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Analyse Spectrale de Fourier. - définition de la densité spectrale de puissance - erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs - effet de biais - effet des fenêtres fuites - les Unités. Analyse Spectrale de Fourier densité spectrale de puissance : définition.

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analyse spectrale de fourier

Analyse Spectrale de Fourier

- définition de la densité spectrale de puissance

- erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs

- effet de biais

- effet des fenêtres fuites

- les Unités

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier densit spectrale de puissance d finition
Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de puissance : définition
  • x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique)
      • n: [-,+]
      • T=1
  • 2 formulations équivalentes :
      • transformée de Fourier de la Fonction d ’autocorrélation
      • moyenne (d ’ensemble) du module carré de la T de Fourier

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier densit spectrale de puissance estimateur
Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de puissance : estimateur
  • x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique)
      • n: [-1,N], nombre de points fini
      • T=1
  • 2 estimateurs (équivalents quand N>>>):
      • corrélogramme
      • périodogramme

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier estimateur du p riodogramme
Analyse Spectrale de Fourierestimateur du périodogramme
  • On utilise l ’estimateur du périodogramme : calcul avec la FFT.
  • Propriétés de l ’estimateur :
      • biais : =E [Sxx/per(k)] = Sxx(k) quand N>>
          • sans biais asymtotiquement
      • variance : = E[Sxx/per(k)- ]²  S²xx/per(m)
          • la variance est très importante !!

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier estimateur du p riodogramme1
Analyse Spectrale de Fourierestimateur du périodogramme

Bruit blanc filtré passe-bas

superposition de [20 FFT]² calculées

sur des tranches de 256 points

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier p riodogramme moyenn contr le de la variance 1
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme Moyenné: contrôle de la variance(1)
  • D ’où l ’idée de moyenner l ’estimateur du périodogramme sur plusieurs ‘ tranches ’ du signal. (Moyenne d ’ensemble) -WELCH-

N points par tranche

M

1

2

m

SM

S1

S2

Sm

( Sm)/M

S

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier p riodogramme effet du moyennage
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme : effet du moyennage

Bruit blanc filtré passe-bas

moyenne de [2 FFT]² calculées

Moyennage de 20 [FFT]²

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier propri t s du p riodogramme moyenn
Analyse Spectrale de Fourierpropriétés du périodogramme moyenné
  • Le moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change pas puisqu ’il ne dépend que de N (longueur chaque tranche).
  • Propriétés de l ’estimateur :
      • biais : =E [Sxx/per/moy(k)] = Sxx(k) quand N>>
          • sans biais asymtotiquement
      • variance : = E[Sxx/per/moy(k)- ]²  S²xx(k)/M
          • la variance diminue en 1/M !!
      • Écart-type: =S(k)/M
  • ps: les résultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne ainsi qu ’une indépendance des tranches.

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier p riodogramme moyenn par recouvrement
Analyse Spectrale de FourierPériodogramme Moyenné par recouvrement
  • il faut augmenter M pour diminuer la variance
      • le TEMPS d ’ANALYSE Tmax >N.M.T peut être prohibitif

N points par tranche

1

2

m

M

S1

S2

Sm

SM

( Sm)/M

S

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier p riodogramme moyenn recouvrement 2
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme moyenné :recouvrement(2)
  • Une méthode pour diminuer Tmax . On fait recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne sont plus ‘ indépendantes ’:
      • la variance décroît moins vite avec N
      • les fenêtres contribuent à rendre ‘  indépendantes ’ les tranches

Fenêtre rectangulaire

Fenêtre type Hanning

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier p riodogramme contr le du biais
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme :contrôle du biais
  • Estimateur asymtotiquement non biaisé
    • il faut augmenter N (c ’est-à-dire augmenter la résolution fréquentielle) pour diminuer le biais
  • si f =1/NT trop grand :
    • sous estimation des maximum (pics)
    • sur-estimation des minimum
  • en général T fixé par l ’analyse  N
  • une régle pratique : pour un ‘ pic ’ de largeur f0 :
    • il faut choisir N tel que : f = 1/NT < f0/4
    • pour un système à 1ddl avec amortissement visqueux .
      • f0=2 fr r fr f résonance; r amortissement réduit

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier effet des fen tres exemple
Analyse Spectrale de Fouriereffet des fenêtres : exemple
  • Démo ‘ fuites ’ (voir DFT)
    • 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une raie FFT
    • 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2 raies
      • - comparaison des fenêtres de Hanning et rectangulaire
  • l ’effet des raies latérales dues à une fenêtre font augmenter la puissance .
  • Ceci est corrigé en divisant par ‘ la puissance équivalente de la fenêtre ’. Voir tableau chapitre ‘ DFT ’. La correction est faite sur les analyseurs.

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier ajout de z ros zeros padding
Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : zeros padding
  • Objectifs :
      • augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2
      • augmenter la résolution ???
  • Intérêts : les transitoires, signaux courts
  • résultats :
      • interpolation entre les points DFT calculés sans l ’ajout de zéros
      • la fonction d ’interpolation est liée à la fenêtre de pondération l

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier unit s signaux continus
Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux continus
  • Signaux périodiques
  • Signaux non-périodiques

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier unit s signaux discrets
Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux discrets
  • Discret :
    • T  N.T
    • dt  T
    • df   f=1/N T
    •   
  • l ’ENERGIE totale T= N.T
      • V².sec
  • or à cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval s ’écrit:
  • rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des fréquences négatives

analyse spectrale

analyse spectrale de fourier unit s r sum
Analyse Spectrale de FourierUnités : résumé
  • x( ) en Volts
  • Puissance DS Puissance Energie DS Energie
  • V² V²/Hz V².sec V².sec/Hz=V².sec²
  • amplitude
  • V V/Hz V.  sec V.sec

analyse spectrale