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§7. 用合同变换法化 二次型为标准形

§7. 用合同变换法化 二次型为标准形. 定义 10 . 若对方阵 A 作一次初等 行 变换，接着对所得矩阵作一次同种的初等 列 变换，就称对 A 进行一次 合同变换 . 用合同变换法化二次型为标准形的实质是： 利用可逆线性变换 x = Cy ，把 f = x T Ax 化为标准形，即 f= x T Ax = ( Cy ) T ACy = y T C T ACy = y T Λ y 只须 C T AC = Λ. 又因 C = P 1 P 2 … P s , 其中 P 1 ， P 2 ， … ， P s 均为初等方阵 . 所以

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§7. 用合同变换法化 二次型为标准形

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  1. §7.用合同变换法化 二次型为标准形 定义10. 若对方阵 A 作一次初等行变换，接着对所得矩阵作一次同种的初等列变换，就称对A进行一次合同变换. 用合同变换法化二次型为标准形的实质是： 利用可逆线性变换 x=Cy，把f =x TAx化为标准形，即 f=x TAx=(Cy) TACy=y TCT ACy=y T Λy 只须 CT AC= Λ.

  2. 又因 C= P1P2…Ps ,其中P1，P2，…，Ps均为初等方阵.所以 （ P1P2… Ps)TAP1P2…Ps = Λ 即 PsT…P2T P1TA P1P 2… P s = Λ (1) 而 PST…P2T P1T= PST …P2T P1TE=CT (2) 结合(1)和(2) , 得出将 A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C:

  3. A合同变换 (A | E)(Λ| CT) E作行变换 求出CT, 作可逆线性变换x=Cy, 则该变换将f 化为标准形. f = k1y12+k2y22+…+kryr2。

  4. 用正交变换化 f为标准形； • 用配方法化 f为标准形; • 用合同法化 f 为标准形.

  5. f = 4y12 + 3y22 + 24y32。 作业：163页 12（1） （要求用三种方法化f 为标准形）

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