계 량 분 석

계 량 분 석 이 승 재 2011. 00. 00

선형이론 기초

쌍대문제란? • 쌍대문제로의 변환 쌍대문제 • 원문제풀이 • 쌍대문제 풀이 • 벡터를 이용한 풀이

Duality 쌍대(dual) 문제란? 특정 상황의 문제(원문제)를 상대적인 측면에서 본 문제 • 원문제 • 쌍대문제 제약식의 우측 상수 목적함수의 계수 제약식의 열과 행 제약식의 행과 열 전 치

계수(coefficient) 변환 원문제 Max3 x1 + 2 x2 s.t. 2 x1 + 3 x2≤ 7 1 x1 + 4 x2 ≤ 14 전 치 쌍대문제 Min7 Y1 + 14 Y2 s.t.2 Y1 + 1 Y2≥3 3 Y1 + 4 Y2 ≥4

부등호 변환

Exercise 원문제 MaxZ = 3 x1 + 4 x2 s.t. 1 x1 + 1 x2≤ 10 2 x1 + 3 x2 ≤ 30 X1, x2 ≥ 0 쌍대문제 MinW = 10 Y1 + 30 Y2 s.t. 1 Y1 + 2 Y2≥ 3 1 Y1 + 3 Y2 ≥ 4 Y1, Y2 ≥ 0

쌍대문제 왜 필요한가? 원문제의 최적해에 대응하는 목적함수 값은 쌍대문제의 최적해에 대응하는 목적함수 값과 같다 원문제보다 쌍대문제가 풀기 쉽다면 쌍대문제를 풀어 이로부터 원문제의 해를 구한다

변수가 3개인 문제가 쌍대문제로 변환함으로써 변수 2개인 문제가 된다. 곧 평면상의 2차원으로 쉽게 풀 수 있게 된다 Example Max Z = 9 x1 + 8 x2 +7 x3 s.t. 6 x1 + 5 x2 +4 x3≤ 7 3 x1 + 2 x2 +1 x3 ≤ 14 MinW =7 Y1 + 14 Y2 s.t.6 Y1 + 3 Y2≥9 5 Y1 + 2 Y2 ≥8 4 Y1 + 1 Y2 ≥7

(0, 9) (0, 6 (6, 0) (9, 0) (9/2, 0 ) Max z =1 x1 + 1 x2 s.t. 2 x1 + 1 x2≤ 9 1 x1 + 2 x2 ≤ 9 x1 , x2 ≥ 0 원문제 최적해 x1 = x2 = 3 일때 목적함수 값 z =6 (3, 3)

원문제심플렉스 풀이 Max z =1 x1 + 1 x2 + s1 + s2 s.t. 2 x1 + 1 x2+s1 = 9 1 x1 + 2 x2 + s2 = 9 x1 , x2, s1, s2 ≥ 0

새로운 용어 단위당 자원비용 RHS열(상수열)에서 주어진 해의 총합 단위당 생산비 변수의 단위당 이익 또는 비용의 순증감

Step1.

Step2.

Step3. l -1/3l →쌍대문제의 최적해

(0, 1) (1/3, 1/3) (1/2, 0) (1, 0) (1/2, 0 ) 쌍대문제 Min w = 9 y1 + 9 y2 2 y1 + 1 y2 ≥ 1 1 y1 + 2 y2 ≥ 1 y1 , y2 ≥ 0 최적해 y1 = y2 = 1/3 일때 목적함수 값 w =6

여유변수 추가 변환식 Big M 도입 이유 제약식 “ ” 이라서 등호를 바꾸기 위해 좌측 항에서 잉여변수를 뺌. 잉여변수(V)를 사용한 제약조건식이 등호로 변경될 경우, 기저변수가 없으므로 인위변수를 반드시 사용하여야 한다.

쌍대문제의심플렉스 Step1.

Step2.

Step3. l -3l →쌍대문제의 최적해

다음과 같은 표준형 선형계획모형을 살펴보자. 다음과 같은 표준형 선형계획모형을 살펴보자.

식 (8)을 이용하여 식 (6)의 의 계수를 0으로 만들어 보자. (8)과 (9)를 표로 나타내 보면 표준심플렉스표로 나타낼 수 있다.

표준 심플렉스표 목적함수에서 비기저변수의 계수값 목적함수의 값 비기저변수들에 대한 제약식계수 기저변수의 값

그림자가격은 해당 제약식에 대응하는 쌍대문제의 변수의 최적값 ’ ’ 그림자 가격! 최적목적함수 값을 b에 대해 편미분 (=i번째 제약식의 우측상수값인 bi가 한 단위 증가함에 따라 최적목적함수값이 증가하는 비율)

쌍대정리 1. 만약 와 가 각각 원문제(문제 1)와 쌍대문제(문제 2) 의 실현 가능해 라면, 이다. 쌍대정리

만약 와 가 각각 원문제와 쌍대문제의 실현가능해라면 • 성립 • 이므로, • 식 (7)과 식 (8)의 첫째식에 각각 및 를 전승하면, • 부등호의 방향이 변하지 않은 다음 식을 얻을 수 있다.

식 (9)와 식 (10)에 의해 다음 식이 성립한다. 따라서,

쌍대정리 2. 만약 와 가 각각 원문제(문제 1)와 쌍대문제(문제 2)의 실현가능해인 동시에 라면 는 원문제의 최적해이며 는 쌍대문제의 최적해이다. , 쌍대정리

원문제에서얻어진 임의의 실현가능해를x라 하자. [쌍대정리2]에 의하여 따라서 모든 에 대하여 즉, 는 원문제의 최적해

마찬가지 방법으로, 쌍대문제에서 얻어진 임의의 실현가능해를y라 하면 . 따라서 모든 에 대하여 , 즉 , 는 쌍대문제의 최적해가 된다.

쌍대정리 3. 원문제가 최적해를 가지면 쌍대문제도최적해를 가지며 두 문제의 목적함수의 값은 같다. 즉, 원문제와쌍대문제의최적해를 각각 및 라 하면 이다. 쌍대정리

계 량 분 석

계 량 분 석

Presentation Transcript