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第 3 章 概率论基础

第 3 章 概率论基础. 胡良剑 东华大学理学院 Ljhu@dhu.edu.cn 第 2 学院楼 543. 内容提要. 3.2 样本空间和事件 3.3 文图和事件的代数表示 3.4 概率论公理 3.5 等可能样本空间 3.6 条件概率 3.7 贝叶斯公式 3.8 独立性. 3.2 样本空间和事件. 样本空间 ：一个随机试验所有可能结果的集合被称为该试验的样本空间，用 S 来表示。 随机事件 ：样本空间的任一子集 E 被称作事件。也就是说，事件是由实验可能结果构成的一个集合。如果实验结果包含在 E 中，我们就说事件 E 发生了。

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第 3 章 概率论基础

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Presentation Transcript

  1. 第3章 概率论基础 胡良剑 东华大学理学院 Ljhu@dhu.edu.cn 第2学院楼543

  2. 内容提要 3.2 样本空间和事件 3.3 文图和事件的代数表示 3.4 概率论公理 3.5 等可能样本空间 3.6 条件概率 3.7 贝叶斯公式 3.8 独立性

  3. 3.2 样本空间和事件 • 样本空间：一个随机试验所有可能结果的集合被称为该试验的样本空间，用S来表示。 • 随机事件：样本空间的任一子集E被称作事件。也就是说，事件是由实验可能结果构成的一个集合。如果实验结果包含在E中，我们就说事件E发生了。 • 基本事件： S的每个元素（或单点集）。

  4. 3.2 样本空间和事件 • 例3.2.2(修改了) 如果实验是由确定编号1, 2, 3, 4的四匹马的比赛结果构成，那么样本空间S包含了(1,2,3,4)的所有全排列. 即 S={1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321} • E={3号马赢}={3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421}是一个随机事件。

  5. 3.2 样本空间和事件 • 事件的并EF：事件E或事件F发生。 • 事件的交EF：事件E和事件F都发生。 • 事件的补Ｅc：事件E不发生。 • 事件的包含EF：若E发生，则F必发生。 • 性质： • 交换律 • 结合律 • 分配率

  6. 3.3文(Venn)图和事件的代数表示

  7. 3.3文图和事件的代数表示

  8. 3.3文图和事件的代数表示

  9. 3.3文图和事件的代数表示 • 德·摩根律

  10. 3.4 概率论公理 • 集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下列三条公理 • 对于任何的互不相交事件序列 (也就是说, )

  11. 3.4 概率论公理 • 命题3.4.1 证明： • 命题3.4.2 证明：

  12. 3.4 概率论公理 • 总共有28%的美国男性吸卷烟，7%抽雪茄，两者都吸的有5%。请问既不吸卷烟也不抽雪茄的男性比例是多少？ 解：两种不同的方法。 • 事件A的赔率(odds)：

  13. 3.4 概率论公理 • 例：P54习题9 • 例：P54习题14

  14. 习题 • ex2, ex4, ex12, ex13,

  15. 3.5 等可能样本空间 • 等可能概型：样本空间中的每一个基本事件发生的可能性相同。 • 等可能概型的概率（古典概率）公式： 其中N(E)表示事件E中的点（基本事件）数，N(S)表示所有可能的基本事件数。

  16. 3.5 等可能样本空间 • 分类加法计数原理 ：完成一件事有几类办法（各类办法不相交），每类办法中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同办法中方法数的总和。 • 例：网上预订行程，从郑州到上海乘火车有7 种不同选择，乘飞机有5种不同选择，从郑州(乘火车或乘飞机)到上海共有7+5=12种不同的选择。

  17. 3.5 等可能样本空间 • 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法数的乘积。 • 例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不同选择，从上海到香港共有4种不同的选择，那么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的选择。

  18. 3.5 等可能样本空间 • 例3.5.1 一个碗里有6个白球，5个黑球。现在随机从碗里拿出两个球，则一个是白球一个是黑球的概率有多大？两个白球呢？

  19. 3.5 等可能样本空间 • 排列：从n个不同元素中取r个(不重复)，考虑先后顺序共有n (n-1)  ….  (n-r+1)种不同结果。 • 全排列： n个不同元素排成一列，共有n!= n (n-1)  ….  2 1种不同结果。 • 重复排列：从n个不同元素中取r个(可重复)，考虑先后顺序共有nr=nn …. n种不同结果。

  20. 3.5 等可能样本空间 • 例3.5.2 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本语言书。琼斯想把同一种类的书放在一起，共有几种不同的可能结果？如果是随意放置，恰好同一种类的书放在一起的概率多大？

  21. 3.5 等可能样本空间 • 例3.5.3 概率论课程上有6个男生，4个女生。对学生进行考试，按照成绩排名。假定没有两个学生的成绩是一样的， (a)共有多少种排名可能？ (b)假设每一种排名情况都是等可能的，女生排前四名的概率是多大？

  22. 3.5 等可能样本空间 • 组合：从n个不同元素中取r个，不考虑先后顺序共有 种不同情况。或者说，从n个元素中选择r个组成一组，共有不同的组合数

  23. 3.5 等可能样本空间 • 例3.5.4 要从6个男性9个女性中选择5人组成委员会。如果随机选取，那么委员会中有3个男性2个女性的概率是多大？

  24. 3.5 等可能样本空间 • 例3.5.6 一个篮球队有6个黑人和6个白人队员。现在要对这些队员两两配对分组进而分配宿舍。如果配对是随机的，那么没有黑人和白人同组的概率是多少？ • 解法一：宿舍是无编号的， • 解法二：宿舍是有编号的，

  25. 3.5 等可能样本空间 • 如果一个房间里有n个人，没有两个人的生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小于0.5，需要多少人？

  26. 习题 • P53 ex18, ex20

  27. 3.6 条件概率 • 引例： （1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之和为8概率多大？ （2）如果已知第一个骰子最终朝上的数字为3，那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？

  28. 3.6 条件概率 • 引例： (1)样本空间: 点数之和为8: 概率 (2)缩减的样本空间: 点数之和为8（缩减的事件）: 条件概率 • 注意：

  29. 3.6 条件概率 • 定义：当P(F)>0, F发生的条件下E发生的条件概率为

  30. 3.6 条件概率 • 例3.6.2 琼斯工作的机构正在筹备一场亲子(父子)晚宴，参与者是至少有一个儿子的雇员。每一个满足条件的雇员都被邀请携他们年龄最小的儿子参加晚宴。琼斯有两个孩子，在琼斯被邀参加晚宴的前提下，他的两个孩子都是男孩的条件概率是多少？

  31. 3.6 条件概率 • 乘法公式： • 例3.6.3 佩雷斯女士所在的公司有30%的可能在凤凰城设立分公司。如果这个分公司设立，那么她有60%的把握成为这个新公司的经理。那么佩雷斯女士将会成为凤凰城新公司经理的概率为多少？

  32. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 • 全概率公式：如果直接计算事件E的概率较困难，可以间接利用条件事件F: 分别在事件F发生或不发生两种条件下计算条件概率，然后再加权平均。

  33. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 • Bayes公式(逆概率公式)： • 注意区分： • 求结果发生的(无条件)概率, 用全概率公式； • 已知结果，求原因的条件概率，用Bayes公式。

  34. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 • 例3.7.1 一个保险公司把投保的人群分为了两类——事故敏感型和非事故敏感型。保险公司的数据显示事故敏感型人群一年内发生事故的概率为0.4，而这个数据对于非事故敏感型人群减少至0.2。假设30%的人群为事故敏感型人群，那么一个新的投保人在购买保险的这一年中发生事故的概率是多少？ • 例3.7.2 （续上例）假设新的投保人在投保的这一年中已经发生过了一次事故, 那么这个人属于事故敏感型人群的概率是多少？

  35. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 敏感型(F) 0.4 0.3 发生事故(E) 投保人 0.7 0.2 非敏感型(Fc) 全概率公式 P(E)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26 Bayes公式 P(F|E) = P(EF)/P(E) =0.3×0.4 / 0.26=0.4615

  36. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 • 例3.7.4一个实验室提出了一种99%有效的血液测试来检测某种疾病。但是，对健康人来说这个测试也有1%的可能会产生``假阳性”. 如果人群中有0.5%患病，则在一个人的测试结果是阳性的条件下他患病的概率是？如果这个测试是在的高危人群（50%患病 ）中测试的呢？

  37. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 • 推广的全概率公式：假设F1，F2，…，Fn是互斥(不相交)的事件，且 那么 • 推广的Bayes公式：

  38. 3.7 贝叶斯(Bayes)公式 • 例3.7.7 一架飞机失踪了，据推测，他有相同的概率着落在三个可能的地点。令1-i表示飞机着落在第i个地区条件下在第i个地区被找到的概率，i =1, 2, 3。已知对地区1的搜寻是失败的，飞机落在地区1的概率是多少？

  39. 习题 • P56 ex26,ex29, ex33, ex35

  40. 3.8 独立事件 • 定义：若 则称E与F相互独立。 • 性质1：若P(E)>0, P(F)>0, 有 • 性质2：如果E与F独立，则E与Fc也独立。

  41. 3.8 独立事件 • 例3.8.8 抛掷两颗均匀骰子。让E7表示事件：骰子的总和是7。用F表示第一颗骰子等于4，用T表示第二颗骰子等于3。可以证明：E7独立于F，E7也独立于T，但E7不独立于FT。

  42. 3.8 独立事件 • 定义(三个事件的独立性) 称三个事件E, F, G相互独立，如果 • 定义(n个事件的独立性) 称事件E1，E2,…，En独立，若对{1, 2, …, n}的任意子集{1’,2’,…r’},

  43. 3.8 独立事件 • 例3.8.4 一个由独立的n个组件组成的系统被称为并联系统，如果在至少有一个组件正常工作的时候系统能正常工作。对这个系统，若组件i能正常工作的概率为pi，且独立于其他组件，系统能正常工作的概率是多少？

  44. 3.8 独立事件 • 例3.8.5 一套优惠券组合共含有k张券，每张券独立地取第j种优惠的概率为pj，且 。已知这套优惠券包含第i种优惠，求它也含第j种优惠的概率，ij。

  45. 习题 • P57 ex37(a)(b), ex47

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