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《 食物链 》 解题报告

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leila-johnson
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《 食物链 》 解题报告

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  1. 《食物链》解题报告 00130004 杭杰

  2. 问题描述 • 三类动物A、B、C,A吃B,B吃C,C吃A。 • 给出K句话来描述N个动物(各属于A、B、C三类之一)之间的关系,格式及意义如下: • 1 X Y:表示X与Y是同类; • 2 X Y:表示X吃Y。 • K句话中有真话有假话,当一句话满足下列三条之一时,这句话就是假话,否则就是真话。 1) 当前的话与前面的某些真的话冲突,就是假话; 2) 当前的话中X或Y比N大,就是假话; 3) 当前的话表示X吃X,就是假话。 • 求假话的总数。

  3. 问题描述(2) • 输入: • 第一行是两个整数N和K,以一个空格分隔。 以下K行每行是三个正整数 D,X,Y,两数之间用一个空格隔开,其中D表示说法的种类。 若D=1,则表示X和Y是同类。 若D=2,则表示X吃Y。 • 输出: • 只有一个整数,表示假话的数目。 • 约束条件: • 1 <= N <= 50000,0 <= K <= 100000。

  4. 结果计数器加一 将当前输入加入已知关系集 进行简单判定 进行逻辑判定 初步分析 • 这一题的基本思路是对每句话判断真假,进行统计,最后输出统计结果。 • 根据假话的条件2和条件3,我们可以判定一些假话(简单判定),其他的需要根据这句话与前面的话的关系来判定(逻辑判定)。 • 对一句话的判定流程如下:

  5. 算法一 • 此题的算法设计重点在于 逻辑判定和关系添加部分。 • 一个容易想到的思路: • 用二维数组s存放已知关系: • S[X][Y] = -1:表示X与Y关系未知; • S[X][Y] = 0:表示X与Y是同类; • S[X][Y] = 1:表示X吃Y; • S[X][Y] = 2:表示Y吃X。 • 对每个读入的关系s(x,y),检查S[x][y]: • 若S[x][y]=s,则继续处理下一条; • 若S[x][y] = -1,则令S[x][y]=s,并更新S[x][i]、S[i][x]、S[y][i]和S[i][y] (0<=i<=n)。 • 若S[x][y] != s且S[x][y] != -1,计数器加1。

  6. 算法一(2) • 复杂度: • 以上算法需要存储一个N×N的数组,空间复杂度为O(N2)。 • 对每一条语句 • 进行关系判定时间为O(1) • 加入关系时间为O(N) • 总的时间复杂度为O(N*K) • 0<=N<=50000,0<=K<=100000,复杂度太高。

  7. 进一步分析 • 对于任意a≠b,a、b属于题中N个动物的集合S,当且仅当S中存在一个有限序列(P1, P2, …, Pm)(m≥0)使得aP1、P1P2、…、Pm-1Pm、Pmb(或m=0时的ab)之间的相对关系均已确定时,b对a的相对关系才可以确定。 • 由上面可知,我们不需要保留每对个体之间的关系,只需要为每对已知关系的个体保留一条路径aP1P2…Pmb(m≥0)其中aP1、P1P2、…、 Pm-1Pm、Pmb之间的关系均为已知。

  8. 解决方案 • 使用树结构!!!

  9. 算法二 • 用结点表示每个动物,边表示动物之间的关系。采用父结点表示法,在每个结点中存储该结点与父结点之间的关系。 • 结点的数据结构: Struct node { int relation; struct node *parent; };

  10. 算法二(2) • 初始状态下,每个结点单独构成一棵树。 • 逻辑判断: • 分别找到两个结点a、b所在树的根结点ra、rb,并在此过程中计算a与ra、b与rb之间的相对关系。 • 若ra!=rb,此句为真话,将a、b之间的关系加入; • 若ra=rb,则可计算出r(a,b)=f( r(a,ra) , r(b,rb) ) • 若读入的关系与r(a,b)矛盾,则此句为假话,计数器加1; • 若读入的关系与r(a,b)一致,则此句为真话。

  11. 算法二(3) • 加入关系: • 只需要加入不在同一棵树上的两个结点之间的关系。 • 加入关系的过程就是将两棵树合并,使一棵树成为另一棵树的子树。 • 为了减小树的深度,将深度较小的一棵树的父指针指向另一棵树的根结点。

  12. 复杂度 • 逻辑判定的时间取决于树的深度,树的平均深度为O(Log(N))。 • 在逻辑判定时得到两棵树的根,并分别算出两个结点与其根结点之间的关系的基础上,添加关系只需要算出两棵树的根结点之间的关系,并修改其中一个根结点的relation域和父指针,时间复杂度为O(1)。 • 总的时间复杂度为K*Log(N)。 • 只需要为每个结点保存一个结构体,空间复杂度为O(N)。

  13. 算法优化 • 在逻辑判定过程中,我们需要遍历两个结点到根结点之间的路径,如果把被访问的结点记录下来,将它的父指针指向根结点,同时更新它与父结点的关系,则可以减少下次对这条路径上的结点及其子结点的访问时间。 • 实现:用一个指针数组按序存放该路径上的所有结点的地址,在找到根结点后,再将这些点的父指针指向根结点,并根据相邻结点与根结点的关系更新该结点与根结点之间的关系。

  14. 总结 • 根据题目的特点和复杂度要求,选择适当的数据结构,特别注意树结构的应用。 • 在树结构的应用中注意路径压缩,以减小深度,避免退化成线性结构。