アルゴリズムとデータ構造

アルゴリズムとデータ構造 2013年7月18日酒居敬一(sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp) http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2013/index.html

文字集合と符号化 • 2011年度までのA-WS • 日本語EUC(EUC-JP)符号化 • JIS X 0208およびASCII文字集合 • 2012年度からのA-WS • UTF-8符号化(例外: Macのjavacはsjis) • Unicode文字集合 • Javaの内部 • UTF-16符号化(16bitのcharで保持) • Unicode文字集合 javac に -J-Dfile.encoding=UTF8 というオプションを与える理由

文字列の照合（２９８ページ） テキストとパターンの長さをそれぞれｎ，ｍとしたとき、それぞれ次のように配列で与えられているとする。 (Javaの場合、charはUnicodeなので、漢字も含まれる。) ｃｈａｒ［］　ｔｅｘｔ＝ｎｅｗｃｈａｒ［ｎ］；ｃｈａｒ［］　ｐａｔｔｅｒｎ＝ｎｅｗｃｈａｒ［ｍ］；文字列照合あるいは文字列探索とは、テキストとパターンに関して次のような関係の成り立つｐｏｓを求めることである。

素朴なアルゴリズム （２９９ページ）素朴なアルゴリズムでは、テキストの最初から順にパターンと一致する部分があるかどうかを調べていく。ａｂａｂ public class SimpleMatch { public static int match(char[] text, char[] pattern){ shift: for(inti = 0; i <= (text.length - pattern.length); i++){ for(int j = 0; j < pattern.length; j++){ if(text[i+j] != pattern[j]){ continue shift; } } return i; } return -1; } } 一致しなければ、１文字ずらしてやりなおし最後まで一致したら終了ａｂｃａａｂａｃｃｃｂ

public static void main(String[] args) { String a, b; int c; a = "テキスト内でパターンが見付かったか"; b = "パターン"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "計算量を気にしなければ、この問題の解法はいとも簡単である。"; b = "テキスト"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "KMPアルゴリズムの比較の回数は、最大2n回である。つまり計算量は…"; b = "、最大"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "Dijkstraって読むの難しいよね。ダイクストラって発音するんだよ。"; b = "偉い人なんだよ。"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "アルゴリズムとデータ構造"; b = "オペレーティングシステム"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); } 「テキスト内でパターンが見付かったか」「パターン」 6 「計算量を気にしなければ、この問題の解法はいとも簡単である。」「テキスト」 -1 「KMPアルゴリズムの比較の回数は、最大2n回である。つまり計算量は…」「、最大」 16 「Dijkstraって読むの難しいよね。ダイクストラって発音するんだよ。」「偉い人なんだよ。」 -1 「アルゴリズムとデータ構造」「オペレーティングシステム」 -1

素朴なアルゴリズムは時間計算量はＯ（ｍｎ）。素朴なアルゴリズムは時間計算量はＯ（ｍｎ）。実装が簡単なので実行したときの性能はそう悪くない。ａａａａａａ＝＝＝＝＝ ≠ ≠ ≠ ａａａａａａａａａａａａａａａａａａｂｂｂｂｂｂ一致したという情報を再利用すれば、比較回数が減る。そこで、ｔ文字一致した後に不一致が検出されたとき、パターンをテキストに対してどれだけ進めればいいか、パターンのどこから比較を開始すればいいかを求めておく。ａａａａａａテキストとパターンの比較は不一致のあったところからになる。テキストストリームの逆戻りがない。＝＝＝＝＝ ≠ ≠ ≠

Knuth-Morris-Prattのアルゴリズム（３０１ページ）Knuth-Morris-Prattのアルゴリズム（３０１ページ） • あらかじめパターンを調べておいて不一致が起きたときに、比較回数を減らすべく、次の比較位置を決定する。 • 比較中のテキストの文字位置に戻りがない。 • 後述のＢＭアルゴリズムほどではないが、素朴なアルゴリズムより実行性能は良い。

ａｂｃａａｂａｃｃｃｂテキストパターン３文字目で不一致ａｂａｂ２文字目で不一致ａａａａｂｂｂｂａａａａｂｂｂｂ４文字目で不一致１文字目で不一致１文字目で不一致 Pascal的添え字 (教科書の例) ０１０１ｎｅｘｔ配列の内容 -1 ０ -1 ０ Java的添え字

ａｂｄｅａａｂｃａｂｄｆａｂａｂパターン -1 0 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 0 1 2 1 変数ｔ先頭先頭から全く一致なし先頭から全く一致なし先頭から全く一致なし先頭から１文字一致先頭から１文字一致先頭から２文字一致先頭から全く一致なし先頭から１文字一致先頭から２文字一致先頭から３文字一致先頭から全く一致なし先頭から１文字一致先頭から２文字一致先頭から１文字一致先頭から２文字一致ｎｅｘｔ配列（Ｊａｖａ） -1 0 0 0 -1 1 0 2 -1 0 0 3 -1 0 2 0 • パターンの中で、パターン先頭から始まる部分文字列が　パターン中に現れるかどうかを調べる。 • これまで一致していた部分文字列の有無、不一致文字が部分文字列　のどこ含まれているかどうかで操作を決定する。

public class KnuthMorrisPratt { private static void kmpinit(char[] pattern, int[] next){ int t = -1; next[0] = -1; for(int j = 1; j < pattern.length; j++){ while((t >= 0) && (pattern[j-1] != pattern[t])) t = next[t]; t++; if(pattern[j] != pattern[t]) next[j] = t; else next[j] = next[t]; } } private static intkmpmatch(char[] text, char[] pattern, int[] next){ inti = 0; int j = 0; while((i < text.length) && (j < pattern.length)){ while((j >= 0) && (text[i] != pattern[j])){ j = next[j]; } i++; j++; } if(j < pattern.length) return -1; return i - j; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ int[] next = new int[pattern.length]; kmpinit(pattern, next); return kmpmatch(text, pattern, next); } } パターンは先頭から、テキストは未比較の文字位置からそれぞれ比較するというフラグ。（ｊ-２）文字の一致が見られたときに、パターンを少しずらせて比較を続けるテキストの中で、パターンと現在比較しているところを指す。ｉ＝０から単調増加である。

Boyer-Mooreのアルゴリズム（３０４ページ） • あらかじめパターンを調べておいて不一致が起きたときに、比較回数を減らすべく、次の比較位置を決定する。 • ２つの作戦により、比較回数を減らす。 • ＫＭＰアルゴリズムでは少なくとも１回は、テキストの文字を調べないといけないが、この方法では１回も調べない文字が存在する。その分速い。 • パターンは後ろから比較する。

作戦１ テキストａａａａａａａｂｂｂｂｂｂｂｃｃｃｃｃｃｃパターン最初の比較で不一致比べるだけ無駄ａｘ比べるだけ無駄新たなるテキストからならば、比べる意味はある図５.１.５　作戦１（その１）テキストパターン最初の比較で不一致比べるだけ無駄１文字目が一致するので、２文字目以降は比べる意味はある図５.１.５　作戦１（その２）

public class BoyerMooreMap { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ for(int j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ // 教科書のプログラム5.1.8そのまま Integer s = skip.get(text[i]); if(s == null) i += pattern.length; else i += Math.max(s, pattern.length - j); continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); bminit(pattern, skip); return bmmatch(text, pattern, skip); } } ハッシュテーブルを使うと簡単なので教科書の擬似プログラムを書き換えた。パターンに含まれる文字をキー、スキップ量を値としている。

public class BoyerMooreMap { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ for(int j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ // 教科書の３０９ページにあるようにiを元に戻した場合。 i += pattern.length - 1 - j; Integer s = skip.get(text[i]); i += (s == null)? pattern.length: s; continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); bminit(pattern, skip); return bmmatch(text, pattern, skip); } } 計算の手間はともかく、動作の理解にはいったん元に戻す方法も悪くない。

作戦２ パターンの比較を末尾から行うということを除けば、ＫＭＰアルゴリズムと考え方は同じ。ｂａｂｘｂａａａａｂｂｂｂｃｃｃｃａａａａｂｂｂｂテキストａａａａａｂｂｂｂｂａａａａａｂｂｂｂｂ３文字目で不一致２文字目で不一致無駄無駄無駄無駄無駄図５.１.１０　作戦２（その１）図５.１.１１　作戦２（その２）

× × × 文字の並びが同じ部分がある（ただし、○≠△）少しずらせる。 ○ 図５.１.１２　場合1 △ 文字の並びが同じ部分が少しあるかなりずらせる。 ○ 図５.１.１３　場合２文字の並びが同じ部分がない ○ 図５.１.１４　場合３

public class BoyerMoore { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip, int[] next){ int[] g = new int[pattern.length]; int j; for(j = 0; j < pattern.length; j++){ next[j] = 2*pattern.length - j - 1; // length + (length - j - 1) } j = pattern.length; for(int k = pattern.length - 1; k >= 0; k--, j--){ g[k] = j; while((j < pattern.length) && (pattern[j] != pattern[k])){ next[j] = Math.min(next[j], pattern.length - k - 1); j = g[j]; } } int s = j; for(j = 0; j < pattern.length; j++){ next[j] = Math.min(next[j], s + pattern.length - j - 1); if(j >= s){ s = g[s]; } } for(j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } } ｎｅｘｔを求める教科書のｍ－ｊに相当するＪａｖａ表現ｓｋｉｐを求めるｂｍｍａｔｃｈメソッドなどは次のページで…

public static intbmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip, int[]next){ shift: for(inti = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ Integer s = skip.get(text[i]); if(s == null){ i += Math.max(pattern.length, next[j]); } else { i += Math.max(s, next[j]); } continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); int[] next = new int[pattern.length]; bminit(pattern, skip, next); return bmmatch(text, pattern, skip, next); }

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