高等院校非数学类本科数学课程

1. 高等院校非数学类本科数学课程 高等数学A1 —— 一元微积分学 主讲：马传秀老师 电话：13873112723 邮箱：942754592@qq.com

2. 首先，理解基本概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。

3. 其次，掌握基本理论（定理性质推论结论等）。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

4. 第三，熟悉基本方法。在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法。做题时要善于总结——不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才能举一反三。

5. 　 第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。

6. 达朗贝尔 告诫学习他的学生们： 坚持, 你就会有信心.

7. 成绩的构成 三次机试，各占10%, 平时10%, 作业10%, 期末50%。

8. 参考书目： 高等数学 同济大学主编 高等教育出版社 吴赣昌老师的教案

9. 函数(2学时，第一章) (与中学内容相衔接，以复习为主。) 1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函数的概念。 2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。 3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际问题中的函数关系式。

10. 函数的概念与基本性质 一、函数的概念 二、函数的基本性质 三、函数的代数运算 四、反函数

11. 一、函数的基本概念 1. 函数的定义

13. 2.函数的表示法 解 析 法 表 格 法 图 示 法

14. 3. 求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。 通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开 偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几 何意义等来确定函数的定义域。

15. 解 例1 由负数不能开偶次方, 得 由对数函数的定义域, 得 由分母不能为零, 得 综上所述,该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 。

16. 例2 解 故

17. 解 例3 故

18. 解 例4 的定义域。 求 y y = sgn x 1 O x 1 该函数称为符号函数,其定义域为 也称为克朗涅哥函数

19. y = [ x ] = “整数” “整数”+“正的纯小数” 或“零” 例5 将x表示为: 函数 称为取整函数，它是一个分段函数。 [ x ]：不大于x的最大整数

20. 想想取整函数的图形是什么样子？

21. 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才 能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的 杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国 数学界的核心人物之一。 例6 狄利克雷函数就不能作出几何图形. Dirichlet 1805—1859

22. 二、函数的基本性质 单调性 有界性 奇偶性 周期性

23. 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为 。 1.单调性

24. 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少, 记为 。

25. 函数的单调性是一个局部性的 性质, 它与所讨论的区间I 有关.

26. 我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。 例7 画画图就一目了然.

27. 2. 有界性 有 界 有界性 有上界 有下界

28. 函数有界性的定义 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I恒有 A f ( x ) B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I上无界。

29. 函数有界示意图 y y B O x B y = f ( x ) O x y = f ( x ) A A

30. 函数 y = f ( x ) 在区间 I上有界

31. 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 M (可正， 可负)，对一切 xI 恒有 f ( x )≤ M y = f ( x ) 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。

32. 设函数 y = f ( x )在区间 y = f ( x ) I上有定义。 若存在实数 m (可正， 可负), 对一切 xI恒有 f ( x )≥m 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I上是下方有界的, 简称有下界。

33. y B O x A 在区间 I 上: 函数 y = f ( x ) 有界 f ( x ) 既有上界又有下界.

34. 间 I上的下确界，记为 间I 上的上确界，记为 若函数 在区间 I 上有上界，则必有 若函数 在区间 I上有下界，则必有 可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界. 无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区 有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？ 无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区

35. 提一个问题： 如何证明或判断函数无界？

36. 函数 y = f (x) 在区间 I上无界， 则不论M >0 的值取得多么大， 总 使得| f ( x0) | > M成立。 证明或判断无界，通常依据:

37. 解 故函数 在任何一个有限区间内有界。 在其定义域内是无界的。 例8 易知：

38. 3. 奇偶性 设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df 关于坐标原点对称。 若x  Df , 有 若x  Df , 有 f ( x ) = f ( x ) f ( x ) = f ( x ) 成立，则称f ( x ) 成立，则称f ( x ) 为偶函数。 为奇函数。 奇函数的图形 关于坐标原点对称。 偶函数的图形 关于 y轴对称。

39. 2) 3) 4)既不是奇函数又不是偶函数 1) 例9 6) 5) 4) 7) 指出下列函数在其定义域内 哪些是奇函数,哪些是偶函数:

40. 定理 在关于坐标原点对称的区间 I内： 两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。 两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。 一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。

41. 定理 在关于坐标原点对称的区间 I内有 定义的任何一个函数f ( x )，均可表示为 区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 的形式。

42. 4. 周期性 设函数 y = f ( x ) , x  (, ) 。 若存在   0 , 对一切 x  (, ) 恒有 y = f ( x   ) = f ( x ) , 则称 f ( x )为周期函数，称为函数 f ( x ) 的一个周期。

43. 通常所说的周期是 如果一个周期函数有最小正周期 存在, 记为 T = min {  } ,  > 0 则称 T 为周期函数的周期。

44. 例10  =2k ( k Z且 k 0) 均为函数 y = sin x 的周期,而它的最小正周期为 T = min{ 2k }= 2 kZ+ 故称正弦函数 y = sinx 的周期为2 。 P21 第5，7行有误。

45. 三、函数的代数运算 函数的加减乘除

46. 如何判断两个函数是否相同? 判断函数相同 定义域与对应规则均相同的两个函数相同。

47. 解 例11

48. 解 例12

49. 设有映射 如果对于映射 称之为函数 与 代入 及 复合而成的复合函数。 消去 u后, 就有 的定义域 ( 或定义域的一部分 )中 那么， 将 复合函数 的每一个 x所对应的 u值，都属于 f (u) 的定义域Df ， 其中，u称为中间变量。

50. · ·  复合函数 · · · ？ 如何 描述