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第五章 二次曲线的一般理论

第五章 二次曲线的一般理论. §5.1 二次曲线与直线的相关位置. § 5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线. § 5.3 二次曲线的切线. §5.4 二次曲线的直径. § 5.5 二次曲线的主直径和主方向. § 5.6 二次曲线方程的化简与分类. § 5.7 应用不变量化简二次曲线的方程. 在平面上，由二元二次方程. 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。. 为了方便起见，特引进一些记号：. §5.1 二次曲线与直线的相关位置. 讨论二次曲线. （ 1 ）. 与直线.

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第五章 二次曲线的一般理论

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  1. 第五章 二次曲线的一般理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 §5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3二次曲线的切线 §5.4二次曲线的直径 §5.5二次曲线的主直径和主方向 §5.6二次曲线方程的化简与分类 §5.7 应用不变量化简二次曲线的方程

  2. 在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。

  3. 为了方便起见，特引进一些记号：

  4. §5.1 二次曲线与直线的相关位置 讨论二次曲线 （1） 与直线 （2） 的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程

  5. （3） （4） 对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：

  6. §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的. 即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0

  7. 2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 定理5.2.1点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是： 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.

  8. 二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定： 如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标 如果I2＝0，分两种情况：

  9. 定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上 成为二次曲线的组成部分.

  10. §5.3 二次曲线的切线 定义5.3.1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点. 定义5.3.2二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.

  11. 定理5.3.1如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：

  12. 例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/2≠0, F2(2,1)=-2 ≠0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在 点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0

  13. §5.4 二次曲线的直径 1.二次曲线的直径 定理5.4.1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 定义5.4.1二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.

  14. 推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理5.4.2中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线 2.共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向. 定义5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.

  15. §5.5 二次曲线的主直径和主方向 定义5.5.1二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.

  16. 定义5.5.2方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根定义5.5.2方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根 定理5.5.1二次曲线的特征根都是实数. 定理5.5.2二次曲线的特征根不能全为零. 定理5.5.3由二次曲线(1)的特征根λ确定的主方向X:Y，当λ≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当λ＝0时，为二次曲线的渐近主方向. 定理5.5.4中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径.

  17. §5.6 二次曲线方程的化简与分类 1.平面直角坐标变换 为转轴公式，其中α为坐标轴的旋转角.

  18. 2.二次曲线方程的化简和分类 定理5.6.1适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个： 定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：

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