§3 计算机的算术运算

1. §3 计算机的算术运算 华东师范大学计算机科学技术系

2. §3 计算机的算术运算 3.1 数据与文字的表示方法 3.2 定点加法、减法运算 3.3 定点乘法运算 3.4 定点除法运算 3.5 浮点数加法 3.6 浮点数乘法 3.7 MIPS的浮点指令 3.8 实例：IA-32中的浮点部件 华东师范大学计算机科学技术系

3. §3 计算机的算术运算 3.1 数据与文字的表示方法 华东师范大学计算机科学技术系

4. 3.1 数据与文字的表示方法 一、数的表示 定点数（整数） 数值数据 浮点数 数据信息 字符 非数值数据 汉字 图形 等等 华东师范大学计算机科学技术系

5. 一、数的表示  数值数据表示的三要素： ·数的进位制 ·数的机器码表示 ·数据格式 华东师范大学计算机科学技术系

6. 一、数的表示 1.数的机器码表示（3.2节） 为了方便数的运算操作，在计算机中通常将数的符号位和数值位一起编码 为了区别一般书写表示的数和机器中这些编码表示的数，通常将前者称为真值，后者称为机器数或机器码 常用的机器码有： 原码、反码、补码、移码 华东师范大学计算机科学技术系

7. x=＋0.1001 [x]原=0.1001 [x]原=1.1001 x=－0.1001 1.数的机器码表示 （1）原码表示法 正数的原码符号位为0，数值位不变 负数的原码符号位为1，数值位不变 采用原码表示法简单，同习惯表示法，但加法运算复杂 例） 华东师范大学计算机科学技术系

8. x=＋0.1001 [x]反=0.1001 [x]反=1.0110 x=－0.1001 1.数的机器码表示 （2）反码表示法 • 正数的反码符号位为0，数值位不变 • 负数的反码符号位为1，数值位按位取反 例） 华东师范大学计算机科学技术系

9. x=＋0.1001 [x]补=0.1001 [x]补=1.0111 x=－0.1001 （3）补码表示法 • 正数的补码符号位为0，数值位不变 • 负数的补码符号位为1，数值位按位取反加1 例） 1.数的机器码表示 华东师范大学计算机科学技术系

10. 1.数的机器码表示 （4）移码表示法 移码通常用于表示浮点数的阶码 假设机器码是个n位的整数，定点整数移码的定义为： [X]移= 2n + X 2n X  -2n 移码符号位的表示规律与原码、 反码、补码相反 举例（假设机器码为6位，n=5） x=＋10101 [x]移=1,10101 [x]移=25+x=25-10101=0,01011 x=－10101 移码表示同补码表示的差别仅符号位不同 华东师范大学计算机科学技术系

11. 1.数的机器码表示 总结 ①由于补码表示对加减运算十分方便，因 此目前机器中广泛采用补码表示法 补码表示特点： · 补码“0”的表示是唯一的； · 补码表示的范围较原码、反码大 正数：原码=反码=补码 华东师范大学计算机科学技术系

12. 总结 ②有符号数比较指令：slt 无符号数比较指令：sltu P103例题：有符号数比较和无符号数比较 P104例题：用sltu进行两个条件的边界检 测 ③ 有符号数位数的扩展——符号扩展方法 16位→32位 正整数：机器码高位补“0”； 负整数：机器码高位补“1” 华东师范大学计算机科学技术系

13. 一、数的表示 2. 数据格式 计算机中选择数的表示方式需要考虑 的因素 ·要表示的数的类型 ·可能需要的数值表示范围 ·数值表示的精度 ·数据存储和处理所需要的硬件代价 华东师范大学计算机科学技术系

14. 2. 数据格式 计算机中常用的数据表示格式  定点格式 小数点位置固定 机器码位数一定时，数值表示范围有 限，但处理简单  浮点格式 小数点位置浮动 用相同机器码位数表示时，数值表示 范围较定点数大得多，但处理比较复杂 华东师范大学计算机科学技术系

15. 2. 数据格式 （1）定点数的表示方法  所谓定点格式，即约定机器中所有数 据的小数点位置是固定不变的 机器码表示中小数点不再占有数位， 即小数点是隐含的  通常将定点数表示成纯小数或纯整数 对于非纯小数需按比例转换后计算 定点数可以表示无符号数和有符号数 华东师范大学计算机科学技术系

16. x0 x1 x2… xn-1 xn （1）定点数的表示方法  定点小数 x0表示数的符号，其余为数值位 小数点隐含在x0和x1之间 表示范围为0≤∣x∣≤1－2－n 华东师范大学计算机科学技术系

17. x0 x1 x2… xn-1 xn （1）定点数的表示方法  定点整数 x0表示数的符号，其余为数值位 小数点位于最低位xn的右边 表示范围为0≤∣x∣≤2n－1 定点小数和定点整数机器码的表示形式相同，但本质不同，因为小数点隐含 华东师范大学计算机科学技术系

18. （1）定点数的表示方法 ·因为机器码数位有限，所以定点数表示的数值范围相对小。 ·定点运算实现简单 早期的计算机仅使用定点数进行运算， 现在的计算机均适用于多种数据类型。 ·目前计算机中，小数运算一般采用浮点运算；而纯整数一般采用定点表示，因此通常将定点数表示的运算简称为整数运算。 华东师范大学计算机科学技术系

19. 2. 数据格式 （2）浮点数的表示方法 P122 3.6.1 在科学计算中，有些参数用位数有限的 定点数无法表示： 例）阿伏加德罗（Avogadro’s)常数 6.02471023摩尔-1 普郎克(Planck’s)常量 6.625410-27 erg.s 非常大的整数 非常小的小数 • 引入浮点数表示 • 在位数有限的前提下，既扩大数值表 • 示的范围，又保持数的有效精度 华东师范大学计算机科学技术系

20. （2）浮点数的表示方法  表示 科学计数法 N＝M×RE M：尾数，是数值的有效数字部分， 用带符号的定点小数表示。 R：基数，计算机采用二进制，不必 表示 E：阶码，表示小数点的位置 用带符号的定点整数表示。 华东师范大学计算机科学技术系

21. ES E1 E2 … Em MS M1 M2 … Mn （2）浮点数的表示方法 • 浮点数的机器码表示 阶符 阶码 数符 尾数 ·浮点数的表示范围取决于阶码的位数； 精度则取决于尾数的位数； ·数N的正、负由尾数表示 华东师范大学计算机科学技术系

22. （2）浮点数的表示方法 • 浮点数表示法的优点 a) 数的表示范围比定点数大 例）设机器码为8位二进制数 （正数，1位符号位） 定点小数：0,0000000  0,1111111   0  1-2-7=127/128 华东师范大学计算机科学技术系

23. a) 数的表示范围比定点数大 显然，同样的数位，浮点数的表示范围要比定点数的表示范围大得多。 例）设机器码为8位二进制数（正数，1位符号位） 浮点数：取3位阶码，5位尾数（各取1位符号位， 阶码用原码表示） 2-11B  0.0001B  211B  0.1111B   111,00001  011,01111 机器码（原码）表示   0.0000001B  111.1B   2-7 =1/128 7.5 华东师范大学计算机科学技术系

24.  浮点数表示法的优点 b) 不易丢失有效数字，运算精度高 运算结果随时规格化 缺点： 控制电路复杂 华东师范大学计算机科学技术系

25. （2）浮点数的表示方法 • 浮点数规格化 浮点数： 0.011B211B = 0.0011B 2100B = 0.11B 210B • 目的： ·使浮点数表示标准化（机内表示唯一） ·充分利用尾数的有效数位，提高运算 精度 若尾数仅2位，哪一种表示精度高？ 华东师范大学计算机科学技术系

26.  浮点数规格化 • 规格化定义 尾数的最高数位M1必须是有效数字位 即：当尾数的值不为0时，其绝对值应  0.5 保证N值不变 ·规格化整理： 非规格化形式 规格化形式 移动尾数 改变阶码 最高数位与符号位相异（除-0.5） ·判别方法： 原码尾数 正、负数 M1=1 规格化 正数 M1=1 补码尾数 负数 M1=0 尾数左移一位，阶码减1 尾数右移一位，阶码加1 华东师范大学计算机科学技术系

27. （2）浮点数的表示方法 • 机器零 ·尾数为0，不论其阶码为何值； ·阶码的值负溢出时。 此时，把该浮点数看作零值， 称为机器零 尾数负 阶码正 尾数负 阶码负 尾数正 阶码负 尾数正 阶码正 华东师范大学计算机科学技术系

28. 31 30 23 22 0 短实数： M S E 32位 63 52 51 0 62 长实数： S E M 64位 79 64 63 0 78 临时实数： S E M 80位 （2）浮点数的表示方法 E：8位；M：23位 电气和电子工程师协会  浮点数的标准化 便于软件移值  标准化 广泛采用的标准是IEEE 754标准 E：11位；M：52位  IEEE 754标准浮点数的格式 E：15位；M：64位 移码表示随数值增大而增大，且机器零时阶码为零。该编码对两个指数大小的比较和对阶操作均比较方便。 S：浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数 M：尾数，定点小数表示，小数点在尾数域的最前面 采用原码表示法 E：阶码，用移码来表示 华东师范大学计算机科学技术系

29. MIPS中的浮点数表示方法采用IEEE 754标准的单精度格式和双精度格式  浮点数的标准化  短实数——单精度格式 数值： X=(-1)S  (1.M) 2E-127 •  长实数——双精度格式 • 数值： X=(-1)S  (1.M) 2E-1023 注意：由于阶码采用的是移码表示法，所以计算真值时必须进行调整，调整的值与阶码域的位数有关 •  临时实数——扩展格式 • 为计算过程中的中间值表示提供更高的 • 精度和更大的指数范围 华东师范大学计算机科学技术系

30.  浮点数的标准化 • 短实数： X=(-1)S  (1.M) 2E-127 · E： 8位 0  255 其中：0、255作为特殊值  实际为：1  254 所表示阶码真值为： e = E-127 阶码表示的范围为：2-126  2+127 ·阶码表示大致接近1038 ·而24位尾数所提供的精度 与7位十进制数相仿 华东师范大学计算机科学技术系

31.  短实数： X=(-1)S  (1.M) 2E-127 · M: 利用基数为2的规格化数中尾数的 第一位为1的特点，在尾数中设置 一个缺省的“1”，在精度上有效地 给出了一个额外位 · S：符号位，0为正数；1为负数 华东师范大学计算机科学技术系

32.  短实数： P124 图3-15 华东师范大学计算机科学技术系

33.  短实数： 非规格化： (-1)S  (0.M) 2E-126 引入非规格化数的目的是实现逐级下溢 特征：  阶码为0，e=-126，表示最小的数值；  尾数高位有一个或多个连续的0 所表示的数在机器零与最小规格化数 之间，提供了极小数的表示方法。 华东师范大学计算机科学技术系

34.  短实数： • 非规格化数的表示： 以十进制系统进行讨论，设一个系统的 最小规格化数为10-99,尾数为5位。 例1）计算：5.67834×10-97 – 5.67812×10-97 解：5.67834×10-97 – 5.67812×10-97 = 0.00022×10-97 = 2.2×10-101 = 0.02200×10-99 华东师范大学计算机科学技术系

35.  非规格化数的表示： 以十进制系统进行讨论，设一个系统的 最小规格化数为10-99,尾数为5位。 例2）计算：2.50000×10-60 ×3.50000×10-43 解： 2.50000×10-60 ×3.50000×10-43 = 8.75000×10-103 = 0.00088×10-99 例1、例2中：计算结果的阶码太小，以至于无法用规格化数表示时，则需对这个结果进行调整，直到阶码成为最小规格化数的指数为止，然后对该数进行舍入并存储。 华东师范大学计算机科学技术系

36.  非规格化数的表示： 以十进制系统进行讨论，设一个系统的 最小规格化数为10-99,尾数为5位。 例3）计算：2.50000×10-60 ×3.50000×10-60 解： 2.50000×10-60 ×3.50000×10-60 = 8.75000×10-120 = 0.00000×10-99 = 0 例3的计算结果太小，以至于非规格化数也无法表示时，则将其归零。 华东师范大学计算机科学技术系

37.  短实数： 例4）将十进制数20.59375表示成IEEE 754 单精度标准代码 解： 分别将整数和小数部分转换成二进制数 (20.59375)10=10100.10011B  规格化表示 10100.10011B=1.010010011B×24  IEEE754标准表示： (-1)S  (1.M) 2E-127 于是可以得到： S=0，E=e+127=131=10000011B，M=010010011…  最后得到32位浮点数的二进制存储格式： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 =(41A4C000)16 华东师范大学计算机科学技术系

38.  短实数： 例5）将如下IEEE 754单精度标准代码用十 进制数表示。 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000 解： 符号位：S=1； 阶码：E=129； 尾数：M=0.25  代入： (-1)S  (1.M) 2E-127 = (-1)1  (1.25) 2129-127 = -1  1.25  22 = -1.25  4 = -5.0 华东师范大学计算机科学技术系

39. 一、数的表示 3. 十进制数串的表示方法 计算机处理十进制数：  表示：以二进制代码表示十进制数；  存储：在存储器中的存放形式。 华东师范大学计算机科学技术系

40. 3. 十进制数串的表示方法 • 压缩的十进制数串形式： 一个字节存放两个十进制的数位，既节省存储空 间又便于直接完成十进制数的算术运算 • · 符号位从BCD码的六种冗余状态中选择， • 如用“12(C)”表示正号；“13(D)”表示负号。 • ·数位加符号位之和不足部分在最高数字位之前 • 补0。 字符串形式（非压缩十进制）： 一个字节存放一个十进制的数位（BCD码）或 符号位，主要用于非数值计算的应用领域 华东师范大学计算机科学技术系

41. 3. 十进制数串的表示方法 自定义数据表示：  传统型由指令区分数据类型  自定义数据由数据本身说明数据类型 · 标志符数据表示 · 描述符数据表示 区别： · 标志符与数据一起存储；描述符与数据 分开存放； · 描述符表示，至少增加一次访存； · 描述符是程序的一部分。 华东师范大学计算机科学技术系

42. 2.1 数据与文字的表示方法 二、非数值数据的表示方法 1. 字符和字符串的表示方法 ASCII(American Standard Code for Information Interchange) (美国国家信息交换标准字符码)  EDCDIC编码 由IBM公司提出的另一种扩充型字符编码 使用8位二进制编码，可表示256种字符 增加了图形符号表示 华东师范大学计算机科学技术系

43. 二、非数值数据的表示方法 2. 汉字的表示方法  汉字特点 ① 象形文字，种类多：5万左右，常用7千左右 ②字型结构复杂： 偏旁部首上百种 ③ 重音字多： 一个字音代表不同的字型和字义 ④ 多音字多： 一个字有几种发音，并表示不同字义  汉字处理过程 ·汉字输入码：汉字 → 二进制编码 ·汉字内码： 计算机内部处理使用的编码 ·汉字交换码：汉字处理系统间交换信息用的编码 ·汉字字模码：打印、显示的输出编码 华东师范大学计算机科学技术系

44. 2. 汉字的表示方法  问题：利用西文标准键盘  设计思想：利用字母、数字、符号的编码组合生成 汉字信息 （1）汉字输入码  目的：将汉字转换成0、1表示的编码送计算机存储  编码方案的衡量指标：·规则简单易记——易掌握 ·编码量大——覆盖面广 ·重码率小——减少击键数 ·码位短——平均击键数少 输入速度快 华东师范大学计算机科学技术系

45. （1）汉字输入码 国标区位码：信息交换用汉字编码字符集GB2312-1980 (国标码) 由国家标准总局1980年制定 选用6763个常用汉字组成两级字库，每个汉字用16位 二进制编码唯一标识。 为了表示更多汉字，并和其他国家文字有一统一标 准，1993年推出GB13000-1993标准，每个汉字用32 位二进制编码唯一标识，共表示了20902个汉字。 2000年又起用新标准GB18030-2000，共表示了 27484个汉字。  当前采用的汉字输入编码方法： ·数字编码：用数字串代表一个汉字输入 如国标区位码，按区（行）、位（列）排列二 维数组表，将所有汉字分为94个区，每个汉字 有一个区码和位码，输入汉字时，需要输入对 应的区码和位码 优点：编码唯一性好，编码长度固定 缺点：不易掌握 例）“中”字位于第54区48位，区位码为：5448H 华东师范大学计算机科学技术系

46.  当前采用的汉字输入编码方法： ·拼音码：以汉语拼音为基础的输入方法 如全拼、双拼、智能ABC、紫光等 优点：易掌握 缺点：重码多，需二次输入 码位长 ·字形编码：用汉字的形状来进行的编码 如五笔字型输入法 优点：重码较少 缺点：不易掌握 ·各种编码方案的实现，均需相应的软、硬件支持 ·可采用词组、联想输入，以提高输入速度 ·多媒体计算机可看“字”、听“话” ·混合码：结合各类编码方案的优点，进行组合 华东师范大学计算机科学技术系

47. 2. 汉字的表示方法 • 两字节表示： 西文——ASCII码，最高位为0 汉字——每个字节的最高位为1 优点：与西文信息处理有较好的兼容性，转换容易 例） “啊”字的国标码为3021H，则内码为B0A1H （2）汉字内码 汉字在计算机内部进行存储、运算的信息代码 • 三字节表示：最高位可用于奇偶校验 专用一字节标识汉字 讨论GB2312-80标准 华东师范大学计算机科学技术系

48. 2. 汉字的表示方法 （3）汉字交换码 汉字在计算机系统中进行传输，或各汉字处理 系统交换信息，需采用统一的信息编码格式 通常采用国标码 华东师范大学计算机科学技术系

49. 2. 汉字的表示方法 •  点阵表示法：将汉字划分为各个小区域，以点阵 • 表示 （P31图2.1） • 64×64：可区别仿宋体和黑体 ；96×96：可表示笔锋和曲线 • 汉字库是指所有汉字的字模点阵，每一种字体都 • 有独立的汉字库 • 内码 输出显示或打印 （3）汉字字模码 字模码是汉字的输出形式，用于汉字的显示和打印  原体字型码：文字质量高 但输出机构复杂，速度慢 检索字库 华东师范大学计算机科学技术系

50. （3）汉字字模码  矢量表示法： 抽取每个笔划的特征坐标值，组成字型的 矢量信息 质量高，可方便地进行平滑旋转、缩放等 变换 华东师范大学计算机科学技术系