Descrição Matemática de Sistemas (C. T. Chen, Capítulo 2)

1. Descrição Matemática de Sistemas(C. T. Chen, Capítulo 2) • Sistemas Lineares

2. Supõe-se que a resposta a uma dada entrada é única. Esta relação única entre entrada e saída, excitação e resposta, causa e efeito, é essencial. Sistemas: SISO (Single Input, Single Output): MIMO (Multiple Input, Multiple Output): SIMO (Single Input, Multiple Output):

3. Descrição matemática de sistemas • Um sistema é dito de tempo contínuo se aceita sinais de tempo contínuo como entrada e gera sinais de tempo contínuo na saída. Entra ou, e sai ou , sendo (´ significa transposto). varia de - a +, em passo infinitesimal. • Um sistema é dito de tempo discreto se aceita sinais de tempo discreto como entrada e gera sinais de tempo discreto na saída. Entra ou , e sai ou , sendo .Todos os sinais têm o mesmo tempo de amostragem , e é um inteiro variando de - a +. • Um sistema é chamado sem memória se sua saída em depende somente da entrada atual (em ). • Um sistema é chamado com memória se a saída em depende da entrada atual, passada e futura. • Um sistema é chamado de causal (ou não antecipatório), se a saída atual depende apenas de entradas passadas e atuais (nada de futuras). • Nenhum sistema físico é não causal.

4. Descrição matemática de sistemas • Até que tempo passado a entrada passada afetará a saída atual? • Geralmente, é até -. • Seguir as entradas desde - até o tempo atual, se não impossível, é muito inconveniente. • O conceito de estado permite lidar com este problema.

5. Definição de estado • O estado de um sistema no tempo é a informação em que, junto com a entrada , para , determina unicamente a saída ) para todo . • Conhecendo-se , não é mais necessário conhecer os valores de para . • As variáveis que compõem o vetor são chamadas variáveis de estado. Assim, pode-se considerar o estado inicial simplesmente como um conjunto de condições iniciais, que sumariza o efeito da entrada passada na saída futura.

6. Descrição matemática de sistemas

7. Descrição matemática de sistemas • Utilizando o estado em , pode-se expressar a entrada e a saída do sistema como • Isto significa que a saída é parcialmente excitada pelo estado inicial em e parcialmente excitada pelo sinal de entrada em e após . Logo, não há como conhecer a saída sem conhecer a entrada e o estado (inicial). Em outras palavras, tem-se um par entrada-estado/saída, e não somente entrada/saída.

8. Descrição matemática de sistemas • Um sistema é agrupado (concentrado) (lumped) se o número de variáveis de estado é finito. • Um sistema é distribuído se seu estado tem infinitas variáveis.

9. Sistemas lineares • Um sistema é chamado de sistema linear, se para todo e dois conjuntos estado-entrada-saída quaisquer

10. Sistemas lineares • Combinando as propriedades anteriores, obtém-se a propriedade de superposição

11. Sistemas lineares • A saída é chamada de resposta à entrada zero quando • A saída é chamada de resposta ao estado zero quando • Resposta = resposta à entrada zero + resposta ao estado zero • (Devido à propriedade da aditividade) • (Note-se que isto não ocorre para sistemas não lineares)

12. Sistemas lineares • Descrição entrada-saída.Desenvolve-se uma equação matemática para descrever a resposta ao estado zero de sistemas lineares(implicitamente, o estado inicial e assumido como zero). • Considere-se o seguinte sinal pulso.

13. Sistemas lineares • A entrada pode ser aproximada por uma sequência de impulsos.

14. Sistemas lineares • A saída no tempo excitada pelo pulso no tempo é • Depois

15. Sistemas lineares • Quando delta aproxima-se de zero, obtém-se • Um sistema é relaxado em se seu estado inicial em é 0. • Então, todo sistema linear que é causal e relaxado empode ser descrito como

16. Caso multivariável

17. Descrição no espaço de estados • Todo sistema linear agrupado pode ser descrito por um conjunto de equações da forma

18. Sistemas LTI • Sistema lineares invariantes no tempo (LTI)

19. Sistemas LTI • A descrição entrada-saída fica • Esta é a chamada integral de convolução, e representa a descrição do sistema LTI no domínio do tempo.

20. Sistemas LTI • Função de transferência dos sistemas LTI

21. Sistemas LTI • A função de transferência do sistema é a transformada de Laplace da resposta impulsiva (resposta ao impulso). • A resposta impulsiva é a transformada inversa de Laplace da função de transferência.

22. Sistemas LTI • Para um sistema de p entradas e q saídas

23. Sistemas LTI A função de transferência do sistema de retardo é uma função de transferência irracional porque se trata de um sistema distribuído. Se o sistema LTI é agrupado, então sua função de transferência será uma função racional.

24. Sistemas LTI

25. Sistemas LTI • Toda função de transferência racional pode ser expressa por

26. Sistemas LTI • Uma função de transferência racional imprópria amplificará ruídos de alta freqüência. • Portanto, esta função de transferência raramente é utilizada em aplicações práticas.

27. Sistemas LTI • Definição:

28. Sistemas LTI

29. Equação no espaço de estados • Todo sistema linear agrupado invariante no tempo, pode ser descrito por a partir de onde se pode obter a matriz de transferência caso .

30. Linearização • Muitos sistemas físicos são não lineares e variantes no tempo. Alguns deles podem ser descritos pela equação diferencial não linear • Considere-se

31. Linearização • Então o sistema pode ser expandido

32. Linearização • Omitindo a ordens altas de

33. Exemplo 1 Não lineares, e sem possibilidade de linearizar com erro pequeno. Linear Será considerado apenas o atrito viscoso (, sendo o coeficiente de atrito viscoso).

34. Exemplo 1 Figura 2.10 Característica da mola (não linear). Porém, se o deslocamento for limitado ao intervalo , então a mola pode ser considerada como linear, com boa aproximação, e a força por ela exercida será , sendo a constante da mola.

35. Exemplo 1 Pela Lei de Newton: , sendo e . Aplicando a transformada de Laplace, assumindo condições iniciais nulas, obtém-se , o que resulta na descrição entrada-saída do sistema e na sua função de transferência

36. Exemplo 1 Se e , a função de transferência do sistema se torna sua resposta ao impulso do sistema será = e sua descrição por convoluçãoserá

37. Exemplo 1 Quanto à descrição deste mesmo sistema no espaço de estados, sejam as variáveis de estado Daí, a partir de (2.22) podemos escrever Daí, se obtém a descrição no espaço de estados do sistema, que é

38. Exemplo 2

39. Exemplo 3

41. Exemplo

42. Exemplo

43. Exemplo

44. Linearização de um sistema de nível

46. Sistemas de tempo discreto • Assume-se que o período de amostragem T é igual para todo sistema de tempo discreto. • Muitos conceitos aplicados a sistemas de tempo contínuo se aplicam a sistemas de tempo discreto. Porém, alguns conceitos variam. • Por exemplo, em sistemas contínuos um sistema de retardo é distribuído, mas em sistemas discretos o sistema de retardo é agrupado se o retardo é um inteiro múltiplo de T.

47. Sistemas de tempo discreto • Descrição entrada saída. Seja a seqüência impulso • Seguindo um procedimento similar ao utilizado em sistemas contínuos, obtém-se a descrição entrada saída para sistemas relaxados em e causais.

48. Sistemas de tempo discreto • Seja a transformada Z • Depois

49. Sistemas de tempo discreto • Exemplo de um sistema de tempo discreto distribuído

50. Sistemas de tempo discreto • Uma função de transferência racional discreta pode ser própria ou imprópria. Se é imprópria como • Obtém-se um sistema não causal. • O resultado é distinto em sistemas de tempo contínuo, onde uma função de transferência racional imprópria pode ser de um sistema causal.