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第八章

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第八章. 方差分析. 本章主要介绍方差分析的基本原理,单因子资料的方差分析方法,两因子资料的方差分析方法,方差分析的基本假定和数据转换. 第一节 方差分析的基本概念. 第六章中,我们已经介绍了两个样本所属总体平均值的假设检验可用 t -test 或 u -test 来检验其差异性 但在大多数情况下,我们的试验有 3 个或 3 个以上的样本需要进行比较 如果这许多样本都只和对照组相比,我们仍然可以使用 t -test 或 u -test 进行,但如果需要样本之间两两相比较的话,就不能使用 t -test 或 u -test 进行了 其理由有以下几个:.

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第八章

方差分析

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本章主要介绍方差分析的基本原理,单因子资料的方差分析方法,两因子资料的方差分析方法,方差分析的基本假定和数据转换本章主要介绍方差分析的基本原理,单因子资料的方差分析方法,两因子资料的方差分析方法,方差分析的基本假定和数据转换
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第六章中,我们已经介绍了两个样本所属总体平均值的假设检验可用 t-test 或 u-test 来检验其差异性

但在大多数情况下,我们的试验有 3个或 3个以上的样本需要进行比较

如果这许多样本都只和对照组相比,我们仍然可以使用 t-test 或 u-test 进行,但如果需要样本之间两两相比较的话,就不能使用 t-test 或u-test 进行了

其理由有以下几个:

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1、当有 k 个样本所属总体的平均值相互两两比较,就需作 次比较,即作 假设检验

例如有 10个样本平均值相比较,即需作 次比较,其工作量相当繁琐

2、假定每一样本的容量均为 n,那么如果我们用t-test来作两两比较时,每一差数的标准误就都只能由 2(n-1)来估计,而不能用总自由度 k(n-1)来估计总的标准误,这就使得误差估计的精确度受到一定的损失,即我们不能充分使用试验中所有的信息量,这是十分可惜的

slide6
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错误的概率,假定我们要比较5个样本平均数,两两比较就会有 差数,对这 10个差数如果我们都以 进行假设检验,单独对每一差数进行检验时,每一差数获得正确结论的概率就是

但这 10个差数在一起进行比较、且都获得正确结论的概率就只有

因此在 10个两两比较中至少出现一个错误结论的概率就不再是 ,而是

slide7
这么大的犯错率无论如何是不能容忍的

这说明,当有多个样本相比较时,如果仍然采用t-test法,就大大地增加了犯Ⅰ型错误的概率

因此此时再用 t-test 法进行检验就不恰当了

如何对 个样本进行假设检验?

这就是本章所要讨论的方差分析

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什么叫方差?

方差是对数据(或称资料)变异的度量

方差的公式:

总体:

样本:

一般总体方差称方差,样本方差称均方

能使变量发生变异的原因很多,这些原因我们都将其称为变异因素或变异来源

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方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法

方差分析的思路就是:把整个试验(设有 k 个总体)的样本资料作为一个整体来考虑

把整个试验的总变异按照变异的来源分解成不同因素的变异

由于方差等于平方和除以自由度,因此总方差分解成各因素的方差,就是将形成总方差的平方和和自由度分解为各因素的平方和和自由度

然后对各个因素的方差作出数量上的估计,从而发现各个因素的方差的相对重要程度

slide10
从总方差中除去各可控因素所引起的方差后,剩余方差又可以准确地估计试验误差,作为统计假设检验的依据从总方差中除去各可控因素所引起的方差后,剩余方差又可以准确地估计试验误差,作为统计假设检验的依据

因此,方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键,发现主要的变异来源,从而抓住主要的、实质性的东西

因此,方差分析是一种十分重要的统计工具

此外,方差分析还有其他十分重要的用途,例如用于遗传分析,估计参数等

方差分析中 F 分布的复习:

slide11
在一个总体中每次抽取两个样本,这两个样本的容量分别为 和 ,每个样本计算其均方 ,不断地抽样,就可以得到一系列的 ,这些 F值就形成了一个分布

F 分布是一簇曲线,每条曲线仅决定于 和

F 分布的平均数为 ,其分布范围为

本书附表 6 是不同自由度 、 下的右尾概率0.05、0.01 的概率值

下面我们按不同的数据结构来介绍方差分析方法

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一、方差分析的基本假定

方差分析是建立在一些基本假定的基础上的

这些基本假定是:

(一)处理效应和误差效应是可加的,即方差分析是建立在线性可加模型的基础上的:

(二)试验误差是独立的随机变量,且呈正态分布:

(三)所有处理的误差方差均为同质:

即:数据的可加性、正态性、同质性

slide14
二、数据的转换

一般情况下,我们所取得的数据能满足或基本满足这三个基本假定,但当数据不能或基本不能满足这三个基本假定时,就应当进行数据转换,使其满足这三个基本假定

数据转换有以下几种方法:

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(一)平方根转换法(square root transformation)

当数据的平均值与均方成比例关系时,可将每一观测值 x作此类转换,即

当数据中有 0 或有接近于 0 的值时,取

如数据为间断性变量,或成数、且其中有>0.8、<0.2的值时

平方根转换的作用是减小极端大、或极端小的变量对均方的影响

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(二)对数转换(logarithmic transformation)

数据表现为倍性、可乘性、或有比例关系(即非加性),为了消除这种倍性,可采用对数转换法

对数转换的作用是将这种倍性转换成加性

即 或

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(三)反正弦转换法(arc sine transformation)

当资料为百分率,呈二项分布、且其中有些值>0.7、或 <0.3时,应作反正弦转换,即

但如果一批百分率均在0.3~0.7 之间,就不必转换

我们下面有几个例题就是经过了这一转换后才进行方差分析的

将数据资料作上述转换后进行方差分析,得出结果以后应将数据再反转换回来:

slide18
(四)采用小样本平均值作原始数据进行方差分析(mean of small sample)

由于小样本平均数比单个观测值更易于服从正态分布,因而采用小样本平均值作为观测值进行方差分析可有效地减小数据不符合基本假定对方差分析的影响

但这一方法必须在试验设计时即考虑到,即在试验时,将 2至 4个试验动物同一性状的数值组成一个平均值,当作一个原始数据来使用,因此每一水平或每一组合应当有若干个这样的小群体

slide19
三、数据方差的同质性检验

两个样本的方差相比较时,采用 F-test:

当样本组数 时,可用 -test 完成:

其中, 为合并均方

slide20
自由度为

为校正值

当 值显著时,即否定无效假设,表示各样本的均方间有显著或极显著的差异

当一批资料的方差不同质(即异质)时,这批资料就不能进行方差分析,而必须将数据分为几个同质的部分分别进行方差分析

slide21
例:IGF-Ⅰ影响绍兴鸭子 300日龄的产蛋量,得如下一级数据:

组 别

(<100ng/mL) 31 8.06 64.9636

(100~118) 33 17.62 310.4644

(>118ng/mL) 32 4.98 24.8004

93

(此处平均数略去)

怀疑该批资料的方差不齐性,因此应作方差齐性的检验

slide22
这批资料极其不同质,因此不能进行方差分析,即不能得到一个合并均方作为方差分析的误差均方这批资料极其不同质,因此不能进行方差分析,即不能得到一个合并均方作为方差分析的误差均方

又由于资料本身仅为 3个水平,找不到同质的部分,因此这批资料只能作废,试验宣告失败

下面应寻找原因,以利下次重做同类试验

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第三节 单向分类资料的方差分析及其基本原理
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所谓单向分类资料是指试验时仅考虑一个因素 A,除这一个被考虑的因素 A 之外,其余因素都控制在同一个水平上

这一个因素 A 被分出若干个等级(又称为组),每一个等级就称为因素 A 的水平

slide25
例如我们考察磺胺类药的疗效,其余药物如抗生素类药物我们就不考虑(或将其余药物控制在一个水平上),仅选择几种需要考察的磺胺类药进行比较例如我们考察磺胺类药的疗效,其余药物如抗生素类药物我们就不考虑(或将其余药物控制在一个水平上),仅选择几种需要考察的磺胺类药进行比较

这里,磺胺类药就是因素 A,所选择的几种磺胺类药就是水平:A1、A2、A3、…

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又如,如果我们仅考察青霉素的疗效,那么其余药物我们都不考虑,仅将青霉素分为几种不同的剂量,那么青霉素就是因素 A,不同的青霉素剂量就是水平,如 A1:0IU、A2:100万IU、A3:200万IU、A4:300万IU、…
slide27
再如,考察不同品种猪抗哮喘病的能力,其余条件如气温、饲料、药物、管理等都一样,但猪的品种不同,猪的品种就是所考察的因素A,被我们所考察的每一个猪品种就是水平,如A1:大白猪、A2:北京黑猪、A3:太湖猪、A4:杜洛克猪、…再如,考察不同品种猪抗哮喘病的能力,其余条件如气温、饲料、药物、管理等都一样,但猪的品种不同,猪的品种就是所考察的因素A,被我们所考察的每一个猪品种就是水平,如A1:大白猪、A2:北京黑猪、A3:太湖猪、A4:杜洛克猪、…

这样的试验就是单向分组,所得到的结果就是单向分类资料(数据)

slide28
因素可以是数量型的,也可以是质量型的,如第一例中所考察的磺胺类药物和第三例中猪的品种就是质量型的,其划分的水平也是质量型的因素可以是数量型的,也可以是质量型的,如第一例中所考察的磺胺类药物和第三例中猪的品种就是质量型的,其划分的水平也是质量型的

第二例中青霉素的剂量就是数量型的,其划分的水平也是数量型的

单向分类资料又可以分为组内样本容量相等与组内样本容量不等两种情况

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一、组内样本容量相等的单向分类资料

当每一组(每一个水平)内的试验动物相等,同时试验结束后每一组内的数据资料相等,这就是组内样本容量相等的情况

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(一)数据结构和数学模型

方差分析是建立在一定的线性数学模型基础上的,所谓线性模型就是指每一个观测值都可以分割成若干个线性部分,这是方差分析中平方和、自由度剖分的理论依据

设从一个 中随机抽取一个样本,容量为 ,这一样本中每一观测值 都可以写成:

其中, 为一随机误差,且

如对这一总体施加效应为 的处理,则总体平均值为 ,方差仍为 ,因此,

这时, 仍无偏估计 , 仍无偏估计

slide31
如果将 的总体分成 个亚总体,每一亚总体给予一个效应为 的处理。则每一亚总体的平均值就是:

从每一亚总体中抽取样本容量均为 的样本,则我们有 个样本,这 个样本的数据结构为:

组别 观测值 和 总和 总平均

1 … …

2 … …

……

… …

……

… …

slide32
上表中任一观测值 均具有线性模型:

且 , ,而

(二)平方和及自由度的剖分

对于整批资料来讲,可以得到一个总的方差:

其中, 称为总平方和

称为总自由度

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在第一个样本中,我们可得到:

在第二个样本中,我们可得到:

在第 个样本中,我们可得到:

在第 个样本中,我们可得到:

这 个平方和、自由度相加,就是误差项平方和、自由度:

slide34
样本间(或称处理间、组间)的变异就是这 个平均值 的变异,其平方和、自由度就是:

由于 估计的是 ,而 估计的是

为了正确地进行 F检验,必须使这两个均方都估计同一个

因此样本间的平方和应为:

slide36
现在我们来考察组成三个均方的三个平方和、三个自由度之间的关系现在我们来考察组成三个均方的三个平方和、三个自由度之间的关系

先考察第一个样本中每一观察值与总平均值的离差平方和:

同理:第 2个样本、…、第 个样本、…、第 个样本也有类似的等式:

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将这 个样本的平方和加起来,就得到:

即:总平方和 = 组内平方和 + 组间平方和

或:总平方和 = 误差平方和 + 处理平方和

同理:

slide38
在实际计算时(中间过程请同学们作为作业自行推导):在实际计算时(中间过程请同学们作为作业自行推导):

其中:

slide39
(三)F 检验

由于

这两个均方同时独立地估计着总体方差

因此可用 来进行两个均方大小的检验

如果对各亚总体各施加的效应 不够大, 间的距离就拉不开,组间均方就不会显著大于组内均方,F 值就达不到显著水平

因此, 可用来检验无效假设

得到三个平方和、三个自由度后,可用表格的形式列出相应的均方(这就是方差分析表):

slide40
方差分析表

变异来源

处理间

误 差

总变异

总均方的作用不大,因此不需要在方差分析表中写出

slide41
校正值

需要注意的是:

slide42
例:组成 5 种不同的药物配伍治疗禽霍乱,每种药物配伍治疗 6 群鸡,试验结束后,统计每群鸡的死亡率,得如下数据(百分率),试分析哪种药物配伍的治疗效果好?

药物 观测值

Ⅰ 5.2 2.9 4.0 4.0 4.3 4.3

Ⅱ 3.2 2.5 3.6 3.2 1.9 4.3

Ⅲ 5.7 6.1 6.6 6.1 7.6 4.8

Ⅳ 7.1 4.3 5.2 3.6 5.7 5.2

Ⅴ 2.5 2.2 3.2 2.5 1.9 1.7

slide43
由于数据为百分率,且绝大部分为小于 0.3,因此应将其经过反正弦转换(为方便计算,所有数据经转换后再扩大 100 倍)

药物 观测值

Ⅰ 23 17 20 20 21 21

Ⅱ 18 16 19 18 14 21

Ⅲ 24 25 26 25 28 22

Ⅳ 27 21 23 19 24 23

Ⅴ 16 15 18 16 14 13

slide44
经计算,得一级数据如下:

药物

Ⅰ 122 2500 20.33 1.97

Ⅱ 106 1902 17.67 2.42

Ⅲ 150 3770 25.00 2.00

Ⅳ 137 3165 22.83 2.71

Ⅴ 92 1426 15.33 1.75

slide46
不全相等

画方差分析表,将三个平方和、三个自由度填入表中:

方差分析表

变异来源

不同药物间 4 360.54 90.135 18.65 2.76 4.18

误 差 25 120.83 4.83

总的(T) 29 481.37

在方差分析表中,“不同药物间”也可以写成“组间”、“处理间”等;“误差”也可以写成“药物内”等

总的 MS一般不必写出,因为总 MS 没有用

如果所得 F 值不显著,就不需要打什么标记

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(四)多重比较

当所得 F 值显著、或极显著,表示从整体来讲药物间存在着极显著的差异,但是不是所有的药物都有极显著的差异?有没有差异不显著的两种药物?如何才能知道是哪两种药物间存在显著或极显著的差异?

因此我们必须进行多重比较

slide48
多重比较的方法很多,但总原则是:

首先构造比较用的显著尺度

第二步是将两个平均值的差数与相应的尺度相比较凡差值大于尺度的就是显著或极显著

多重比较的方法主要有:PLSD法、Q法、NK法、SSR法等

slide49
PLSD法就是在方差分析保护下的最小显著差数法,实际上就是 t-test法,但它是在方差分析显著以后进行的两两比较,它所使用的是方差分析中得到的组内均方,因此其尺度值公式是:

其中, 为组内自由度下 水平的临界值

为组内均方, 为每组样本容量

求得 后,将样本平均值两两求得差值,每一差值都与 相比较

slide50
Q法,又称固定极差法

其中,

为 表中组内自由度下与样本组数 相对应的 值,求得 值后,将样本平均数两两差数与之比较即可

slide51
NK法,又称 q 法,这一方法是公认比较客观的方法

其中, 又常写为

为组内均方, 为每组样本容量

为组内自由度下不同极差值 下的 值

Q 法与 NK 法的共同点是都使用 q表,计算公式相同,其不同点是 Q法只求一个最大的 值,因此比较时仅有一个标准

而 NK法则根据平均数距离的远近分别设置不同的 值,因此不同距离的平均数之差的比较标准不同

slide52
下面我们以上面的这一例题来说明具体的比较方法下面我们以上面的这一例题来说明具体的比较方法

第一步,我们求 SE值:

以误差项自由度查 q表,该例题共有5个处理(药物配伍),因此应从 2,一直查到 5的 和 值

将 SE值和这些 值相乘,得相应的 值,即:

并建表

各样本平均数的比较,有好多种方法,这里主要介绍上三角形表示法和字母表示法

slide53
上三角形表示法:

将平均数按从大到小的次序排列,逐个减去最小的平均值,然后减去次小的平均值…等等

这里的平均数排序,是按照平均数从大到小的次序排列的,不能按原来的次序排队

slide54
R 2 3 4 5

2.92 3.54 3.91 4.17

3.96 4.55 4.91 5.17

2.62 3.18 3.51 3.74

3.55 4.08 4.40 4.64

-15.33 -17.67 -20.33 -22.83

Ⅲ 25.00 9.67** 7.33** 4.67** 2.17

Ⅳ 22.83 7.50** 5.16** 2.50

Ⅰ 20.33 5.00** 2.66*

Ⅱ 17.67 2.33

Ⅴ 15.33

slide55
首先将每个平均数与最小的平均数相比较,其差写在相比较的两个平均数相交的位置上首先将每个平均数与最小的平均数相比较,其差写在相比较的两个平均数相交的位置上

每个差值与 LSR表中相应的 LSR值相比较:

两个平均数的距离如果是2,其差就与 R = 2的 LSR值相比,如果这一差值大于 LSR0.05的,就在其右肩上方打上一个 *

如果这一差值大于LSR0.01的,就打上**

如果这一差值小于 LSR0.05的,就什么也不打

其余以此类推

slide56
字母表示法

字母表示法的标注原则是:

凡差异不显著的两个平均数就标上相同的字母

凡差异显著的两个平均数就标上不同的小写字母

凡差异极显著的两个平均数就标上不同的大写字母

将平均值按从大到小的次序排列,从上往下比较:

凡不显著的就直走

凡显著了就拐弯

比较的标准还是那张 LSR表

slide57
R 2 3 4 5

2.92 3.54 3.91 4.17

3.96 4.55 4.91 5.17

2.62 3.18 3.51 3.74

3.55 4.08 4.40 4.64

0.05 0.01

Ⅲ 25.00 a A

Ⅳ 22.83 ab AB

Ⅰ 20.33 b BC

Ⅱ 17.67 c CD

Ⅴ 15.33 c D

slide58
将比较结果用表或图的形式表示在论文中:

表1不同药物配伍治疗后的死亡率

配伍 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

0.80 0.99 0.82 1.11 0.71

注:上表中凡小写字母相同者表示差异不显著(p>0.05);小写字母不同者表示差异显著(p<0.05);大写字母不同者表示差异极显著(p<0.01)

注意:本例数据是经过了转换的,在实际统计分析中还应将数据再反转换回去,才能列表或图

slide59
也可以用图表示:

25.00

20.00

15.00

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

slide60
SSR法 又称新复极差法

该法与 NK法完全相同,但所使用的不是 q表,而是SSR表

在 下查不同极距 的 值

但 比 低,因此比较时容易达到显著水平

这四种方法的显著严格程度为:

当秩次距 时,上式取等式, 取不等式

slide61
综合四种方法的比较,宜提倡NK法(q法),因为SSR 的尺度比较低,平均数相比较容易达到显著,而 PLSD 法和 Q 法又都只有一个尺度

NK 法采用的是极差法,当距离为 r 的两个平均值差异不显著时,这两个平均数之内所包含的其他平均数之间的差值即使显著,也作不显著处理

但在科研工作中,又必须特别重视这种不显著中的显著,因为这往往是苗头性的东西

slide62
在方差分析完成后,如果 F 值不显著的话,就不必再进行多重比较,只有当F 值显著时,才需要进行多重比较

下面我们再举一例以说明方差分析的全过程

slide63
某市兽医站随机调查下属 4 个乡镇的乳牛隐性乳房炎发病情况,每个乡镇随机调查 5 个村,得如下患病率,试比较各乡镇的奶牛养殖和管理水平

乡镇 观测值

秀山镇(甲) 5.20 2.85 3.95 4.35 3.95

湖桥乡(乙) 3.20 1.60 3.55 1.95 4.35

玉泉镇(丙) 5.65 6.10 6.60 7.65 4.75

丁山镇(丁) 7.10 4.35 5.20 3.55 5.65

上述数据是百分率,不能直接进行方差分析,应作反正弦转换:

得到下面这张表:

slide64
为了让数据变得简单一些,便于分析,我们将所有数据扩大 100 倍:

乡镇 经转换后的数据

甲 23 17 20 21 20

乙 18 16 19 14 21

丙 24 25 26 28 22

丁 27 21 23 19 24

求每一组数据的和、平方和、平均值、标准差

slide65
乡镇

甲 101 2059 20.2 2.17

乙 88 1578 17.6 2.70

丙 125 3145 25.0 2.24

丁 114 2636 22.8 3.03

设 不全相等

slide67
方差分析表

变异来源 平方和 自由度 均方 F

乡镇间 154 3 51.33 7.837 3.24 5.29

误差 104.8 16 6.55

总的 258.8 19

所得 F值极显著,因此否定无效假设,接受备择假设即四个乡镇间在奶牛隐性乳房炎的发病上差异极显著

应进一步作多重比较,以更详细地了解乡镇间在奶牛隐性乳房炎的发病率上的具体情况

slide69
求SE:

查q表( )中的 值

极距 2 3 4乡镇0.05 0.01

3.00 3.65 4.05 丙25.0

4.13 4.78 5.19 丁22.8

3.434 4.178 4.635 甲20.2

4.727 5.471 5.940 乙17.6

乡镇-17.6 -20.2 -22.8

丙25.0 7.4 4.8 2.2

丁22.8 5.2 2.6

甲20.2 2.6

乙17.6

slide70
表1某市4个乡镇奶牛隐性乳房炎发病率

乡镇 秀山镇 湖桥乡 玉泉镇 丁山镇

20.2bcAB 17.6cB 25.0aA 22.8abAB

0.97 1.21 1.00 1.36

将数据反转换回去:

表1某市4个乡镇奶牛隐性乳房炎发病率

乡镇 秀山镇 湖桥乡 玉泉镇 丁山镇

4.03bcAB 3.07cB 6.12aA 5.11abAB

0.021 0.033 0.022 0.041

注:表中小写字母相同者为差异不显著(p>0.05);小写字母不同者为差异显著(p<0.05);大写字母不同者为差异极显著(p<0.01)

slide71
用图表示:

7

病6

5

4

3

秀山镇 湖桥乡 玉泉镇 丁山镇

图1某市4个乡镇奶牛隐性乳房炎发病率

注:同上

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二、组内样本含量不等的单向分类资料的方差分析二、组内样本含量不等的单向分类资料的方差分析

在作动物试验时,我们应当尽可能使各组的供试动物数量一致,但在实际工作中,我们会发现,由于种种原因而做不到这一点,即每一组的数据不可能完全相等(尤其是动物学实验),因此用前面所介绍的方差分析法就不能来分析资料

设有 个组(水平、处理),每组的样本容量分别为: ,各 不全相等

这一类问题的数学模型与前面是一样的,但所使用的公式需要作些调整

slide73
(一)自由度与平方和的剖分

设:有 个组,每一组的样本量为

记为 (请与样本量相等的情况相比较)

slide74
(二)F检验(方差分析表)与前面的相同

(三)多重比较

其中,n0 称为调和平均数:

slide75
例:病菌不同的血清型其致病的毒性是不同的,今欲检查不同的伤寒杆菌的致病作用,选择了5种血清型进行研究,以相同剂量注射入小鼠体内,观察其死亡的天数,得如下数据,试分析例:病菌不同的血清型其致病的毒性是不同的,今欲检查不同的伤寒杆菌的致病作用,选择了5种血清型进行研究,以相同剂量注射入小鼠体内,观察其死亡的天数,得如下数据,试分析

血清型 小鼠死亡天数

PD 1 2 3 2 3 4 2

11C 4 6 3 3 4 4 3 2 4 5

DSC1 3 4 3 7 5 3 4 5

PCD 5 7 3 4 6

BDK 6 4 3 3 5 6

首先计算每一组的

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设 不全相等

PD 7 17 47 2.43 0.96

11C 10 38 156 3.80 1.14

DSC1 8 34 158 4.25 1.39

PCD 5 25 135 5.00 1.58

BDK 6 27 131 4.50 1.38

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自由度与平方和的剖分:

方差分析表

变异来源

组间4 24.44 6.11 3.76* 2.68 4.02

组内31 50.31 1.62

总的35 74.75

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否定无效假设,接受备择假设,即伤寒杆菌不同的血清型其毒力之间有显著差异(p<0.05)否定无效假设,接受备择假设,即伤寒杆菌不同的血清型其毒力之间有显著差异(p<0.05)

作多重比较:

2 3 4 5 菌型0.05 0.01

2.89 3.49 3.85 4.10 PCD 5.00 a A

3.89 4.45 4.81 5.05 BDK 4.50 a AB

1.38 1.67 1.84 1.96 DSC1 4.25 a AB

1.86 2.13 2.30 2.41 11C 3.80 ab AB

划平均数表,或作平均数图 PD 2.43 b B

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表1伤寒杆菌不同株型对小鼠毒杀天数

株型PD 11C DSC1 PCD BDK

0.37 0.36 0.49 0.71 0.56

注:平均数右肩上方相同小写字母表示差异不显著(p>0.05);不同小写字母表示差异显著(p<0.05);不同大写字母表示差异极显著(p<0.01)

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例:研究不同中草药配伍对肉仔鸡生长的影响,设置了 5 个中草药配伍,每一种中草药配伍饲喂若干羽仔鸡,试验结束后得如下日增重,试分析不同中草药配伍的效应

中草药配伍 日增重

ⅰ 33 24 28 24 31

ⅱ 28 36 32 34

ⅲ 45 32 40 42 43 38

ⅳ 40 46 47 49 48

ⅴ 53 43 46 48

首先计算每一组的

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设 不全相等

ⅰ 5 140 3986 28.0 16.50

ⅱ 4 130 4260 32.5 11.67

ⅲ 6 240 9706 40.0 21.20

ⅳ 5 230 10630 46.0 12.50

ⅴ 4 190 9078 47.5 17.67

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自由度与平方和的剖分:

方差分析表

变异来源

组间 4 1312.5 328.125 20.11** 2.90 4.50

组内 19 310.0 16.316

总的 23 1622.5

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否定无效假设,接受备择假设,即不同 中草药配伍在肉仔鸡的生长速度方面有极显著差异(p<0.01)

作多重比较:

2 3 4 5 Aa0.05 0.01

2.96 3.59 3.98 4.26 ⅴ 47.5 a A

4.05 4.67 5.09 5.33 ⅳ 46.0 a A

5.47 6.64 7.36 7.88 ⅲ 40.0 b A

7.49 8.63 9.41 9.86 ⅱ 32.5 c B

画平均数表,或作平均数图 ⅰ 28.0 c B

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表1不同 中草药配伍对肉仔鸡生长速度的效应比较

Aa ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ

1.82 1.71 1.88 1.58 2.10

注:平均数右肩上方相同小写字母表示差异不显著(p>0.05);不同小写字母表示差异显著(p<0.05);不同大写字母表示差异极显著(p<0.01)

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例:紫雏菊的有效提取物对动物有免疫功能,现某科研单位作该方面研究,随机抽取一批健康小鼠,随机分为 5 组,前 4 组正常免疫后按不同剂量(Ⅰ:0.1mL,Ⅱ:0.5mL,Ⅲ:1.0mL,Ⅳ:0mL)灌服紫雏菊提取物,最后一组Ⅴ不免疫,5周龄后测定其外周血 IL-2 含量(pg/mL),得如下数据,试作分析

Ⅰ: 56.6 58.4 55.6 60.1 57.5

Ⅱ: 61.1 63.8 58.0 59.5 62.5 60.6

Ⅲ: 59.7 57.5 63.1 58.7

Ⅳ: 52.8 54.6 55.8 53.8 54.4

Ⅴ: 49.2 51.1 50.5 48.6 49.4 48.3 50.3

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先求各组的一级数据

Ⅰ 5 288.2 16623.74 57.64 1.72

Ⅱ 6 365.5 22286.51 60.92 2.07

Ⅲ 4 239.0 14297.64 59.75 2.41

Ⅳ 5 271.4 14736.44 54.28 1.10

Ⅴ 7 347.4 17247.40 49.63 1.04

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设 不全相等

方差分析表

变异来源

剂量间 513.69 4 128.42 45.54** 2.82 4.31

误 差 62.03 22 2.82

总 体 575.72 26

否定无效假设,接受备择假设,即剂量间差异极显著(p<0.01)

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多重比较:

2 3 4 5剂量 0.05 0.01

2.93 3.56 3.94 4.20 Ⅱ 60.92 a A

4.00 4.62 4.98 5.27 Ⅲ 59.75 ab A

2.13 2.58 2.86 3.05 Ⅰ 57.64 b A

2.90 3.35 3.62 3.83 Ⅳ 54.28 c B

Ⅴ 49.63 d C

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表1不同剂量紫雏菊提取物

对小鼠外周血 IL-2 含量的影响

处理 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

0.1mL 0.5mL 1.0mL 0mL 0mL

5 6 4 5 7

0.77 0.85 1.21 0.49 0.39

注:平均数右肩上方相同小写字母表示差异不显著(p>0.05);不同小写字母表示差异显著(p<0.05);不同大写字母表示差异极显著(p<0.01)

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IL-2含量

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

图1紫雏菊提取物对小鼠IL-2 的影响

注:(同上)

slide92
方差分析流程图:

数据整理

计算一级数据

计算平方和、自由度

建立方差分析表

F 值显著? no end

yes

多重比较

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方差分析作业流程图:

原始数据表 SE值

(包括数据转换)

q值,并LSR表

一级数据表

(上三角形表示法 )

校正值、SS、df 的剖分 字母表示法

方差分析表,做出判断 平均数表、或平均数图

进行多重比较? end (注:)

yes

no

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作业:

营养物质不同的量会影响某些基因的表达,从而影响动物体的生长速度,今随机抽取一批正常同规格的试验用兔,分为 4 组,将该营养物质按不同剂量进行饲喂。试验一个月后测定每一只试验兔某种与生长有关的基因的表达量,得如下数据

A(0.1g) 1.83 1.89 1.92 1.95 1.87

B(0.5g) 1.78 1.81 1.84 1.86 1.88 1.72

C(0.9g) 1.90 1.93 1.97 1.85

D(0.0g) 2.08 2.11 2.07 2.00 1.97 1.91 2.05

(提示:计算过程中间保留 3 位小数)

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请写出计算的全过程,用平均数表或平均数图写出你的答案请写出计算的全过程,用平均数表或平均数图写出你的答案

参考答案:

F = 14.34**

SE = 0.0254

A:1.89bB

B:1.81cB

C:1.91bB

D:2.03aA

(*)