slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
第九章 格与布尔代数 PowerPoint Presentation
Download Presentation
第九章 格与布尔代数

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 12

第九章 格与布尔代数 - PowerPoint PPT Presentation


  • 147 Views
  • Uploaded on

第九章 格与布尔代数. 9.1 格的定义及性质. 定义 9.1.1 设 ( L , ≼ ) 是一个偏序集,若对于任意 { a , b } ⊆ L 都有最小上界 lub( a , b ) 和最大下界 glb( a , b ), 则称 ( L , ≼ ) 是格 , 记 lub( a , b ) 为 a ∨ b , glb( a , b ) 为 a ∧ b. 例 9.1.1 设 S 是集合, P ( S ) 是 S 的幂集合,则偏序集 ( P ( S ), ⊆ ) 是格。

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '第九章 格与布尔代数' - leroy


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2
9.1格的定义及性质

定义 9.1.1设 ( L, ≼ ) 是一个偏序集,若对于任意{a,b}⊆L都有最小上界lub(a,b)和最大下界glb(a,b),则称( L, ≼ )是格, 记lub(a,b)为a∨b, glb(a,b)为a∧b.

例9.1.1设S是集合,P(S)是S的幂集合,则偏序集(P(S), ⊆)是格。

若A, B⊆ S, 则lub(A, B)=A∪B, glb(A,B)=A∩B

即A∨B = A∪B, A∧B= A∩B

slide3
例9.1.2设Z+是正整数集合,偏序“≼”定义为:例9.1.2设Z+是正整数集合,偏序“≼”定义为:

a≼b ⇔ a|b (a整除b)。则(Z+, ≼)是格。

设a, b∈ Z+, 则lub(a,b)=lcm(a,b), 即a∨b=lcm(a,b),

同理, glb(a,b)=gcd(a,b), 即a∧b=gcd(a,b),

其中, lcm(a,b)为a和b的最小公倍数;

gcd(a,b)为a和b的最大公约数。

slide5
全序集都是格。
  • 群G的全体子群S(G)对于偏序 ⊆ 构成格。

G; H∩K

  • 群G的全体正规子群H(G)对于偏序 ⊆ 构成格。

H, K 的最小上界HK={ hk|h∈H, k∈K }, 最大下界H∩K

  • 环R的全体理想I(R)对于偏序 ⊆ 构成格。

I, J 的最小上界I+J={ i+j|i∈I, j∈J } , 最大下界I∩J

  • 线性空间V的全体子空间S(V)对于偏序⊆ 构成格。
slide6
定理9.1.1若( L, ≼ )是格,则其对偶偏序集( L, ≽ )也是格。

例如,由于(P(S), ⊆)是格,所以(P(S), ⊇)也是格,并且在格(P(S), ⊇)中,A∨B = A∩B, A∧B= A∪B。

  • 设( L, ≼ )是格,由于L的任意两个元素 a和 b均有唯一的最小上界和最大下界,因此“∨”和“∧”是格中的两个二元运算,所以格可以看作具有两个二元运算“∨”和“∧”的代数系统。
slide7
定理 9.1.2设( L, ≼ )是格,则

1.(1) a∨a = a, (2)a∧a = a幂等律

2.(1) a∨b=b∨a, (2)a∧b=b∧a交换律

3.(1) (a∨b)∨c=a∨(b∨c), (2)(a∧b)∧c=a∧(b∧c)结合律

4.(1)a∨(a∧b)=a, (2)a∧(a∨b)=a 吸收律

由a∨(b∨c)是{a, (b∨c)}的最小上界知 a≼a∨(b∨c),b∨c≼a∨(b∨c)而b∨c是{b, c}的最小上界,故b≼b∨c, c ≼b∨c, 再由传递性知: b, c ≼a∨(b∨c)。所以a∨(b∨c)是{a, b}的上界,而a∨b是{a, b}的最小上界,因此 a∨b≼a∨(b∨c),故a∨(b∨c)是{a∨b, c}的上界,而(a∨b)∨c是{a∨b, c}的最小上界,于是(a∨b)∨c≼a∨(b∨c);同理,a∨(b∨c) ≼(a∨b)∨c故由反对称性知:

(a∨b)∨c=a∨(b∨c)

slide8
定理 9.1.3设(L, ∘, ∗)是有两个运算的代数系统,并且运算“∘”和“∗”满足幂等律,交换律,结合律,吸收律,则可以在L上定义一个偏序关系“≼”使得( L, ≼ )是格,并对任意 x, y∈L, 有

x ∘y= x ∨y,x ∗y= x ∧y

证. 在L上定义关系“≼”如下:a≼b ⇔ a = a ∗b。

首先说明“≼”是偏序关系

slide9
对任意a, b∈L,由于*是幂等的,因此a =a*a,于是a ≼ a,故≼是自反的。

如果a ≼ b 且 b ≼ a,则a = a*b 且 b = b*a,由于*是交换的,因此a=a*b=b*a=b,故≼是反对称的。

如果a ≼ b, b ≼ c,则a=a*b,b=b*c,由于*是结合的,因此a=a*b=a*(b*c)=(a*b)*c=a*c,即a ≼ c,故≼是传递的。

所以(L, ≼)是偏序集。

slide10
然后说明(L, ≼)是格。对任意a, b ∈ L,

由(a*b)*a=a*(b*a)=a*(a*b)=(a*a)*b=a*b得 a*b≼a由(a*b)*b=a*(b*b)=a*b得 a*b≼b,

所以a*b是{a, b}的下界;

设c是{a, b}的下界,则c ≼a, c ≼b, 即c =c*a, c =c*b, 故c=c*c=(c*a)*(c*b)=(c*c)*(a*b)=c*(a*b), 即c ≼a*b所以a*b是{a, b}的最大下界, 即

a∧b = glb(a,b) = a*b

类似地说明,a∨b=lub(a, b)=a∘b

设a, b∈L, a≼b, 则a =a∗b, 由吸收律知 a∘b=(a∗b)∘b=b

slide11
反之,设a∘b=b,则 a∗b=a∗(a∘b)=a, 所以a≼b。

综合得:a ≼ b ⇔a ∘b=b。

由(a∘b)∘a = (a∘a)∘b = a ∘b 得 a ≼ a ∘b,

由(a∘b)∘b = a∘(b∘b) = a ∘b 得 b ≼ a ∘b,

所以a∘b是{a, b}的上界;

设c是{a, b}的上界,则 a≼c, b≼c, 即 a∘c =c,b∘c =c故c=c∘c=(a∘c)∘(b∘c)=(a∘b)∘(c∘c)=(a∘b)∘c, 即(a∘b)≼c所以a∘b是{a, b}的最小上界,即

a∨b =lub(a, b) = a∘b

slide12
定义9.1.2设 (L, ∨, ∧)是一个代数系统,二元运算“∨”和“∧” 满足幂等律,交换律,结合律,吸收律,则称代数系统(L, ∨, ∧)为格。

例9.1.4设Z是整数集合,在Z上定义二元运算“∨”和“∧”如下:对任意 x, y ∈ Z,x∨y =max{x,y}, x∧y= min{x, y}, 则(Z, ∨,∧)是格。

只需验证“∨”和“∧”满足幂等律,交换律,结合律和吸收律