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数学实验

数学实验. 高等数学（下）. 曲线积分与曲面积分. 实验目的. 学习用软件计算曲线积分、曲面积分. 实验内容. 、曲线积分. 1 、对弧长的曲线积分. 若 L ： α≤t≤β ，则. 若 L ： α≤t≤β ， 则. [ 例 1] 计算 ， 为 x 2 +y 2 =a 2 中的 一段弧。. [ 解 ] 方法 Ⅰ ：选 x 为 参数，则. y. A. B. x. 0. 方法 Ⅱ ：选 y 为参数，则.

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Presentation Transcript

  1. 数学实验 高等数学（下） 曲线积分与曲面积分

  2. 实验目的 学习用软件计算曲线积分、曲面积分

  3. 实验内容 • 、曲线积分 • 1、对弧长的曲线积分 若L： α≤t≤β，则

  4. 若L： α≤t≤β，则 [例1]计算 ， 为 x2+y2=a2 中的 一段弧。

  5. [解] 方法Ⅰ：选x 为参数，则 y A B x 0

  6. 方法Ⅱ：选y为参数，则 方法Ⅲ：选t为参数，则有参数方程

  7. >> syms t >>I=int(x*y*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2), atan(sqrt(3)),pi/2)

  8. 运行结果： I =1/8*a^2*(a^2)^(1/2) >>I=simple(I) 运行结果： I=1/8*a^3 • 2、对坐标的曲线积分 L是二维有向曲线： t：α→β

  9. Γ是三维有向曲线： t：α→β [例2]计算∫Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 Γ是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0） 的直线段 。

  10. [解]直线段 的方程为 化为参数方程 t：1→0

  11. >> syms t >>x=3*t; y=2*t; z=t; >>I=int(x^3*diff(x)+3*z*y^2*diff(y) -x^2*y*diff(z),t,1,0) 运行结果： I =-87/4

  12. 3、格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成， 函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶 连续偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线。

  13. [例3]计算曲线积分 ∮L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy， 其中L是区域0≤x≤1，0≤y≤1的边界 正向。 [解]令P（x,y）=x2+xy Q（x,y）=x2+y2 由格林公式得

  14. >> syms x y >>P=x^2+x*y; Q=x^2+y^2; >>I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1) 运行结果： I =1/2 二、曲面积分 • 1 、对面积的曲面积分

  15. 若曲面Σ的方程为:z=z(x,y),则 ［例4］计算曲面积分 其中Σ为锥面 被曲面x2+y2=2ax 所截得的部分。

  16. 解：步骤 • (1)由Σ的参数方程 • 作曲面Σ的图形和Σ在xoy平面的投影 • 区域Dxy的图形； (0≤t≤2π) (2)建立直角坐标系下的被积函数；

  17. (3)将F(x,y)作极坐标变换x=rcost, y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分 (5)化简积分结果

  18. 程序：

  19. 2、对坐标的曲面积分 化为二次积分

  20. [例5]计算 ，其中Σ是上半球面 的上侧。 [解]步骤： 1、作上半球面Σ的图形及其在三个坐标 平面的投影图形； 2 、计算

  21. I＝I1＋I2＋I3

  22. 3、高斯公式设空间闭区域Ω是由 • 分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数 • p(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Ω上具有一 • 阶连续导数，则有 [例6]用高斯分式计算例5

  23. [解]分析：积分曲面Σ不是封闭 曲面，添加平面Σ1:z=0 使构成封闭 曲面Σ＋Σ1。 步骤： • (1)计算沿封闭曲面的积分 • 令P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,

  24. (2)计算Σ1上的曲面积分

  25. (3)

  26. >> syms a x y z s r t >>P=x*z^2; >>Q=x^2*y-z^2; >>R=2*x*y+y^2*2; >>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z); >>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)', 'r*sin(s)*sin(t)','r*cos(s)'}); >>I1=int(int(int(f*r^2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 运行结果： I1 =2/15*a^5*pi

  27. >> I2=int(int('2*x*y',y,-sqrt(a^2-x^2), sqrt(a^2-x^2)),x,-a,a) 运行结果： I2 =0 >> I=I1-I2 运行结果： I = 2/15*a^5*pi

  28. 上机实验题 1、计算下列曲线积分 • ,其中L为摆线一x=a(t-sint), • y=a(1-cost) (0≤t≤2π)。 • ，其中L为圆周x2+y2=a2,直 • 线y=x及轴在第一象限内所围成的 • 扇形的整个边界。

  29. ,其中L是抛 • 物线y=x2上从点（－1,1）到点（1,1） • 的一段弧。 • ,其中L为圆周(x-1)2+y2=2， • 逆时针方向。 2 、计算下列曲面积分

  30. ，其中Σ为平 • 面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分. (2) ,其中Σ是球面x2+y2+z2=R2 的下半部分的下侧。 (3) ，其中Σ是界于 z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9 的整个表面的外侧。

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