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高次元ブラックホールの 安定性解析

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高次元ブラックホールの 安定性解析. 京都大学天体核研究室 D3 村田佳樹 ( ムラタケイジュ ). Motivation1. variety of BH solutions. They can have same masses and angular momenta. black ring. Myers-Perry BH. d=5: Emparan & Reall (2001). d>5(thin ring limit) : Emparan et al (2007).

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Presentation Transcript
slide1

高次元ブラックホールの安定性解析

京都大学天体核研究室D3

村田佳樹(ムラタケイジュ)

motivation1
Motivation1

variety of BH solutions

They can have same masses and angular momenta.

black ring

Myers-Perry BH

d=5: Emparan & Reall (2001)

d>5(thin ring limit) : Emparan et al (2007)

The uniqueness theoremdoes not hold in higher dimension.

What is the final state of the gravitational collapse?

What kind of BH is formed in LHC?

Stability analysis of higher dimensional BHs

motivation2
Motivation2

Gauge/Gravitycorrespondence

Most of the formalism of stability analysis of higher dimensional BH

can be applied to asymptotically AdS spacetime.

Gauge/Gravity correspondence

Instability of AdS BHs is regarded as a phase transition in dual thoery.

Understanding of phase structure of dual theory.

slide4

の偏微分方程式

4次元ブラックホールの安定性

Schwarzschildブラックホール

安定性解析

Regge-Wheeler,1957

モード展開によって、常微分方程式に落とすことができる。

slide5

evenモードの解析

scalar spherical harmonicsで展開できるモード

はS^2のmetric

ゲージ条件

マスター変数

シュレーディンガータイプのマスター方程式

slide6

oddモードの解析

vector spherical harmonicsで展開できるモード

4次元ではexplicitに

と書ける。

ゲージ条件

マスター変数

シュレーディンガータイプのマスター方程式

slide7

赤: odd

青: even

不安定性の存在

のモードの存在

しかし今は、V > 0 なので        の束縛状態は存在しない。

4次元Schwarzschildブラックホールは安定

Kerrの場合も安定性が示されている。

4次元の真空におけるブラックホールは安定である。

slide8
唯一性定理と安定性

Kerrの安定性を唯一性定理から理解してみる。

4次元真空では、Kerrブラックホールしかないのだから、

直観的にはKerrブラックホールは安定である気がする。

この直観は mathematical にもある程度正しい。

唯一性

Kerrブラックホールにstationary perturbationが存在しない。

の解はない。

軸対称摂動を考える。

ω^2 は実数である。

slide9

もし、軸対称摂動に対し、Kerr BHが不安定だとしたら、

ω^2

stationary perturbation

a : Kerr parameter

Schwarzschild BHは安定だから、

aの小さい領域では、ω^2 < 0 のモードはない。

stationary perturbationの存在

唯一性に反する。

軸対称摂動は安定

注)この議論では、非軸対称摂動の安定性は分からない。

slide10
対称性と変数分離可能性

Sch BHの安定性解析では、摂動方程式が変数分離可能であることが重要だった。

では、どういう場合に変数分離が可能なのか?

We define the operator as

which satisfy

If there are operators

The perturbation equation can be separated and reduces ODEs.

slide11

example

4-dimensional Schwarzschild BH

Killing vectors of this spacetime are

time translation symmetry

spherical symmetry

We define operators

are simultaneously diagonalizable.

Eingen functions are

and

We also find

Modes with different do not couple each other in perturbation equation.

separable

stability analysis of rotating black holes
stability analysis of rotating black holes

Killing vectors of general D-dimensional Myers-Perry are

(n+1) Killing vectors

n+1 < D-1 (for D >= 4)

So, in general, the symmetry is not enough to separate the perturbation equation.

However, in some cases, the symmetry is enhanced and the perturbation equation of the Myers-Perry spacetime becomes separable.

slide13

Myers-Perry BH安定性解析の歩み

angular momenta

dimension

mode

stability

すべてゼロ

つまりSch BH

Ishibashi & Kodama (2003)

any

all modes

stable

tenor modes of

(D-3)-dimensional

base space

Λ=0 : stable

D=7,9,11,...

Kunduri, Lucietti & Reall, (2006)

Λ<0 : unstable

some lower modes

and superradiant

modes

Λ=0 : stable

D=5

KM & Soda (2008)

Λ<0 : unstable

Λ=0 : stable

tenor modes of

(D-4)-dimensional

base space

Kodama, Konoplya & Zhidenko (2009)

D>=7

other = 0

Λ<0 : unstable

D>=7 で三つ以上の角運動量が等しい場合、

tensor modeの変数分離性が示されている。

Oota & Yasui (2008)

いずれの研究も摂動方程式の変数分離性を用いている。

myers perry bh with single rotation parameter
Myers-Perry BH with single rotation parameter

≒ 4D Kerr

part is homogeneous.

t, φ directions are also homogeneous.

r,θ directions are inhomogeneous.

This spacetime is cohomogineity– 2.

The perturbation equation is given by PDE of (r, θ).

myers perry bh
Myers-Perry BHの不安定性(定性的理解)

(Emparan & Myers, 2003)

large angular momentum

pancake like BH

≒ black brane

Myers-Perry BH

Gregory-Laflamme instability?

Myers-Perry BH with a large angular momentum may be unstable.

5 mpbh
5次元MPBHの軸対称摂動は安定

5D、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが球形

Myres-Perry BH

森澤、井田(2004)

5次元のMyres-Perryに定常軸対称摂動は存在しない。

軸対称摂動に対して、MPBHは安定

D>=6を考える。

teokolsky formalism kerr
Teokolsky formalismは高次元Kerrに使えないのか?

この球面部分のs-modeのみ考える。

EOM

slide18

Ricci tensorからの寄与

4D Kerrではこのターム達はなかった

上の式だけでは方程式が閉じない。

式の数が膨大に。

変数分離性はよく分らない...

slide19
我々のアプローチ

with 棚橋典大, 田中貴浩

変数分離は諦めて、摂動方程式を数値的に解いてしまおう。

O.Dias et al. (2009) でd=7,8,9の計算はやられている。

slide20

small angular momentum

large angular momentum

unstable

stable

At a critical value of

the angular momentum,

there must be a stationary perturbation.

ブラック赤血球

deformed Myers-Perry BH

The existence of deformed Myers-Perry BHs

The existence of instability of Myers-Perry BHs

We would like to find such a deformed Myers-Perry BH by the perturbation.

stationary perturbation
stationary perturbation

background metric

perturb

perturbation variables

They are functions of (r, θ).

This perturbation retains the symmetry of the background solution.

perturbation equation
perturbation equation

where

Variables with tilde are perturbed variable.

slide23

constraint equations

These constrants satisfy Cauchy-Riemann equations

If we impose constrants at boundaries,

constrants are satisfied in whole region.

slide24

How to solve perturbation equations

We rewrite the perturbation equation abstractly as

derivative operator

set of perturbation variables

To solve this elliptic equation, we modify the equation as

initial function

solution

the largest eigen value of

eigen function

We solve the ‘‘time evolution” numerically

and trace the eigen value with various angular momenta.

If the eigen value crosses the zero, it means the onset of the instability.

result in d 7
Result in d=7

不安定性を意味しない

onset of instability

ゼロモード

a = 1.41

a = 3.09

a 1 41
a=1.41のゼロモードは不安定性を意味しない

我々の数値計算では、

自明に存在する mass perturbation と angular momentum perturbation

を取り除くために、摂動でホライズンの温度 T と角速度 Ω が

変わらないという条件を課している。

しかし、Jacobianを計算すると、

では、(T,Ω)を固定しても(M,J)は固定されない。

よって、a/r_+ = 1.41(d=7)では、自明な定常摂動が見つかってしまう。

a/r_+ = 3.09が不安定性のonset

O.Dias et al. (2009)と同じ結果

slide27
結果

Myers-Perry BHの軸対称不安定性のonsetは、

a/r_+ = 3.09(d=7)

a/r_+ = 4.06 (d=6)

O.Dias et al. (2009)では得られていない結果

new black hole phase
New black hole phase

instability of Myers-Perry BHs

We found the stationary perturbation.

existence of new BH phase

If is a stationary perturbation,

is also a stationary perturbation.

phase structure
Phase structure

Area of

the horizon

Mass is fixed

Myers-Perry BH phase

?

?

Angular momentum

Future problem:

We must construct new BH solutions and reveal the phase structure of higher dimensional BHs.

formalism black ring
このformalismはblack ringにも適用できるか?

5D、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが S^2 × S^1

Pomeransky-Sen’kov black ring

森澤、富沢、安井(2007)

black ringには、定常軸対称摂動はない。

我々の手法はそのままでは使えない。

slide31

ω^2

ω^2

Ring半径

or

Ring半径

black ringの軸対称摂動は角運動量に依らず

常に安定、もしくは不安定。

摂動の時間依存性を入れた解析が必要。

もしくは、

安定か不安定かを調べるだけなら、あるlimitで安定性解析をすれば良い。

問題が簡単化する可能性

summary and future work
Summary and Future work

Myres-Perry black holeに関してはだんだんと(不)安定性が分かってきた。

Myers-Perry BHの不安定性から、D>=6では多くのブラックホール解が存在することが示唆される。

...

D>=6 での厳密解の構成法の確立

数値計算での解の構成

black ringの安定性は、ほとんど何も分かっていない。

Myers-Perryで用いた手法の応用

頭を使って問題を簡単化

Numerical Relativity

slide33
高次元ブラックホールはやれることがなくなったか?高次元ブラックホールはやれることがなくなったか?

面白さ

?

難しさ

問題が解かれるたびに新たな問題が浮上するという状況。

問題は難しいが、努力すればそれなりに面白い結果が得られる。

まだ、それほど悲観する状況ではない。

summary and future work1
Summary and Future work

We studied the dynamical instability of Myers-Perry BHs with single rotation parameter.

We found the onset of the instability in d=6, 7 dimesnions.

d=6 :

d=7 :

other dimensions

Kerr-AdS BH

AdS/CFT

future work

Our results also suggest the existence of the new BH phase.

construction of the BH solution in nonlinear regime

future work

slide36
高次元ブラックホールの(不)安定性

回転のないブラックホール

高次元Schwarzschildブラックホール

安定

(Ishibashi & Kodama, 2003)

ブラックストリング解

Schwarzschild時空

余剰次元

slide37

摂動

4次元Schwarzschildとの違いは余剰次元の存在だけ。

でモード展開すれば良い。

evenモードの      モード

シュレーディンガータイプのマスター方程式

slide38

k=0.6

k=0.4

k=0.2

負エネルギー束縛状態の存在

のモードが存在

ブラックストリングは不安定(Gregory-Laflamme不安定性)

高次元ブラックホールは安定であるとは限らない。

results2
Results2

D = 7

onset of instability

d=8 , 9, 10 ...

work in progress

results1
Results1

The is the Kerr parameter defined by

D = 6

onset of instability