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幂级数与 Taylor 展开 - PowerPoint PPT Presentation


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级数. 幂级数与 Taylor 展开. 幂级数的意义和定义. Taylor 公式的“极限”形式 级数理论的初始问题之一 具有广泛的应用 幂级数 定义:一般项 为的函数项级数 , 即 , =R=(-,) 有时为记号的便利:取 , 也就是讨论级数. 多元幂级数. 复数域 ( 平面 ): n 维欧氏空间 R n 方阵值的幂级数: 这里不讨论这几种形式的幂级数 . 幂级数的收敛特性. 若幂级数 在 x 0 0 处收敛 , 则它在任何

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级数

幂级数与

Taylor展开

slide2
幂级数的意义和定义
  • Taylor公式的“极限”形式
  • 级数理论的初始问题之一
  • 具有广泛的应用
  • 幂级数 定义:一般项 为的函数项级数,即 , =R=(-,)
  • 有时为记号的便利:取,也就是讨论级数
slide3
多元幂级数
  • 复数域(平面):
  • n维欧氏空间Rn
  • 方阵值的幂级数:
  • 这里不讨论这几种形式的幂级数.
slide4
幂级数的收敛特性
  • 若幂级数 在x00处收敛, 则它在任何

闭区间[-|x0|+,|x0|-] ((0,|x0|)上一致收敛.

  • 证明: 由 , 存在正常数M,

因此, 任取(0,|x0|), x[-|x0|+,|x0|-]

Weierstrass优级数判别法给出结论.#

slide5
幂级数收敛域的特点
  • 幂级数 的收敛域一定是下列形

式之一: (1) 单点集{a}; (2) 以a为心, 以r>0为

半径区间(r-a,r+a), r-a, r+a可能在也可能不在

收敛域中; (3) 整个实数集R=(-,)

  • 幂级数的收敛半径r:(1) r=0, (3) r= 
slide6
幂级数的例子
  • 几何级数:
  • 指数函数:
slide7
收敛半径的计算
  • Cauchy-Hadamard (Hadmard, 1865-1863)

对于幂级数 , 若 则其

收敛半径

证明:这是跟着判敛法的直接推论#

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计算收敛半径的比值法
  • 若极限 存在,则幂级数

得收敛半径

证明:这是比值判敛法的直接推论#

slide9
幂级数的微积分性质
  • 设幂级数 的收敛半径r>0, 则函数

在 上具有任意阶导数(收敛半径还是r)

另外还可逐项积分(收敛半径还是r) :

slide10
Abel定理
  • 设幂级数 的收敛半径r(0,). 则它在[0,r)上一致收敛当且仅当在x=r点收敛.
  • 证明:条件的必要性是极限定理的推论。
  • 下面来证明条件: “在x=r点收敛”的充分性,

对于x[0,r], 讲幂级数写成如下形式

由一致收敛的Abel判别法就得到结论#

taylor
函数的Taylor展开
  • 设函数在 上有定义, 如果

存在幂级数 满足

就说在a点能展成幂级数, 也称在a点实解析,

而幂级数 称为在a点的展开式.

slide12
幂级数展开式
  • 若在a点能展成幂级数 , 则在a

点由任意阶导数并且

证明: 这是幂级数微分性质的直接推论#

  • Taylor展开式: 若 称幂级数

为在a点的Taylor展开式.

taylor maclaurin
Taylor展开式和Maclaurin展开式
  • Taylor展开式: 若 称幂级数

为在a点的Taylor展开式.

  • Maclaurin展开式:a=0时的Taylor展开式称

为Maclaurin展开式.

taylor1
几个函数的Taylor展开式
  • 指数函数
  • 正弦函数
  • 余弦函数
  • 对数函数
taylor2
几个函数的Taylor展开式(续)
  • 反正切函数:
  • 证明:
    • 指数函数、正弦函数和余弦函数利用Taylor公式;
    • 对数函数和反正切函数利用几何级数及幂级数的逐项积分性质#
  • 问题:反正弦函数arcsin x 呢?
taylor3
Taylor公式复习

则xI(a, )存在=(x),1),

其中

taylor4
Taylor余项的积分形式
  • 设 则xI(a, ), Taylor公式

的余项可以写成如下积分形式

证明:对n作归纳法.

n=1时, 这就是微积分基本定理:

taylor 1
Taylor余项的积分形式(续1)

设n=k时结论成立. 当n=k+1时. 利用k时的结

taylor5
二项式函数的Taylor展开式
  • 二项式函数:
  • n阶导数:
slide23
二项式级数的收敛域
  • 考虑级数 ,由比值公式计算收敛半径

收敛域包含区间(-1,1)

slide24
二项式级数收敛区间的端点
  • 对级数 和

使用Raabe判敛法

>0时, 在两个端点上都收敛; -1<<0时, 第一

个收敛, 第二个发散; -1时, 都发散.

slide25
二项式函数展开式(续1)
  • 对 的估计:存在正常数A()<B(),
  • 证明: <0时,
slide26
二项式函数展开式(续2)
  • >0时,
  • 由Stirling公式, 当n>时,
slide27
二项式函数展开式(续3)
  • 只要注意到下面的极限就可得到结论了
slide28
二项式函数展开式的余项估计
  • 二项式函数的Maclaurin展开的n阶余项
slide30
二项式函数的余项估计(续2)
  • 所以有n阶余项估计
slide31
二项式函数展开式的结论
  • R\N:
  • >0时:
  • -1<<0时:
  • -1时:
taylor6
反正弦的Taylor展开式
  • 利用反正弦函数的导数公式
  • 由二项式函数展开式, x(-1,1),
taylor7
反正弦的Taylor展开式(续)
  • 两边由0至x积分就有

这里用到了