数学问题中的发散和逆向思维

1. 数学问题中的发散和逆向思维 典型的逆向思维实例：三个公开的数学问题介绍 报告人：伍俊良

2. 树立一种好的思维方法的重要性 • 本科学生学习马克思主义哲学的必要性与应用上的盲目性 • 世界观：反过来就是观世界，培养观察世界各种现象运动规律。复杂多样的自然现象造就了学科内容的多样性，地质地貌造就了地质学，地貌学，地壳运动学，采掘，采矿，冶金，石油，勘探，生物化学，物理学，天体物理学。造就了世界众多的自然科学家，如哥白尼，开普lie 张衡、祖冲之牛顿，爱因斯坦，法拉第，霍金。这些人无一不是用数学方法在刻画世界。 • 大自然赋予人类众多的财富，矿藏，石油，海洋，森林，赋予人们美轮美奂的自然美景，让我们去享用。但也给人类提出了警示，产生众多的社会科学，如可持续发展，保护环境，减排，低碳，计划生育，控制人口等。 • 人生观，反过来就是观人生，指人们对人生意义的不同理解，用不同的思维方式去看待人生，认识人类社会的演进。

3. 方法论 • 方法论是哲学科学或科学哲学的另外一个重要方面，一个好的世界观和观察事物的方法是任何科学家的共同特质。 如达尔文发现与发展生物进化学说； 牛顿发现万有引力并创立牛顿力学和天体物理学； 法拉第发现了电和磁并创立了电磁学； 贝尔发现电话改变了世界。 　高斯，莫比乌斯等。 这些无一不与他们具有观察事物的超人能力和科学的方法相关。

4. 数学科学的强大渗透力和独立性 • 数学可以作为其他任何科学的基础，其本身也是高度抽象而独立于其他科学的科学，自成体系。从逻辑思辨角度来看，其他科学往往没有数学的逻辑体系这么复杂多样，因为其他学科往往着力于具体应用和实现。而数学则不然，只要符合逻辑的概念都可以定义（但不要成为空集），而应用科学往往强调于可实现性。 • 两种思维：先存在理论，后寻找背景； 　　　　　　先存在背景，后寻找理论

5. 硕士生与博士生的学习方法 • 硕士生的历程介于本科生与博士生之间，他们既有被动接受知识的一面，也是一个逐步树立创新思维的过程，一个好的硕士生往往也具备一定的创新能力，但相对于博士生而言，他们还没有具备系统的科学思维能力和创新能力。 • 博士生的学习则主要基于创新思维的系统训练和独立研究能力的形成，他们不再是以学习知识为主要方面，而是通过独立的研究过程来培养他们的思维方式，扩大他们的知识面，形成自己独特的知识结构体系和思维方法。

6. 发散思维能力的培养 • 象牙尖的观点既肯定又否定； • 每一个研究方向虽然特殊但又存在不同的分支内容；

7. 数学问题中成对出现的问题归纳 • 分析：连续——不连续；可导——不可导；收敛——发散； • 代数：可约——不可约；可逆——不可逆；可交换——不可交换；交换代数 ——不可交换代数；正交——非正交； • 几何：欧氏几何——非欧几何；笛卡尔坐标系——仿射坐标系 • 微分方程：线性——非线性；稳定不稳定； • 最优化：光滑——非光滑；凸——非凸，单目标——多目标

8. 看看一个常规的数学问题及其启示 • 一个n 阶实矩阵A • 必定存在一个复数（或实数）z，使得z是A的特征值 • 也就是一定存在一个非零的n维向量X，使得AX=zX

9. 学生的常规思维，被动接受，一般不会考虑其它的问题，也不会提出其他问题。学生的常规思维，被动接受，一般不会考虑其它的问题，也不会提出其他问题。

10. 反向思维启示 • 反过来问，任意给定一个复数z，能否找到一个实矩阵A，以z作为它的特征值？这样的矩阵如何确定？！ • 这就是数学中的反问题或者称为逆问题。这类现象在数学和其他学科中均大量存在。 • 两个杂志介绍： IP: Inverse Problems QM: Question Mathematices

11. 问题的进一步发散 • 任何一个n 阶实矩阵A，必定存在n个复数（实数）作为它的特征值。 • 反过来，它的逆问题是： • 任意给定n个复数或者（实数），如何来确定一个实（复）矩阵，使得这个矩阵的n个特征值刚好就是给定的n个复数？这样的矩阵是否一定存在？！ • 再进一步，要求这个矩阵还是非负的（非负逆特征值问题，Nonnegative Inverse Eigenvalues Problem——NIEP）； • 如果给定的n个数是实数，则称RNIEP • 再进一步问，在给定的n个数是实数的情况下，确定的矩阵不仅要求是非负的，而且还要求是对称的！SNIEP

12. 这就是著名的三大公开问题，非负逆特征值问题NIEPs (Nonnegative Inverse Eigenvaluese Problems )。 • 它由前苏联著名的数学家Kolmogorov 在1937年所提出。

13. 看看背景 • 1937年, Kolmogorov [1]问一个问题: 何时一个给定的复数是一个非负矩阵的特征值？ • 这个问题很快得到证明：答案是:任何一个复数都是一些非负矩阵的特征值 [2]. Suleimanova ([3], [25]) 在1949扩张了 Kolmogorov的问题成为如下叫做非负逆特征值问题 nonnegative inverse eigenvaluese problem (NIEP)的公开问题.

14. 也就是： • 问题 1 (NIEP).确定n个复数是一个n阶非负矩阵的特征值的必要与充分条件。 • 问题1对于n>=4时仍然是未决问题，n=2时容易解决，n=3时已经被 Loewy 和 London 解决[4] ( R.Loewy and D.D.London, A note on an inverse problem for nonnegative matrices, Linear and Multilinear algebra, 6(1978), 83-90).

15. 在同一篇论文中，Suleimanova [3] 也给出了下列非负逆特征值问题，并给出了一个充分条件 • 问题2 (RNIEP).确定n个实数是一个n阶非负矩阵的谱的充分必要条件. • 问题2 仍然是未决问题当n>=5.

16. Fiedler [5] 在1974年提出了下列对称非负的逆特征值问题 • 问题 3 (SNIEP).确定n个实数是一个非负对称矩阵的谱的充分必要条件。 • 问题 3对于n>=5时仍然是未决问题.

17. 相关研究背景 • 全世界有许多学者研究上述这些问题，据不完全统计，大约有300多篇学术论文研究此问题。多次召开专门的国际会议讨论，有专门撰写相关的学术专著的，有广泛流传的网络资料材料.pdf文件。

18. 主要的参考文献列举如下 • [1] A.N. Kolmogorov, Markov chains with countably many possible states, Bull. Univ. Moscow (A) 3 (1937) 1–16 (in Russian). • [2] H.Minc, Nonnegative Matrices, John Wiley and Sons, New York, 1988, p166. • [3] K.R. Suleimanova, Stochastic matrices with real eigenvalues, Soviet Math. Dokl. 66 (1949) 343–345 (in Russian). • [4] R. Loewy, D. London, A note on an inverse problem for nonnegative matrices, Linear and Multilinear • Algebra 6 (1978) 83–90. • [5] M. Fiedler, Eigenvalues of nonnegative symmetric matrices, Linear Algebra App. 9 (1974) 119–142. • [6] Moody T. Chu, Gene H. Golub, Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Applications, Oxford University press. P93-122. • [7] Ricardo L.SoTo, Reliability by symmetric nonnegative matrices,http://www.scielo.cl/pdf/proy/v24n1/art06.pdf. • [8] A. Borobia, On the nonnegative eigenvalue problem, Linear Algebra Appl. 223–224 (1995) 131–140. • [9] M. Boyle, D. Handelman, The spectra of nonnegative matrices via symbolic dynamics, Ann. Math. • 133 (1991) 249–316. • [10] P. Egleston, Nonnegative matrices with prescribed spectra, Ph.D. Dissertation, Central Michigan • University, 2001. • [11] C. Johnson, Row stochastic matrices similar to doubly stochastic matrices, Linear and Multilinear • Algebra 10 (1981) 113–130.

19. [12] C. Johnson, T.J. Laffey, R. Loewy, The real and the symmetric nonnegative inverse eigenvalue • problems are different, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 3647–3651. • [13] F. Karpelevich, On the eigenvalues of a matrix with nonnegative elements, Izv. Akad. Nauk SSSR • Ser. Mat. 15 (1951) 361–383. • [14] R.B. Kellogg, Matrices similar to a positive or essentially positive matrix, Linear Algebra Appl. 4 • (1971) 191–204. • [15] C. Knudsen, J.J. McDonald, A note on the convexity of the realizable set of eigenvalues for nonnegative • symmetric matrices, Electron. J. Linear Algebra 8 (2001) 110–114. • [16] T. Laffey, Realizing Matrices in the Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem, Texts in Mathematics • (Series B), Univ. Coimbra, 1999, pp. 21–32. • [17] T. Laffey, E. Meehan, A refinement of an inequality of Johnson, Loewy, and London on nonnegative • matrices and some applications, Electron. J. Linear Algebra 3 (1998) 119–128. • [18] T. Laffey, E. Meehan, A characterization of trace zero nonnegative 5×5 matrices, Linear Algebra • Appl. 302–303 (1999) 295–302. • [19] J.J. McDonald, M. Neumann, The Soules approach to the inverse eigenvalue problem for nonnegative • symmetric matrices of order-5, Contemp. Math. 259 (2000) 387–407. • [20] L. Mirsky, H. Perfect, Spectral properties of doubly stochastic matrices, Monatsh. Math. 69 (1965) • 35–57.

20. [21] H. Perfect, Methods of constructing certain stochastic matrices, Duke Math. J. 20 (1953) 395–404. • [22] N. Radwan, An inverse eigenvalue problem for symmetric and normal matrices, Linear Algebra • Appl. 248 (1996) 101–109. • [23] R. Reams, An inequality for nonnegative matrices and the inverse eigenvalue problem, Linear and • Multilinear Algebra 41 (1996) 367–375. • [24] G. Wuwen, Eigenvalues of nonnegative matrices, Linear Algebra Appl. 266 (1997) 261–270. • [25] Xingzhi Zhan, Matrix Theory, Academic Press (In Chinese), 2008.6.p127. • [26] Patricia D. Egleston, Terry D. Lenker, Sivaram K. Narayan, The nonnegative inverse eigenvalue problem, Linear Algebra and its Applications 379 (2004) 475–490.

21. 众多资料的证明的局限性 • 有限维的证明只能是一个结果，不能从根本上证明问题； • 特殊不能代替一般； • 存在盲目性； • 问题过于复杂化。

22. 我们的证明思路与方法： • 首先阐明：数学问题象一幅画：蒙娜丽莎。 • 可实现的基本要求 • 举例来说，一元二次方法一定有两个复（实）根，但不是任意两个复数都可能是一个给定的一元二次方程的根，为什么？？ • 同样对于给定的n个复数并不一定都能够是一个非负矩阵的谱。

23. 公开问题可实现的基本条件是：

24. 将一般的实矩阵的逆特征值问题与非负的实矩阵的逆特征值问题联系起来，仍然利用逆相思维！将一般的实矩阵的逆特征值问题与非负的实矩阵的逆特征值问题联系起来，仍然利用逆相思维！ • 回答IEP三个公开问题NIEP，参考论文的证明过程

25. 最后我以两句搞笑的电影台词来结束我的报告，让大家共勉：最后我以两句搞笑的电影台词来结束我的报告，让大家共勉： （男同胞）失信于**人，何以取天下（沈腾） （全体）失信于学生，何以谈教学！

26. 致谢！ • 感谢各位老师的宝贵时间并希望提出宝贵意见！