个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。 2 1

5.下列个简图分别有几个多余约束： 图a个多余约束图b个多余约束图c个多余约束图d个多余约束 1 0 3 2 A 4.多余约束”从哪个角度来看才是多余的?（） A.从对体系的自由度是否有影响的角度看 B.从对体系的计算自由度是否有影响的角度看 C.从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看 D.从区分静定与超静定两类问题的角度看

A 6.图a 属几何体系。 A.不变，无多余约束 B.不变，有多余约束 C.可变，无多余约束 D.可变，有多余约束 B 图b属几何体系。 A.不变，无多余约束 B.不变，有多余约束 C.可变，无多余约束 D.可变，有多余约束

B 7.图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何的体系。 A.不变且无多余约束 B.瞬变 C.常变 D. 不变，有多余约束 A 8.图示体系为：———— A.几何不变无多余约束 B.几何不变有多余约束 C.几何常变 D.几何瞬变。题7图题8图

D 9.图示体系的计算自由度为。 A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 三、考研题选解 1.三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连，则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。( ） √ 提示：规律3，其中的“铰”，可以是实铰，也可以是瞬（虚）铰。

2.图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何不变且无多余约束的体系。（6分）2.图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何不变且无多余约束的体系。（6分）答案如图b所示。 C 3、图示体系几何组成为：（4分） A.几何不变，无多余联系 B.几何不变，有多余联系 C.瞬变 D.常变

A 4.图示体系是。（3分） A.无多余约束的几何不变体系 B.瞬变体系 B.有无多余约束的几何不变体系 D.常变体系题5图题4图 5.图示体系A 铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况时，体系为几何不变。（） A. h≠2m B. h≠4m和h≠∞ C. h≠4mD. h≠2m和h≠∞ D

6.对图示结构作几何组成分析。（４分) 解：将刚片ABC 做等效变换，变换成三角形，并选择刚片如图b。刚片I与基础III之间由铰A相连，刚片II与基础III之间由铰B 相连，刚片I、刚片II之间由链杆1、2 组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰A与铰B 的连线与链杆1、2平行，故该体系为瞬变体系。

四、考国家一级注册结构师试题选解 D 1.图示体系的几何组成为： A.常变体系 B.无多余约束的几何不变体系 C.瞬变体系 D.有多余约束的几何不变体系解：先去掉二元体35、55'，刚片2367仅需3个链杆即可构成无多余约束的几何不变体系，原体系有一个多余约束，所以答案选择。

B 2.图示体系的几何组成为： A.常变体系 B.无多余约束的几何不变体系 C.瞬变体系 D.有多余约束的几何不变体系解：刚片124与基础用铰1相连，刚片356与基础用铰6相连，刚片124与刚片356之间用两个平行链杆45、23相连，二铰1、6的连线不与与两个平行链杆45、23平行，原体系为无多余约束的几何不变体系，所以答案选择。

第 二 章 平面体系的几何 组成分析