План лекции.

1. План лекции. Метод наименьших квадратов. Дифференциальные уравнения.

2. 1. Метод наименьших квадратов. В естествознании, в частности в физических и биологических науках, основным методом исследования являются наблюдения, опыты эксперименты. В связи с этим возникает необходимость в нахождении эмпирических формул, составленных на основании опыта и наблюдения. Одним из лучших методов получения таких формул является метод наименьших квадратов, который является эффективным приложением теории экстремумов функции нескольких переменных.

3. Итак, пусть дана таблица измерений в некотором опыте, связывающая переменные величины X и Y . и Значения будем считать также, как декартовые координаты точек на координатной плоскости XOY . Требуется найти аналитическую зависимость , , наилучшим образом отображающую опытную зависимость. Выберем “подходящую” функцию , где а,b… - параметры, так, чтобы соответствующие кривые для различных a, b, … проходили вблизи точек из опыта . Найдём такой единственный набор значений параметров, чтобы соответствующая кривая распола- галась ближе всех других к точкам из опыта , т.е. чтобы ошибки выбора формулы - отклонения значений Yi из опыта

4. от соответствующих значений из Формулы были наименьшими по абсолютной величине. Для этого составляется сумма , где суммируются квадраты указанных ошибок выбора формулы. Тогда ошибки выбора будет наименьшими (по абсолютной величине), если наименьшей будет сумма S . Следовательно, нужно решить задачу на экстремум функции S (a, b, …): найти минимум функции нескольких переменных a, b, … .

5. (*) Согласно необходимому условию экстремума должна выполнятся следующая система : Решение этой системы даст те значения параметров a, b, … , при которых функция будет наилучшей. (Можно доказать, что необходимое условие экстремума при решении таких задач будет и достаточным).

6. Найти подходящую эмпирическую формулу Пример. Дана таблица измерений. Нанесем на координатную плоскость XOY точки из опыта: y 6 3 2 1 1 3 5 7 x Все точки лежат вблизи некоторой прямой.

7. Найдем наилучшую из таких прямых, т.е. найдем линейную зависимость , наиболее точно описывающую опытную зависимость. Для такой зависимости система (*) имеет вид: В нашем случае n=4 и система(**) перепишется : (**) (***)

8. Для решения этой системы составим следующую расширенную таблицу и заполним пустые клетки: Найденные суммы подставляем в систему (***):

9. Найденные значения коэффициентов а и b подставляем в уравнение линейной функции: По двум точкам строим эту прямую на координатной плоскости , данной выше:

10. y -точки из опыта 6 -точки для построения прямой -прямая 3 2 1 -1 4 5 7 1 x -1 Нетрудно видеть, что ошибки выбора формулы достаточно малы (могут быть порядка ошибок измерения).

11. 2. Дифференциальные уравнения. Рассмотрим физическую задачу: найти закон прямолинейного движения, при котором в каждый момент времени путь в 2 раза больше скорости движения. Путь S(f) – путь, пройденный к моменту t V(f)- скорость движения , тогда S=2S’ Решение этого дифференциального уравнения, в которое входит производная, дает искомый закон движения S(t).

12. Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются обыкновенным дифференциальным уравнением. * Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. -первого порядка -второго порядка -третьего порядка и т.д.

13. *Решением дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению. Нахождение этого решения называется интегрированием дифференциального уравнения. *Если решение уравнения получено в неявном виде , то оно называется интегралом уравнения. *Задача Коши. Задача Коши для уравнения ставится таким образом: среди всех решений уравнения (1) (1)

14. найти решение , удовлетворяющее системе следующих условий: (2) , где - заданные числа Эти условия (2) называются начальными условиями, а соответствующее решение y=y(x) - частным решением уравнения (1).

15. зависящее от n произвольных постоянных *Общее решение уравнения (1)- это решение в виде Частные решения уравнения (1) также могут быть получены из общего решения при некоторых числовых значениях констант Пример. 1.Показать что функция есть решение уравнения Найдем y’’:

16. т.е. функция является решением исходного дифференциального уравнения. 2.Общий интеграл дифференциального уравнения Подставляем y’’ и y в уравнение: имеет вид , (с – const) (*) Найти его частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию Найдем значение С, соответствующее искомому частному интегралу, подставив в общий интеграл (*) заданные начальные условия. У нас , тогда

17. Это и есть искомый частный интеграл. Подставляем найденное С в (*): 1.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Такие уравнения имеют вид: Характерной чертой этих уравнений является то, что множители, стоящие перед dx и dy , зависят только от одной переменной.

18. Для решения уравнения разделим переменные x и y по своим слагаемым , для чего поделим обе части уравнения на произведение Переменные разделены. Общий интеграл получим почленным интегрированием левой и правой частей уравнения: