等差数列的前 n 项和

等差数列的前n项和 授课教师：张晓芳

学习要求: • 1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． • 2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

尝试检查 • 1、a1、a50、an、S1、S100、Sn各表示什么意思？ • 2 、求下列各式的和 • ( 1 ) 1 + 2 + 3 + … + 20 = ____; • （２）１+３+５+… + 1５ = ____； • （３）２+４+６+… + 20 = ____； • （４）１+２+３+ …+ n = ________。 • （5﹚在等差数列﹛an﹜中，若a1=-24,a50=96, 则S50 = ____；若a1=10,d=2, 则S100 = ______。 210 64 110 n(1+n)/2 1800 10900

课题引入 • 1+2+3+…+100=? • 因为1+100=101；2+99=101；3+98=101; …… • 50+51=101，共有100/2=50组，所以其和为101×50=5050.

问题探究 观察钢管堆放示意图，第1层钢管数为1；最后一层钢管数为100；你准备怎么求这堆钢管的数量？

算法研讨 设 S100 =1 + 2 + 3+…+100 S100=100+99+98+…+ 1 两式相加，得2S100=（1+100）×100 则 S100=（1+100）×100/2 即S100=1+2+3+…+100=(1+100) ×100/2 • 思考：Sn=1+2+3+…+n=? • Sn=1+2+3+…+n=(1+n)n/2

公式的推导 • 从上面的算法中，同学们发现了什么规律？ • 与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和。 • 对于一般的等差数列﹛an﹜a1,a2,a3, …,an.前n项的和Sn=a1+a2 +a3+…+an=? • 猜想：等差数列的前n项和公式Sn=？ Sn=(a1+an)n/2 思考：此公式是否还有另外的表示形式？

等差数列前n项和公式的表示形式 • Sn =(a1+an)n/2 ﹙1﹚ • Sn=na1+n(n-1)d/2 ﹙2﹚ 由an=a1+(n-1)d代入上式即得

知识拓展（一） 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔? 解：依题意可知，a1=1,an=120, n=120;由公式（１）可得Sn=(1+120) ×120/2 =7260答：这个V形架上共放着7260支铅笔 … … … … … … … … … … … …

知识拓展（二） • 一个剧场设置了20排座位，第一排38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？ • 解：由题意知n=20,a1=38,d=2 所以S20=na1+n (n-1)d/2 • =20×38+20× (20-1) ×2/2 • =1140 • 答：这个剧场一共设置了１１４０个座位。

当堂训练 • 根据等差数列的下列条件，求相应的未知量： • （1）已知a1=4，a8=18,求S8； • （2）已知a1=3,d=2,求S10； • （3）已知a1=14,d=7,an=42，求Sn。 (88) (120) (140)

归纳总结 • 1、等差数列的前n项和公式 • Sn =(a1+an)n/2; Sn=na1+n(n-1)d/2 • （1）已知，n,a1,an用公式（1），已知a1,n,d用公式（2）。 • （2）公式(1)揭示了等差数列的性质，即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… • (3)学会公式的简单应用：知三求一． • 2、求等差数列的前n项和的思路和方法： • （1）倒序相加法（2）化归法

课后拓展 • （必做题）P183第2题、第3题，第5题 • （思考题）假如你用分期付款的方式购买了一套售价为30万元的住房，首期付款12万元，余款按月归还一次，在10年内还清，欠款以月息1%计算利息，，并平均加到每月还款额上，估算一下你每月需付多少购房款？最终需多付多少钱？

格言警句 • 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。. • ————克莱因.

谢谢观看 • 再见

拓展提高 • 等差数列-10，-6，-2，2，…，前多少项的和是54？ • 解：已知：a1=-10,d=-6-（-10）=4，Sn=54. • 即：54=-10n+n(n-1) ×4/2 所以 n=9，n=-3(舍去) • 答：略

等差数列的前 n 项和

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