第二节函数的求导法则

第二节函数的求导法则 （一）导数的四则运算法则（二）反函数的求导法则（三）复合函数的求导法则（四）双曲函数与反双曲函数的导数

都在点处可导，且有：（1）（2）（3）特别地（为常值）特别地（一）导数的四则运算法则定理一则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）

（1）设 证明：

所以有 . 由于在点处可导，故在点处连（2）设续，

成立. 再由在点处可导（必连续）且 , 特别当（常数）时，由上式立刻有（3）设，则即得：

则有， 个可导函数情形，例如，设，，均可导. 再由（2），成立. 注：定理1中法则（1）（2）可推广到有限

类似地可证 类似地可证证明基本初等函数的部分求导公式 5. 9. 11.

故例1设，求 . 例题解：

例2设，求 . 解：

内也可导， 且有定理2设在区间内单调、可导且，即 . 则它的反函数在区间（二）反函数的求导法则

由于在内单调、可导（必 所以，反函数在相应的区间内也单调连续，因此当时，于是，反函数并有时，对的导数为证明：连续），

类似地可证 13. 设，是的反函数. 并且，在内单调增加可导，所以且，利用此定理证明如下公式：证明：

或若函数是由 I：在点可导； II：在可导，则复合函数在点可导，其导数为（三）复合函数的求导法则定理3 复合而成，且满足利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.

于是进而有由II有，即时规定其中（当时），此时，再由I有且有当时， , 从而推知，证明：

（其中为任意实数）， 设是由复合而成，于是证明：且容易算出：

例3曲线上哪点的切线与直线 平行？由于此时 , 则，直线的斜率 . 令，故所求点为 . 解：

例4，求 . 视为复合而成，因此解：

所以例5，求 . 视为复合而成，又因，解：

例6，求 . 解：不必写出中间变量，然后逐层求导.

例7，求 . 如：设，的导数为解：注：复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 则复合函数

所以例8，求 . 分解为，又因解：

例9，求 . 解：

例10 解

例11 解

例12 解

（四）双曲函数与反双曲函数的导数 *证

作业：习题2-2、2、（1-7）3、（1）5、6、7、10、12、（1-2）作业：习题2-2、2、（1-7）3、（1）5、6、7、10、12、（1-2）

第二节 函数的求导法则