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线性代数 新教材精彩案例

线性代数 新教材精彩案例. 李尚志 北京航空航天大学 . 一、 指导思想. 1 、主题 文学 : 永恒主题 = 爱 + 死 ? 数学 : 重要主题 = 方程 + 函数 微积分 : 非线性  线性 线性代数 : 多元一次方程组 + 多元一次函数组. 2 、代数几何熔一炉. 空间解析几何 = 3 维线性代数 线性代数 = n 维解析几何 空间为体，矩阵为用 几何问题矩阵语言描述  矩阵运算解决  几何解 方程组几何描述代数语言描述

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线性代数 新教材精彩案例

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Presentation Transcript

  1. 线性代数 新教材精彩案例 李尚志 北京航空航天大学

  2. 一、指导思想 • 1、主题 • 文学:永恒主题 = 爱+ 死? • 数学:重要主题 = 方程+函数 • 微积分:非线性线性 • 线性代数: 多元一次方程组+多元一次函数组

  3. 2、代数几何熔一炉 • 空间解析几何 = 3 维线性代数 • 线性代数 = n 维解析几何 • 空间为体，矩阵为用 • 几何问题矩阵语言描述 矩阵运算解决  几何解 • 方程组几何描述代数语言描述 矩阵运算求解

  4. 几何 PK 代数 • 几何好看不好算 • 代数好算不好看 • 几何代数: 帮助计算 • 代数几何：帮助理解

  5. 3、线性代数之易 • 内容:最简单的方程 ---- 一次方程 • 最简单的函数 ---- 一次函数 • 算法少：只有两个 • (1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法。 • 通过初等矩阵相互转化  1 . 5 个

  6. 4、线性代数之难:抽象 • 不怪抽象，不怪学生 • 怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题 • 解方程组只会用中学代入法; 判定方程组解的惟一性不会用线性无关; 算旋转不会用矩阵乘法; 算旋转轴不会用特征向量; …… • 抽象=许多不同事物共同点=难得糊涂 • =放之四海皆准=无招胜有招

  7. 5、线性代数之教学任务 • 学会少量算法，解决大量问题 • 各种问题转化(凌波微步)少量算法 • 无招胜有招 • 如何实现：通过有招学无招 • 积累案例，使用案例 • 案例：阳春白雪下里巴人 • 抽象数学贴近生活，喜闻乐见，易学易用

  8. 博客与视频 http://math.cncourse.com http://blog.sina.com.cn/kumath 比梦更美好, 名师培养了我 数学家的文学故事 数学聊斋, 数学诗选 视频: www.youku.com 李尚志 访谈:教育人生—数学的草根本色 CCTV1见证与亲历:首博诞生记

  9. 网上资源 http://www.bb.ustc.edu.cn 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) http://jpk.buaa.edu.cn教育部 线性代数(非数学专业)(2006) 高等数学 (2008) (郑志明) 联系办法: lisz@buaa.edu.cn

  10. 新书介绍 数学的神韵 科学出版社 2010.4

  11. 已出版教材李尚志, 线性代数(数学专业用),高等教育出版社,2006.5

  12. 精品课程网页http://jpk.buaa.edu.cn

  13. 案例1.1解n元一次方程组 • 与中学接轨：加减消去法 • 各方程乘常数再相加 = 线性组合 • 原方程组解新方程解原方程解? • 怎样保证:变形前后互为线性组合! • 怎样实现:初等变换,高斯消去法。 • 只计算系数:矩阵消元. • 只用到加减乘除:数域

  14. 案例2.1 方程组惟一解问题 • 例1.过已知点 • 的多项式函数曲线 • 方程组的解是否惟一:

  15. 方程组惟一解问题 • 例2.已知电压与各电阻,求各段电流 • 对任意电阻值有惟一解? • 物理：yes. • 代数：方程组总有惟一解吗？

  16. 案例2.2 n=2,3的几何解法 二元一次方程组的几何意义 写成向量形式 惟一解条件: OA,OB 不共线 , 组成平面上一组基

  17. 案例2.3. n元方程组几何解释 用各aj 线性组合 b,何时系数惟一？

  18. 案例2.4共线共面概念推广 • 几何概念难推广，用代数运算描述易推广 • 两向量a,b共线一个是另一个的实数倍 xa+yb=0 有非零解 (x,y). • 三向量a,b,c共面 一个是另两个的线性组合 • 推广到 n 维向量 • 线性相关: 有非零解 • 线性无关: 只有零解 若有解必惟一 xa+yb+zc=0 有非零解 (x,y,z)

  19. 案例3.1二阶行列式:几何定义 解方程组 OB顺时针方向旋直角到 与方程两边作内积消去y，得 是平行四边形OAPB有向面积. 称为二阶行列式。

  20. 利用基本性质计算 2 阶行列式

  21. 案例3.2三阶行列式 几何定义：D=a · (b×c) 平行六面体有向体积 利用基本性质计算： =

  22. 案例3.3 n阶行列式定义 • 3阶算法： • 各列取不同行元素ai,bj,ck相乘再乘d(ijk) =(-1)s. d(ijk)是自然基列向量ei,ej,ek排成的行列式,经s次两列互换为d (123)=1. • n 阶行列式 D= • 排列 经s次对换变成 • 则 • 在 中将1,2,…依次往前一步步换到第1,2, … 位.则 s = 逆序数

  23. 案例3.4行列式判定线性无关 • 方阵A的行列式(n维体积) D ≠0  各列线性无关方程组Ax=b有惟一解。 • 证明: A 的各列a1,…,an线性相关 • 某列ai 是其余各列的线性组合 • 将各列aj的–lj 倍加到第i列 •  A的第i列化为零  D=0. • 可见：D≠0  各列线性无关. • 反过来: D=0 初等行变换化成阶梯形, 最后一行为零 各列线性相关.

  24. 案例3.5惟一解公式(Crammer) • 以n=3为例: • 左边第2列乘-y,第3列乘-z,各加到第1列 • 再提取公因子x,得 xD=D1 x=D1/D. • 类似可得 y=D2/D, z=D3/D.

  25. 案例4.1秩与维数的惟一性 • 向量组 A=(a1,…, am)的线性组合 B=(b1,…,bk). k>m B 线性相关. • 记A的线性组合 b 为乘积形式 • 则 • (3) • k个m维数组Xj线性相关 bj线性相关 • A,B互为线性组合且线性无关 m=k

  26. 案例4.2矩阵乘法的引入 • 矩阵 A=(a1,…, am)看成列向量组 • 线性组合 a1x1+…+anxn写成 “行向量”A乘 列向量X • A与矩阵X=(X1,…, Xk)的乘积: A乘各列 • AX=A(X1,…,Xk)=(AX1,…,AXk) • 实际上是利用分块运算引入矩阵乘法

  27. 案例4.3矩阵乘法运算律 • 乘法法则 • 对角阵 • 纯量阵与单位阵

  28. 案例4.3矩阵乘法运算律 • 分配律 A(X+Y)=AX+AY. • (1) X,Y只有一列：合并同类项 • (2)X,Y有若干列: 逐列比较

  29. 案例4.3矩阵乘法运算律 • 结合律 (AB)C = A(BC). • (AX)l=(a1x1+…+anxn)l • =a1(x1l)+…+an(xnl)= A(Xl) • (AB)L= • = A(BL) • (AB)Cj=A(BCj)

  30. 案例4.4运算律应用例 • 例1.

  31. 例2. • 求 AB, An. • XAX:旋转角a . • OP=(x,y)=xe1+ye2 • OQ=xe2+y(-e1)=(-y,x) • OP’=(cosa)OP+(sina)OQ

  32. 例3. . 求 A10. • 解.A=lI+ N ,

  33. 例4. .求 B 使 B10=A • 解.A=I+ N , • 易验证 B 满足要求。

  34. 例5.解微分方程组 • 解. • 通解X= eAtC.eAt由Taylor级数定义. • 令,则N2 = O

  35. 例6.矩阵求逆（解矩阵方程组) • 解.解方程组 AX=I。按列分块： • A(X1,…,Xn)=(e1,…,en ) • 分别解AXj = ej. • 分别做初等变换（A,ej)-…(I,Xj) • 同时做 (A,e1,…,en)(I,X1,…,Xn) • 即(A,I)(I,X),X=A-1. • 解 AX=B，(A,B)(I,X).

  36. 案例5.1最小二乘法(1) • 例1.过三点(3.7,0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作直线y=kx+b. • 解. 解方程组 • 即 ka1+ba2=c. • 求D与C距离最近. • 几何解:DC⊥平面p. • ATAX=ATc

  37. 案例5.2最小二乘法(2)--内积 • 例2.过n点(xi,yi)作直线y=kx+b. • 解.解方程组 ka1+ba2=c,AX=c. • a1,a2是n维向量. • 内积推广到Rn. • 仍求距离CD最短. • 为什么DC⊥平面p? • 勾股定理: CP2=CD2+DP2 > CD2. • , ATAX=ATc

  38. 案例5.3勾股定理的理由 • (a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2 • 对向量 a,b 仍成立: • AB 2 =CA2 + CB2 -2CA*CB *cosC • 完全平方公式 = 余弦定理（含勾股定理) • 对数组向量 a,b 也成立。

  39. 案例5.4 Cauchy不等式 • 例3.Cauchy不等式的理由. • 向量a=OA,b=OB 夹角q • |cosq| =|(a,b)|/(|a||b|) ≤ 1 • (a,b)2≤|a|2|b|2 • 为什么|cosq| ≤ 1? • 直角边|OC| ≤ 斜边|OB| • OB2-OC2=CB2≥0 .

  40. 案例5.5特征向量的引入 • 例4.求曲线 x2+2xy+5y2=4围成的面积. • 解. 左边配方得 x’2+y’2=4, • 所求面积S乘|A|=2变成圆面积4p,S=2p. • 例5.例4曲线是否被变换XAX拉伸为圆? • 解. 是否有非零X拉长为 AX=lX? • (A-lI)X=0有非零解 X,行列式|A-lI|=0.

  41. 案例5.6图解特征向量 • 例4的曲线 x2+2xy+5y2=4被拉伸成圆.

  42. 案例5.7利用线性变换引入e • 求双曲线围成的面积

  43. 案例5.8实对称方阵的正交相似 • 例6.通过直角坐标系旋转将曲线 x2+2xy+5y2=4方程化为标准形式. • 分析. • 直角坐标变换 X=UY 使 • Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU. • 选择正交方阵 U 使 B =diag(l1,l2). • 则 AU=UB,A(U1,U2)=(l1U1,l2U2) • U 的两列是 A 的特征向量.

  44. 谢谢 ！

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