§9.1 二重积分的概念与性质

1. §9.1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质

2. 设一立体的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积

3. 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积 • 将分割加细 取极限 求得曲顶柱体体积的精确值 • 用曲线网把D分成小区域 • 12n • 用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积Vi • Vf(ii)i • 用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积 si (xi,hi) 提示相应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体. 提示 其中l为各小区域直径的最大值.

4. 一、二重积分的概念 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续

5. 用曲线网把D分成小区域 • 12n 一、二重积分的概念 2平面薄片的质量 • 将分割加细 取极限 得到平面薄片质量的精确值 • 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 • r(xi, hi)si si • 把各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 (xi,hi) 提示 其中l为各小区域直径的最大值.

6. 二重积分的定义 设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 12n 其中i表示第i个小闭区域 也表示它的面积 在每个小闭区域i上任取一点(ii)作和 设为各小闭区域的直径中的最大值 如果当0时这和式的极限总存在 则称此极限为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分 记为

7. ——积分和 • 二重积分的定义 • 积分中各部分的名称 ———积分号 f(xy)——被积函数 f(xy)d—被积表达式 d ———面积元素 xy ———积分变量 D————积分区域

8. 二重积分的定义 • 直角坐标系中的二重积分 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 提示 在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 则除边界上的小区域外, 内部小区域都是矩形区域. 设矩形区域si的边长为xi和yi, 则sixiyi. 因此在直角坐标系中, 面积元素ds记作dxdy.

9. 二重积分的定义 • 直角坐标系中的二重积分 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 说明 二重积分的存在性 当f(xy)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数f(xy)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续 所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的

10. 二重积分的定义 • 直角坐标系中的二重积分 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. • 二重积分的几何意义 如果f(xy)0则二重积分在几何上表示以闭区域D为底 以曲面zf(xy)为顶的曲顶柱体的体积 如果f(xy)0则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积 但二重积分的值是负的

11. 性质1 设c1、c2为常数 则 • 性质2如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2则 二、二重积分的性质

12. 性质2如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2则 二、二重积分的性质 • 性质1 设c1、c2为常数 则 注 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和

13. 性质2如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2则 • 性质3 二、二重积分的性质 • 性质1 设c1、c2为常数 则

14. 性质4如果在D上f(xy)g(xy)则有不等式 特殊地有 • 性质5设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小 值为D的面积 则有 • 性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连 续 为D的面积 则在D上至少存在一点()使得