Download
1 / 17
200 likes | 393 Views
Площади. Геометрия 8 класс (к учебнику «Геометрия 7-9», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие) Остроухова Елена Геннадьевна, учитель математики ВКК, МОУ СОШ №54 с углубленным изучением предметов социально-гуманитарного цикла города Новосибирска. Понятие площади многоугольника.
E N D
Площади Геометрия 8 класс (к учебнику «Геометрия 7-9», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие) Остроухова Елена Геннадьевна, учитель математики ВКК, МОУ СОШ №54 с углубленным изучением предметов социально-гуманитарного цикла города Новосибирска
Понятие площади многоугольника Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Единицы измерения площади За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков. S = 1 кв. ед. • 1 дм2= 100 см2; 1м2 = 10 000 см2 • 1 см2 = 100 мм2; 1 м2 = 100 дм2 1 1
Единица измеренияплощади S = число частей квадратов Число целых квадратов фигуры S = фигуры Измерение площади палеткой Площадь многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает сколько раз единица измерения площади и её части укладываются в данном многоугольнике. Палетка Многоугольник + 16 ≈ 18 (кв. ед.) + 10
Свойства площадей = 1. Равные многоугольники имеют равные площади. Палетка S2 S1 a b b a
Свойства площадей S1 S2 = 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 1. Равные многоугольники имеют равные площади. S1 + S2 + S3 S = Палетка S1 S S3 S2
Свойства площадей S1 S2 = 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 1. Равные многоугольники имеют равные площади. S1 + S2 + S3 S = 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Палетка S=9 a=3 S=a2
Примеры решения задач (1) Дано: ABCD – параллелограмм MC=CD Доказать: SABCD=SAMD M №1. На продолжении стороны DC параллелограмма ABCD за точку C отмечена точка M так, что DC=CM. Доказать, что SABCD=SAMD K B C A D Решение: Обозначим точку пересечения отрезков AM и BC точкой K. Параллелограмм ABCD состоит из двух фигур: треугольника ABK и трапеции AKCD. Треугольник AMD состоит из двух фигур:треугольника KMC и трапеции AKCD. Значит, по свойству площадей SABCD=SABK+SAKCD SAMD=SKMC+SAKCD Рассмотрим ABK и KMC MC=CD (по условию) AB=CD (как противоположные стороны параллелограмма) Значит, MC=AB AB║DC, следовательно, ABK = KMC как накрест лежащие при секущей BC. BK=KC (по теореме Фалеса) Следовательно, ABK = MCK, следовательно, SABK=SMCK, следовательно, SABCD=SAMD
№2. Составить формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на чертеже d a b с t f f Примеры решения задач (2) №3. На продолжении стороны квадрата AD квадрата ABCD за вершину A взята точка M, MC=20 дм, CMD=300. Найти площадь квадрата.
Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. a b Дано: a, b – стороны прямоугольника Доказать: S = ab a S a S Доказательство: S b b Sкв = (a+b)2 кв Sкв =S1+2S+S2 a b S1 = b2, S2 = a2 (a+b)2=b2+2S+a2 a2 + 2ab + b2 = b2 + 2S + a2 S = ab
Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведенную. C B S= CD·BM S= AD·BK M A K D
S4 Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведенную. Доказать: C B S= AD·BK S S3 S1 S2 Доказательство: h BK= CM (почему?) a ABCM - трапеция (почему?) A K D M S4 = S1 + S3 по свойству площадей или S – площадь параллелограмма ABCD S1 – площадь треугольника ABK S2 – площадь треугольника DCM S3 – площадь прямоугольника KBCM S4 – площадь трапеции ABCM S4 = S + S2 S1 + S3 = S + S2 Докажите, что S1= S2 S3 = S S3 = BC·BK S = a·h Значит, и S = BC·BK Но BC = AD Поэтому S = AD·BK
Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, к ней проведенную. B D c a h Доказательство: C 1. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC. b A H 2. Докажите, что ΔABC = ΔBDC 3. Что можно сказать о площадях этих треугольников? 4. Чему равна площадь параллелограмма ABDC? 5. Сравните площади параллелограмма ABDC и треугольника ABC. 6.
Частные случаи площади треугольника Площадь прямоугольного треугольника B BC - высота ΔABC a AC и BC – катеты прямоугольного треугольника ΔABC, A C b AC = b, BC = a значит, Площадь прямоугольного треугольника равнаполовине произведения катетов.
Частные случаи площади треугольника Площади треугольников с одинаковой высотой 1 2 3 4 h h h h a c d b Треугольники, изображенные выше имеют одинаковую высоту h и разные основания. Площади каждого треугольника равны: Найдите отношение площадей: Сделайте вывод: Отношение площадей треугольников, имеющих равную высоту равно … отношению их оснований.
B1 A1 C1 Частные случаи площади треугольника Если треугольники имеют равные углы, то их площади относятся, как произведения сторон, содержащих эти углы. B K S1 3. У треугольников ABC1. и A1B1C1 одна высота C1K. S Следовательно, A M C 1. Наложим треугольники, совместив равные углы. 4. У треугольников ABC1. и ABC одна высота BM. Следовательно, 2. Проведем отрезок BC1. Получили вспомогательный треугольник ABC1. 5. Найдем произведение этих отношений площадей:
Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. B b M C h Доказательство: a D 1. Проведем диагональ трапеции BD. A H 2. По свойству площадей площадь трапеции равна S = SΔABD + SΔBCD … 3. Проведем ещё одну высоту DM к основанию BC. Равны ли BH и DM?Почему? 4.
