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Mathematics Appreciation. 数学欣赏. 主讲:张文俊. 第五章 数学之奇. 自言自语. 数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹,正是因为这一点,数学才有无穷的魅力。. 第一节 实数系统. [email protected] 实数集. 有理数集. 实数系统. In This Section. 一家人. 数系扩 充概述. 连续统 假设. Hilbert 的旅馆. 德国著名数学家大卫 • 希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里,希尔伯特成为一个旅馆的老板,这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆,它设有无穷多个房间。

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Presentation Transcript

Mathematics Appreciation

数学欣赏

主讲:张文俊


第五章数学之奇


自言自语

数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹,正是因为这一点,数学才有无穷的魅力。



实数集

有理数集

实数系统

In This Section

一家人

数系扩

充概述

连续统

假设

[email protected]


Hilbert 的旅馆

德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里,希尔伯特成为一个旅馆的老板,这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆,它设有无穷多个房间。

一天,该旅馆所有的客房已满。这时,又来了一位客人坚持要住下来。……


1

数系扩充概述


1. 实数系扩充历史

  • 自然数是“数”出来的,其历史最早可以追溯到五万年前。


1. 实数系扩充历史

  • 分数(有理数)是“分”出来的,早在古希腊时期,人类已经对有理数有了非常清楚的认识,而且他们认为有理数就是所有的数。


1. 实数系扩充历史

  • 无理数是“推”出来的,公元前六世纪,古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理,发现了“无理数”。

毕达哥拉斯(约公元前560——480年)


1. 实数系扩充历史

“无理数”的承认(公元前4世纪)是数学发展史上的一个里程碑。


1. 实数系扩充历史

  • 负数是“欠”出来的,它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽(公元250年前后)首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。

刘徽(公元250年前后)


正数与负数,

有理数与无理数,

都是具有“实际意义的量”,

称之为“实数”,构成实数系统。

实数系统是一个没有缝隙的连续系统,

任何一条线段的长度都是

一个实数。

2. 复数系的产生与发展


2. 复数系的产生与发展

  • 复数是“算”出来的。

    复数最初是在解二次方程中出现的, 1484年,法国数学家舒开(Chuquet,1445--1500)在其《算数三篇》中,解方程式 4+x2=3x,得根

    x=3/2±√(9/4-4),

    他声明这个根是不可能的。


2. 复数系的产生与发展

意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建立起到重要作用。

卡达诺(Cardano,1501--1576)


2. 复数系的产生与发展

1545年,卡达诺在《大衍术》中写到:“要把10分成两部分,使二者乘积为40,这是不可能的,不过我却用下列方式解决了。”


2. 复数系的产生与发展

1637年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” (“想象中(imaginary)的数”)。

笛卡尔(R.Descartes,1596--1661)


2. 复数系的产生与发展

1777年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i” 表示√(-1),称为虚数单位。

欧拉(L.Euler,1707~1783)


2. 复数系的产生与发展

在此之前的1748年,欧拉给出了著名公式

eix = cosx + i sinx

发现了复数与三角函数的关系。


2. 复数系的产生与发展

1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示;1831年,他用数对来代表复数平面上的点:(a,b)代表 a+bi。

高斯(Carl Friedrich Gauss,1777—1855)


y

O

x

2. 复数系的产生与发展

(a,b) ~a+bi

b

a


2. 复数系的产生与发展

  • 18世纪后期,随着复数与三角函数关系的揭示,复数的平面坐标的表达等,复数的意义逐渐被明确;

  • 19世纪上半叶,复变函数理论建立并得到广泛应用。


2. 复数系的产生与发展

1873年,我国数学家华衡芳(1833~1902)将意大利数学家邦贝利(Bangbeili1530~1590)《代数术》翻译为中文,将 “虚数”引入中国。


复数系

是保持四则运算基本性质的

最大数系

3 超复数的产生


3. 超复数的产生

1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”,这是一个乘法不满足交换律的数系。

哈密尔顿 (Hamilton, William Rowan, 1805—1865)


3. 超复数的产生

1847年,英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律,也不满足结合律。

凯莱(Cayley,Arthur. 1821-1895)


自然数N 整数Z

有理数Q 实数R

复数(二元)C

四元数(乘法不可交换)

八元数(超复数)

(乘法不可交换,也不能结合)

4 数系扩充的科学道理


4. 数系扩充的科学道理

  • 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色:

    逆运算的运算法则来源于正运算,因此比正运算困难,以致可能出现无法进行的现象,从而必须引进新东西,使数系得以扩展。


4. 数系扩充的科学道理

  • 自然数中减法产生0和负数, 整数系统;

  • 整数中除法产生分数, 有理数系统;

  • 自然数中开方产生无理数, 实数系统;

  • 负数中开方产生虚数, 复数系统。


数系的每一次扩充,

基本都是运算的需要

1 实数的结构


5. 实数的结构

  • 实数中正、负数、有理数都是容易被认识的,而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的;

  • 实数中,整系数代数多项式的根叫代数数,例如,1,1/2,31/2,其中有理数是整系数一次多项式的根;

  • 实数中不是代数数的数叫超越数,例如,,e。


有理数

代数数

无理数

超越数

6、数集的地位


按照恩格斯所说,

各种数集

是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。

6. 数集的地位


按照20世纪

结构数学的观点,

数学是研究模式与秩序的科学。

数学研究的基本对象是

各种各样的集合

以及在它们上面赋予的各种结构.

6. 数集的地位


数学之比喻

数学像游戏,离不开道具和规则。

数学中,各种集合是道具,而在各种集合上赋予的各种结构是规则。

6. 数集的地位


数学之比喻

数学像演戏,离不开演员和剧本。

数学中,各种集合是演员,演员被分配了角色才能演戏。

6. 数集的地位


数集

就是数学的一种道具,

要在其上赋予

代数结构、序结构、拓扑结构,

才能展开数学理论。

6. 数集的地位

在这里:

有理数集


2

有理数集


1. 有理数的代数属性

  • 有理数集是最小的数域

    有理数集在四则运算下是封闭的,而且加法、乘法满足结合律与交换律,并且满足乘法对加法的分配律,具有这种性质的数集叫做数域。

2. 有理数的几何属性


2. 有理数的几何属性

  • 有理数在数轴上是稠密的、和谐的。

    稠密性:任意两个有理数之间,必然存在第三个有理数,而不管这两个有理数有多么接近。

    和谐性:有理数之间相处得亲密无间,对任意一个给定的有理数,永远找不到一个与之最接近的有理数。


x

1

1

0

2. 有理数的几何属性

这里有有理数

这两位之间有有理数

3. 有理数的集合特点


3. 有理数的集合特点

  • 有理数是可数的——与自然数一样多

  • 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。

  • 1874年起,德国数学家康托开始研究这类问题,他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。


Georg cantor 1845 1918
康托(Georg Cantor; 1845—1918)

  • 1845年出生于圣彼得堡,犹太人后裔。

  • 11 岁时进入德国,1867 年获柏林大学的博士学位,1872 年升为教授。

  • 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。


先数数偶数

  • 这个世界上,正偶数多一些,还是正整数多一些呢?

1 2 3 4 5 6 7 8 …



2 4 6 8 10 12 14 16 …

知道了:

所有正整数和所有正偶数都一样多!√


再数数平方数

  • 这个世界上,平方数多一些,还是正整数多一些呢?

1 2 3 4 5 6 7 8 …



1222324252627282 …

知道了:

所有平方数和所有正整数都一样多!√


可数集

  • 像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。

  • 因此偶数数集、平方数集都是可数集。


y

5

4

3

2

1

x

1

2

3

4

5

看看格点与整数的比较

1  (1 , 1)

2  (2 , 1)

3  (1 , 2)

4  (3 , 1)

5  (2 , 2)

6  (1 , 3)

…  … …

结论:格点数量 = 整数数量


整数、格点与有理数的比较

1 2 3 4 5 6 …

     

(1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3) …

结论:整数数量=格点数量 =分数数量


有理数是可数集

有理数集是可数集

4. 有理数的长度为0


4. 有理数的长度为0

有理数在数轴上所占的长度为0

如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起,使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙,它们能占用多大的长度?


4. 有理数的长度为0

有理数们,排出来!

每“人”发一顶帽子戴一戴!


4. 有理数的长度为0

量一量有理数帽子总宽度!

So small!

有理数的长度为0!

总结一下


有理数

总结一下…

从代数上看,

有理数在四则运算下是封闭的,

构成一个数域;

从几何上看,有理数在数轴上是稠密的,

因此,要去度量任何一件实际事物,

不论要求多高的精度,

只要有理数就够了;

从测度上看,有理数很“轻巧”,

它们是可数的,

在数轴上所占用的长度为0


总结一下…

说说有理数的缺陷

实数集


3

实数集


1. 实数理论的建立

  • 由于有理数有许多不完备的地方,如果不对有理数进行扩充,关于极限的运算就无法进行,从而也就不会有微积分。

  • 有理数扩充的直接结果是实数集。

  • 关于实数,长期以来,人们只是直觉地去认识:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数,有理数与无理数统称为实数。


1. 实数理论的建立

19世纪,德国数学家

康托(G. Cantor, 1845---1918)、

戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、

魏尔斯特拉斯( K. W. T. Weierstrass, 1815—1897 )

通过对无理数本质进行深入研究,奠定了实数构造理论。


Georg cantor 1845 19181
康托(Georg Cantor; 1845—1918)

  • 1845年出生于圣彼得堡,犹太人后裔。

  • 11 岁时进入德国,1867 年获柏林大学的博士学位,1872 年升为教授。

  • 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。


K w t weierstrass
魏尔斯特拉斯﹐K.W.T., Weierstrass

  • K.T.W Weierstrass (1815—1897)

  • 德国数学家

  • 先修财务、管理、法律,后学数学

  • 1854年,哥尼斯堡大学名誉博士;1856年,柏林科学院院士

  • 数论、几何、复分析


R dedekind richard 1916
戴德金﹐R. (Dedekind, Richard __1916 )

  • 戴德金﹐R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德国不伦瑞克;

  • 1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。

  • 数学家。

2. 实数集的代数属性


2. 实数集的代数属性

  • 实数集是数域

    实数集在四则运算下是封闭的,而且加法、乘法满足结合律与交换律,并且满足乘法对加法的分配律。

    要严格地证明这一点是困难的,它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。

3. 实数集的几何属性


3. 实数集的几何属性

  • 实数在数轴上是连续的、无缝的。

    (1)数学分析中有六个等价命题

  • 单调有界数列收敛原理;

  • 致密性定理;

  • Cauchy收敛准则;

  • 确界定理;

  • 聚点原理;

  • 闭区间套定理;

  • 有限覆盖定理.


3. 实数集的几何属性

(2)可以进行极限运算——这是微积分建立的基础

4. 实数集的集合特点


4. 实数集的集合特点

  • 实数集是不可数的——与自然数不能建立1-1对应。


假如实数可数,先把(0,1)内的编号吧!

证一证


假如可将0与1之间的实数编号:

构造一个(0,1)区间的数

矛盾!


实数集是不可数的

实数集是不可数集

无限集合的基数


4

无限集合的基数


1. 集合的基数

我们知道:自然数集、整数集、奇数集、偶数集、平方数集、有理数集、实数集等都是无限集——它们的元素都有无穷多个。但是它们也有区别,比如:有理数集等都是可数集,而实数集是不可数集。

因此,从对等的角度来看,实数比有理数更多一些。


1. 集合的基数

  • 我们把描述一个集合元素个数多少的量叫做这个集合的基数;

  • 可数集的特征是:其元素可以排成一列或者可以一个一个数下去。其基数记为0(读作:阿列夫0).

  • 因此奇数数集、偶数数集、平方数集、有理数集等的基数都是0。

2. 可数基运算


2. 可数基运算

可数基א0运算性质:

  • א0 +n = א0

  • א0 +א0 = א0, nא0= א0

  • א0א0= א0 ,(א0)n = א0


2. 可数基运算

③ 的证明


2. 可数基运算

3. 代数数集是可数集


3. 代数数集是可数集

整系数代数多项式(代数方程)的根叫代数数

  • 代数数的个数(基数)是 א0


证明她!

① n次整系数代数多项式至多有(א0)n = א0个

② 所有整系数代数多项式至多有א0א0 = א0个

③ 每个n次整系数代数多项式至多有א0个根

④ 所有代数数有א0个 

4 实数集是不可数的


4. 实数集是不可数的

  • 实数集是不可数的,其基(连续统基数)记为 א1 。

  • א1 > א0

总结一下


有理数

(可数)

无理数

(?)

代数数

(可数)

超越数

(?)

总结一下……

实数(不可数)

无理数

(不可数)

超越数

(不可数)


总结一下……

  • 有理数集可数(基为 א0 )

  • 无理数集不可数(基为 א1 )

  • 代数数集可数(基为 א0 )

  • 超越数集不可数(基为 א1 )

5. 连续统基数运算


5. 连续统基数运算

连续统基数א1运算性质

  • א1 +n +א0 = א1

  • א1 + א1 = א1, nא1= א1

  • א0א1= א1 ,(א1)n = א1

6. 超越数知多少


6. 超越数知多少?

  • 实数中不是代数数的数叫超越数,超越数有א1个。

  • 最早认识的超越数——刘维尔数(1851年)

  • L=∑1/10n!=0.11000100000…,

  • 其中的1分布在小数点后第1,2,6,24,120,720,5040,…等处。


6. 超越数知多少?

  • 最熟悉的超越数:自然对数的底e,圆周率 ,光速,万有引力常数

  • 其中e的超越性由Hermit在1873年证明, 的超越性由Lindemann在1882年证明.

认识超穷数


5

认识超穷数


超穷数

א0和א1都表示的是无限集的个数,它们从本质上都代表无穷,但又有所区别,称这样的数为超穷数。

1. 幂集的基数


1. 幂集的基数

设M是一个集合,由M的所有子集构成的集合称为M的幂集。记为 P(M)或 2M.

例M=  , P(M)={ }

M={1}, P(M)={,M}

M={1,2},  P(M)={,{1},{2},M}

M={1,2,3}, 

P(M)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},M}


1. 幂集的基数

M=, P(M)={}; |M|= 0, |P(M)| = 1;

M={1}, P(M)={,M}; |M|= 1, |P(M)| = 2;

M={1,2}, P(M)={,{1},{2},M};

|M|= 2, |P(M)| = 4;

M={1,2,3},

P(M)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},M};

|M|= 3, |P(M)| = 8。


1. 幂集的基数

一般地,可以证明,对有限集M,永远有

|P(M)| = 2|M|

问题:无限集的结论如何?

2. Cantor没有最大基数定理


2 cantor
2. Cantor没有最大基数定理

Cantor定理对任意集合M,总有

|P(M)|= 2|M| > |M|

即 P(M)与 M不对等。

3. 为什么叫א1 ?


3. 为什么叫א1?

  • 连续统基数א1= 2 א0

    证明思想:

    (-∞, +∞) ~ (0, 1) ~ {0,1}N

    (用二进制表示:∑ak/2k, ak=0,1)

4. 认识超穷数


4. 认识超穷数

0

所有整数和有理数的数目

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, … …

1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/2 , 1/5 , 1/6 , 2/5 , 3/4 , 4/3 , 5/2 ,

22/7 , 113/355 , 52163/16604 , 17/12 , … …


4. 认识超穷数

线、面、立体上所有几何点的数目

1

=20


4. 认识超穷数

2

=21

所有几何曲线的数目


4. 认识超穷数

3= 22

“Je le vois, mais je ne le crois pas.”

——Cantor

“我看到了,但我不相信。”

——康托

连续统假设


6

连续统假设


连续统假设

我们知道,א0 < א1,自然会问,有没有介于א0与א1之间的其它基数?

1878年,集合论的奠基人(丹麦数学家)Cantor猜想:

没有介于א0与א1之间的其它基数。


连续统假设

1900年,著名数学家希尔伯特在世界数学家大会上所做的重要演讲中提出了23个著名数学问题,其中第一个就是上述Cantor关于连续统基数的猜想,被称为“连续统假设”。


连续统假设

  • 连续统假设决不会引出矛盾!

哥德尔(Kurt Gödel; 1906  1978)奥地利数学家

1938年,哥德尔证明:

连续统假设决不会引出矛盾!

(即连续统假设与现有的集合论公理是相容的。)


连续统假设

  • 连续统假设是独立的!

科恩(Paul Joseph Cohen; 1934__ ),美国数学家

1963年,美国数学家科恩证明:

连续统假设是独立的!

(即否定连续统假设,也不会导致矛盾。连续统假设不可能被证明。)


连续统假设

100年的历史,可以简单地写成:

Cantor问:

有没有介于א0与א1之间的其它基数?

Godel与Cohen答:

有也行,没有也行。



上帝必定是一个几何学家

——伽利略

God must be a geometer!

——Galileo


感言

一件遗憾的事儿:几乎所有的大学生不知道非欧几何,甚至数学类专业的本科生(包括部分大学数学教师)也是如此。

今天我们试图来弥补这个遗憾,来了解影响和改变世界的非欧几何。


1

几何学——人类第一科学


几何学——人类第一科学

“几何学”就是人类文明对空间本质的“认识论”;宇宙中的所有事物皆存在于空间之中、发生于空间之内,并永远受着空间本质的制约与蕴育;而空间既完美又简朴的本质则是蕴育着宇宙万物万象中至精至简的根源。


几何学的课题就是去研究、理解空间的本质。它是我们认识大自然、理解大自然的自然起点和基石所在;也是整个自然科学的启蒙者和奠基者;是种种科学思想和方法论的自然发祥地。几何学的课题就是去研究、理解空间的本质。它是我们认识大自然、理解大自然的自然起点和基石所在;也是整个自然科学的启蒙者和奠基者;是种种科学思想和方法论的自然发祥地。


不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。


自古到今,几何学的研究在不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。方法论上大体可以划分成下述几个阶段:

(1) 实验几何:用归纳实验去发现空间之本质。(古代中国、古埃及)

(2) 推理几何:以实验几何之所得为基础,改用演译法,以逻辑推理去探索新知,并对于已知的各种各样空间的本质,精益求精地作系统化和深刻的分析。在这方面,古希腊文明获得了辉煌的成就,它也是全人类理性文明中的重大篇章。(古希腊)


泰勒斯不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(米利都的 ) (Thales of Miletus)}约公元前 625 年生于伊奥尼亚的米利都﹐约公元前 547年卒。自然哲学、数学、天文学。


毕达哥拉斯不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(Pythagoras),约公元前 560 年生于莎莫斯岛;约公元前 480 年卒于梅塔蓬图姆;精通哲学、数学、天文学、音乐理论


欧几里得不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(Euclid, 约公元前330---前275年)是古希腊亚历山大里亚时期的著名数学家。


(3) 不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。坐标解析几何:笛卡儿 (Descartes) 和费马(Fermat) 通过建立坐标系,把数学中的两大主角——几何学和代数学——简明而有力地结合起来,开创了近代数学的先河。其自然而然的结果是微积分的产生和大量地运用解析法研讨自然现象。 (法国)


费马不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。﹐ P. de (Fermat, Pierre de) 1601年 8 月 20 日生于法国南部图卢兹附近的博蒙 --- 德 - 洛马涅(Beaumont-de-Lomagne); 1665 年 1 月 12 日卒于法国卡斯特尔 (Castres)。 数学。


笛卡儿不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(Descartes, Ren'e) 1596 年 3 月 31 日生于法国图赖讷 (Touraine)省拉艾 (La Haye)镇 (现名拉艾--笛卡儿镇 ); 1650 年 2 月 11 日卒于瑞典斯德哥尔摩。 科学方法﹑自然哲学﹑数学﹑物理学﹑生理学。


不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。4)向量几何:向量几何在本质上乃是坐标解析几何的返璞归真,它的最大优越性在于向量运算的正交不变性 (orthogonal invariance)。可以说,向量几何乃是不依赖于坐标系的解析几何 (coordinate-free analytical geometry),它自然而然地化解了原先在坐标解析几何中,由坐标系的选取所引入的各种各样(非几何的)非不变量的困扰! Hamilton 和 Grassmann 分别是 3-维和高维的向量代数的创始者。


哈密顿不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(Hamilton﹐William Rowan)1805 年 8 月 4 日生于爱尔兰都柏林;1865年 9 月 2 日卒于都柏林 (Dublin)。力学﹑数学﹑光学。


格拉斯曼不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。﹐ H.G. (Grassmann﹐Hermann Gunter),

1809 年 4 月15 日生于德国波美拉尼亚的斯德丁 (今波兰什切青 );1877 年9月26日卒于斯德丁。数学。


2不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

欧几里得几何学


欧几里得不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

——公理化方法的先驱


欧几里得时期的几何特点:不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

  • 材料异常丰富;

  • 内容繁杂、混乱。


欧几里得的创造不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。——《几何原本》 :

  • 工作:

    筛选定义,选择公理,合理编排内容,精心组织方法。

  • 意义:

    奠定了数学的公理化思想:即从几个概念和几个公理出发,演绎出本学科其它所有概念和命题,从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的科学和成熟的科学。


泰勒斯(开始了命题证明)不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

公元前 600 年

毕达哥拉斯(勾股定理, 发现不可公度量)

公元前 500 年

柏拉图(成立柏拉图学园)

公元前 400 年

欧多克索斯(创立比例论、计算锥体体积)

公元前 300 年

欧几里得(撰写《几何原本》)

阿基米得(计算圆周率、球体体积等)

公元前 200 年

《几何原本》的背景


罗马帝国不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。建立

公元元年

亚历山大图书馆第二次遭焚毁

公元400年

亚历山大图书馆第三次遭焚毁

《几何原本》被译成阿拉伯文

公元800年

《几何原本》被译成拉丁文

公元1200年

出现《几何原本》拉丁文印刷版

公元1600年

《几何原本》传入中国

《几何原本》的流传


几何原本不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。——数学的圣经

《几何原本》(Element)问世后,马上吸引了人们的注意力,其影响力超过了其它任何一部科学著作。从1482年最早一本印刷本问世,至今已有一千多种版本,其流传之广泛、影响之久远,是仅次于《圣经》的第二大书。


不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。几何原本》共分15卷,1、2、3、4、6各卷为平面几何,5卷为比例图形,7、8、9卷为算术,10卷为直线上的点,11---15卷为立体几何。

  • 徐光启(1562—1633)和意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci ,1552---1610)于明朝1607年翻译出前6卷;

  • 李善兰(1811—1882)和英国传教士伟烈亚力(A. Wylie, 1815—1887)于清朝1857年翻译出后9卷。


  • 利玛窦 不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(Matteo Ricci; 1552  1610)

  • 意大利传教士

  • 1606 年与徐光启合作翻译《几何原本》前 6 卷。


  • 徐光启不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。(1562  1633)

  • 嘉靖 41 年  崇祯 6 年

  • 字子先,号玄扈,上海徐家汇人。

  • 1606 年与利玛窦合作翻译《几何原本》前 6 卷。

  • 首先引进“几何”一词。


20不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。世纪的英译本


九章出版的中译本不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。


不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。几何原本》的内容:

《几何原本》共有23个基本定义,5个公设,5个公理和465个命题组成。由于公理和公设都是不证自明的真理,只是适用范围有所区分,后统称为公理。


四种根本性的概念:不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

1. 定义——几何学中所用的字的意义。如:点、线、面、体、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等。

2. 公理——适用于一切科学的不证自明的真理。如:若a=c, b=c, 则a=b

3. 公设——适用于几何学的不证自明的真理。如:所有直角彼此相等


4. 不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。命题——包括定理和作图题。定理是指能够根据假定条件、公理、公设和定义利用逻辑推理得到的结论;作图题是指由已知的几何学对象找出或作出所求的对象。


公理系统不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

定义

公理、公设

命题

定义

命题

命题

定义

命题

命题


五条公理不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

1. 跟同一件东西相等的东西,它们彼此也是相等的;

2. 等量加等量,总量仍相等;

3. 等量减等量,余量仍相等;

4. 彼此重合的东西是相等的;

5. 整体大于部分。


五条公设不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

1. 点到另外一点作直线是可能的;


五条公设不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

2. 有限直线不断沿直线延长是可能的;


五条公设不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

3. 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的;


P不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

R

ADC = PSQ

S

Q

五条公设

4. 所有直角彼此相等;

A

B

C

D


五条公设不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

5. 如果一直线与两直线相交,且同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

1

a

b

a + b < 180

2


第五条公设等价于平行公理:不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行。


3不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

非欧几何的诞生


第五公设的疑问不论在自然科学的发展顺序上,还在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,是理所当然的第一科学。

欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的《几何原本》中,在其之后的2200后,希尔伯特在《几何基础》加以完善。其间,许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。


在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前4个都是容易被认同的。但是,对于第五公设,却没有那么简单明了,它很像一条定理,而且很少被使用,因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它。于是,《几何原本》一问世,人们很快就希望能够消除这种困惑。


人们主要从三个方面研究平行公理。在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

  • 试图给出新的平行线定义以绕开这个困难;

  • 试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代它;(等价或包含);

  • 用其它9个公理或公设去证明它!


在进行在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前第二项工作的研究中,人们发现了许多与第五公设等价的命题,证明其一便相当于证明了第五公设。

比如:

  • 平行公理:过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行;

  • 三角形内角和定理:三角形内角和等于180度。


第三项在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前问题得到的研究最多,人们为此努力了两千多年,花费了无数数学家的心血,但终究没有成功。


19在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前世纪,德国数学家高斯(Gauss, C. F., 1777--1855)、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Ποбаyeвский Н. И.,1793---1856)和德国数学家黎曼(G. B. Riemann,1826--1866)等人,在用反证法研究第三项问题时,试图推出矛盾,但却没有。即,假设第五公理不成立,结果并不会出现矛盾!

于是他们顿悟:推翻第五公设!从而导致了非欧几何的产生。


  • 高斯在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前被誉为非欧几何的先驱;

  • 罗巴切夫斯基被冠以几何学上的哥白尼;

  • 黎曼是一个极富天分的多产数学家,在他短暂的一生中,他在许多领域写出了许多有名论文,对数学的发展做出了重要贡献,影响了19世纪后半期数学发展,黎曼几何仅是他的成就之一。


高斯在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前——非欧几何的萌芽

德国数学家高斯(Gauss, C. F., 1777--1855)是最早认识到可以否定第五公设的人。


  • 1792在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前年开始思考第五公设问题。

  • 1794年,发现非欧几何的一个事实。

  • 1799年起,着手建立这一新几何。

  • 1824年,高斯又在给朋友的信中写到:


高斯给朋友的信在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

……三角形内角和小于180度,这一假设引出一种特殊的、和我们的几何完全不相同的几何。这种几何自身是完全相容的,当我发展它的时候,结果完全令人满意。……


这一假设相当于把平行公理改换为:在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

过直线外一点可以做多条直线与之平行


高斯在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前由于顾及自己的名声,没有公开发表他的这种与现实几何学相悖的新发现。

正在他犹豫不决之时,一位叫鲍耶(John Bolyai, 1802--1860)的匈牙利少年把这种新几何提了出来。1832年,鲍耶的论文《关于一个与欧几里得平行公设无关的空间的绝对真实性的学说》作为其父亲一部著作《向好学青年介绍纯粹数学原理的尝试》的附录出版。


鲍耶在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前(Bolyai﹐ Janos) 1802 年12月15 日生于匈牙利特兰尼西瓦亚的科罗日瓦(Kolozsvar)(今罗马尼亚卢日);1860 年1 月17 日卒于匈牙利毛罗什瓦萨尔海伊 (今罗马尼亚特古穆列什)。


  • 在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前鲍耶(Bolyai﹐ F) (F. Bolyai

    1775-1856),鲍耶的父亲,高斯的同学,


第一种非欧几何在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前——罗巴切夫斯基几何

与高斯、鲍耶大体上同时发现非欧几何的另一位数学家是俄罗斯喀山大学的罗巴切夫斯基(1793---1856)。他从1815年开始研究第五公设问题,1823年,他用命题“过直线外一点可以作两条直线与之不相交”代替第五公设作为基础,保留欧氏几何学的其它公理与公设,经过严密逻辑推理,逐渐建立了一套全新的古怪的几何体系。


罗巴切夫斯基在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前(Lobachevskii , Nikolai Ivanovich) 1792 年12 月1 日(俄历 11 月20 日) 生于俄国下诺夫哥罗德 (今高尔基城);1856 年2 月14 日卒于俄国喀山。


学术报告在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

时间:1826年2月11日,

地点:喀山大学数学物理系

人物:罗巴切夫斯基

题目:《关于几何原理的扼要叙述及平行线定理的一个严格证明》

  • 1826年2月11日这一天,被后人确定为非欧几何的诞生日。


罗巴切夫斯基的几何在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

过直线外一点可以作两条直线与之不相交


罗巴切夫斯基的几何在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

  • 同一直线的垂线和斜线不一定相交。

  • 垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷。

  • 不存在相似的多边形。

  • 过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆。


几何名称:在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前

  • 虚几何学

  • 想象几何学

  • 泛几何学

  • 罗巴切夫斯基几何。


第二种非欧几何在欧氏几何体系中,作为其基石的五个公理以及五个公设中的前——黎曼几何

1854年,德国另一位数学家黎曼(Geord Bernhard Riemann,1826--1866)在德国哥廷根大学作了题为《论作为几何基础的假设》的报告,发展了罗巴切夫斯基等人的思想,并建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何的特例。


黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。

在黎曼几何中,最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间,对于三维空间,有以下三种情形:

  • 曲率恒等于零;

  • 曲率为负常数;

  • 曲率为正常数。


黎曼指出:

前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学,而第三种情形则是黎曼本人的创造,它对应于另一种非欧几何学。


黎曼的这种第三种几何就是是用命题 “过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提,保留欧氏几何学的其它公理与公设,经过严密逻辑推理,而建立起来的几何体系。 这种几何就是如今狭义意义下的黎曼几何,它是曲率为正常数的几何,也就是普通球面上的几何,又叫球面几何。

该文于黎曼去世两年后的1868年发表。



黎曼 (Riemann﹐Georg Friedrich Bernhard)1826 年9 月17 日生于德国汉诺威的布雷斯塞伦茨 (Breselenz);1866 年7 月20 日卒于意大利塞拉斯卡(Selasca)。


黎曼的球面几何

过直线外一点所作任何直线都与该直线相交


广义黎曼几何与相对论

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的,但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释,恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。


4

三种几何学的适用范围与模型


三种几何学的适用范围

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系,各公理之间满足相容性、完备性和独立性。因此这三种几何都是真理。

但是三种几何学又有着相互矛盾的结论,而真理只有一个,为什么会出现三种矛盾的真理呢?


原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是

  • 欧氏几何学——日常小范围内

  • 黎曼几何学——地球上远距离旅行

  • 罗巴切夫斯基几何学——太空中漫游或原子核世界


三种几何学的模型原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是

三种几何学各有其适用范围,也各有其模型。

欧几里得几何学的模型最容易理解,我们生活的平面和三维现实空间就是很合适的模型。


黎曼几何学原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是的模型可以用球面来实现


对于原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是罗巴切夫斯基几何,不少数学家给出过多种不同的模型。

第一个模型是由法国数学家庞斯莱(Poncelet, 1788—1867)给出的。他把圆心位于一条给定直线S上的半圆看作“直线”。

显然,过两点可以唯一确定一条“直线”,过“直线”外一点可以作多条“直线”与之平行(不相交)。


庞斯莱原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是﹐ J.-V. (Poncelet﹐Jean--Victor)1788 年 7 月1 日生于法国梅斯(Metz);1867 年 12月22 日卒于巴黎。


第二个模型是原来,客观事物是复杂多样的,在不同的客观条件下,会有不同的客观规律。三种几何学的适用范围是1868年意大利数学家贝尔特拉米(Beltrami, 1835—1899)给出的,他找到了一种所谓的“伪球面”,在伪球面上可以实现罗氏

几何学的假设。

“伪球面”由平面曳(yè)物线[tractrix] 绕其渐近线旋转一周而得。


罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。


贝尔特拉米罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。(Beltrami﹐Eugenio) 1835年11月16 日生于意大利克雷莫纳 (Cremona);1899 年6 月4 日卒于罗马。


第 三个模型是法国数学家罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。庞加莱(Jules Herni Poincaré; 1854 – 1912)提出的。在他的模型中,庞加莱将整个罗巴切夫斯基几何空间投影到平面上一个不包括边界的圆中,空间中的“直线”,却由圆内的一些圆弧来表示,这些圆弧与所述圆周正交(垂直),如图中的l1和 l2。在这个模型中,我们同样发现,三角形的内角和亦不会等于 180°。


P罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。

l1

l2

庞加莱模型


庞加莱罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。(Poincare﹐Jules Henri)1854年4月 29 日生于法国南锡(Nancy);1912年 7 月17 日卒于巴黎。数学﹑物理学﹑天体力学﹑科学哲学。


1870罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。年,德国数学家克莱因(Klein, 1849—1925)也给出了罗氏几何的一个模型。


克莱因罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。

  • 把欧氏几何学称为“抛物几何”,因为它的直线有一个无穷远点;

  • 把罗氏几何称为“双曲几何”,因为它的直线有两个无穷远点;

  • 把黎曼几何称为“椭圆几何”,它的直线没有无穷远点。


庞加莱等人用欧几里得模型对罗巴切夫斯基几何进行描述。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。庞加莱等人用欧几里得模型对罗巴切夫斯基几何进行描述。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。

因为我们可以设想,如果罗巴切夫斯基几何中存在任何矛盾的话,那么这种矛盾也必然会在欧几里得几何中表现出来,也就是说,只要欧几里得几何没有矛盾,那么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾。至此,非欧几何作为一种几何的合法地位才充分建立起来。


5庞加莱等人用欧几里得模型对罗巴切夫斯基几何进行描述。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。

三种几何学的结论对比


黎曼几何庞加莱等人用欧几里得模型对罗巴切夫斯基几何进行描述。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。

罗氏几何

欧氏几何

不同几何学下的三角形


三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系,如果不涉及与平行公理有关内容,三种几何没有什么区别。三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系,如果不涉及与平行公理有关内容,三种几何没有什么区别。

但是只要与平行有关,三种几何的结果就相差甚远。现举出几例列表对比如下:


三种几何结论对比三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系,如果不涉及与平行公理有关内容,三种几何没有什么区别。


6三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系,如果不涉及与平行公理有关内容,三种几何没有什么区别。

非欧几何产生的重大意义


非欧几何的产生具有四个重大意义三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系,如果不涉及与平行公理有关内容,三种几何没有什么区别。:

1. 解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究,促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。


  • 1899三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系,如果不涉及与平行公理有关内容,三种几何没有什么区别。年,希尔伯特提出了选择和组织公理系统的原则,即

  • 相容性:从系统的公理出发不能推出矛盾;

  • 独立性:系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论;

  • 完备性:系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。


在这样组织起来的公理系统中,通过否定或者替换其中的一条或几条公理,就可以得到相应的某种几何。

这样的做法,不仅给出了已有几种非欧几何的统一处理,而且还可以引出新的几何学。


2. 证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展,理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求,推动了科学,从而推动了社会发展和进步。

在数学内部,各分支纷纷建立了自己的公理体系,包括随机数学__概率论也在20世纪30年代建立了自己的公理体系。实际上,公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。


在其它科学中,比如经济学、社会学等,人们也希望用公理化方法建立自己的科学体系。在其它科学中,比如经济学、社会学等,人们也希望用公理化方法建立自己的科学体系。

经济学中的谢卜勒 (Shapley) 公平三原则:

原则1:同工同酬原则。

原则2:不劳不得原则。

原则3:多劳多得原则。


3. 在其它科学中,比如经济学、社会学等,人们也希望用公理化方法建立自己的科学体系。非欧几何的创立引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。

非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前,占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战。非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学的局面。


4. 在其它科学中,比如经济学、社会学等,人们也希望用公理化方法建立自己的科学体系。非欧几何实际上预示了相对论的产生,就象微积分预示了人造卫星一样。

非欧几何与相对论的汇合是科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论,但是,也许爱因斯坦更清楚,是他和Poincare, Minkouski, Hilbert等一批数学家共同的工作。


物理中出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象等,都是非欧几何与相对论的科学发现。物理中出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象等,都是非欧几何与相对论的科学发现。


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第三节 物理中出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象等,都是非欧几何与相对论的科学发现。

河图、洛书与幻方

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河图、洛书与幻方 物理中出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象等,都是非欧几何与相对论的科学发现。

幻方溯源

幻方的构造

幻方奇趣


1物理中出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象等,都是非欧几何与相对论的科学发现。

幻方溯源


两个传说物理中出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象等,都是非欧几何与相对论的科学发现。

在我国古老的《易经》中有这样一句话:“河出图,洛出书,圣人则之。”后来,人们根据这句话传出许多神话。


传说在伏羲氏时代,黄河里跃出一匹龙马,龙马背上驮了一幅图,上面有黑白点传说在伏羲氏时代,黄河里跃出一匹龙马,龙马背上驮了一幅图,上面有黑白点55个,用直线连成10数(如图),后人称之为“河图”。


又传说在公元前传说在伏羲氏时代,黄河里跃出一匹龙马,龙马背上驮了一幅图,上面有黑白点23世纪大禹治水的时候,在黄河支流洛水中,浮现出一个 大乌龟,甲上背有9种花点的图案,9种花点数正巧是1—9这9个数,各数位置的排列也相当奇妙,横行、纵列以及两对角线上各自的数字之和都为15(如图),后人称之为“洛书”。


几千年来,“河图”与“洛书”成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝库,哲学、天象、医学、数学、音乐等都从中得到启蒙。几千年来,“河图”与“洛书”成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝库,哲学、天象、医学、数学、音乐等都从中得到启蒙。


1. 几千年来,“河图”与“洛书”成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝库,哲学、天象、医学、数学、音乐等都从中得到启蒙。洛书与九宫图


河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于15),这就是我们今天要讨论的一个“幻方”。


4河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于

9

2

3

5

7

8

1

6


一般地,把河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于n2个不同数字依次填入由n×n个小方格构成的正方形中,使得横行数字之和、直列数字之和以及对角线数字之和都相等,这样的一个数图叫做一个(n阶)幻方,各直线上各数字之和叫幻和。


最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于《数术拾遗》,那里记载了上述源自“洛书”的方图,当时称为“九宫图”,我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图,欧洲人称之为魔术方阵或幻方。

幻方中各数若是从1到n2的连续自然数,则称之为标准幻方。n阶标准幻方的幻和为


2. 河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于为什么要研究幻方?

幻方有多少?


为什么要研究幻方?河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于

幻方起源于古老的传说,自古有一种神秘色彩,人们把她当作护身避邪的吉祥物。许多人热衷于研究幻方,起初,只是因为她包含了无尽的神奇之美,而且,研究幻方本身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究幻方的人不仅限于数学家,还有物理学家、政治家;不仅有成年人,也有孩子。现代科学家研究幻方,已经远远不是为了好玩或驱灾避邪。电子计算机出现以后,幻方在程序设计、组合分析、人工智能、图论等许多方面发现了新用场。


研究幻方,可以分类进行。河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于

按照幻方阶数的奇偶性,幻方可以分为奇数阶幻方与偶数阶幻方;

偶数阶幻方中,阶数为4的倍数的幻方叫做双偶阶幻方(如4,8,12等阶);

其它的叫单偶阶幻方(如6,10,14等阶)。


还有一些特殊性质的幻方河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于:

如果一个幻方中的各数换为它的平方数后得到的数图还是幻方,则这个幻方叫做双重幻方或平方幻方;

如果一个幻方的各横行、直列、对角线上各数字之积也分别相等,则称之为乘积幻方或和积幻方。


幻方有多少? 河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点表示的数是奇数(古代称阳数)。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表,其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等(等于

可以很容易地证明,2阶幻方是不存在的。

我国南宋时期数学家杨辉早在1275年就给出了3—10阶的幻方。

目前,国外已经排出了105阶幻方,我国数学家排出了125阶幻方。


同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:


  • 3同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:阶幻方只有1种;

  • 4阶幻方有880种;

  • 5阶幻方有275305224种(约两亿七千五百万);

  • 7阶幻方有363916800种(约三亿六千四百万) ;

  • 8阶幻方超过10亿种。


2同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

幻方的构造


我们知道,在阶数大于同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:3时幻方的种类有很多,但能够具体构造出来的却不是很多。下面我们介绍几个构造幻方的通用方法。


1. 同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:杨辉与奇数阶幻方的构造

我国南宋时期数学家杨辉曾对幻方有过深入系统的研究,他于1275年给出了3—10阶的幻方。这里我们给出他关于奇数阶幻方的构造方法,这些方法记载于他的《续古摘奇算经》上。比如,对于3阶幻方,方法是:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺进。”,其结果为:“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足。”具体操作如下图:


1同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

9

4

9

2

4

4

2

2

3

5

7

3

7

5

5

7

3

8

1

6

8

8

6

6

1

9

九子斜排上下对易,左右相更四维挺进

类似的原理可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方。下图给出了5阶幻方的构造过程。


1同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

6

2

11

7

3

16

12

8

4

21

17

13

9

5

22

18

14

10

23

19

15

24

20

25

25子斜排


25同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

24

20

11

7

3

4

12

8

16

5

17

13

9

21

10

18

14

22

23

19

15

6

2

1

上下对易,左右相更


25同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

24

20

11

24

7

20

3

4

4

12

25

8

16

16

5

17

5

13

21

9

21

10

10

18

1

14

22

22

23

 6

19

2

15

6

2

1

四维挺进


11同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

24

7

20

3

4

12

25

8

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17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

四维挺进


2. 同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:奇数阶幻方的劳伯尔(De La Loubère)构造

原理:

在一个具有(2n+1)×(2n+1)个方格的方阵中,最顶一行的中间填上数1,然后按照如下法则进行:


法则:同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

在刚填过数字k的方格的右上方方格内填上数字k+1;

如果要填数字的方格跑出了方阵之外,则将其填入对边的相应位置(如下图中的数字2、4等);

如果要填数字的方格内已经填上了数字,则在原方格下方方格填入应填的数字(如下页图中的数字6、11、16等)。


17同一阶幻方,可以有多种不同的排法,阶数越大,排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方,我们有:

24

1

8

15

23

5

7

14

16

13

4

6

20

22

10

12

19

21

3

11

18

2

9

25



3. 偶数阶幻方的海尔(Hire)构造

偶数阶幻方的构造总的来说要比较困难。下面介绍的是法国人海尔的方法。为此,我们先引入一个概念:


根数 ——在一个n阶幻方的构造过程中,数字 p = 1,2,…,n的根数为n(p-1)

例如,在四阶幻方中,1的根数为0,3的根数为8;在10阶幻方中,3的根数为20,5的根数为40。

下面是海尔构造n阶偶数阶幻方的方法与步骤(以4阶为例具体填数):


1

1

3

2

4

4

4

2

2

3

3

1

4

2

2

3

3

1

1

1

3

2

4

4

(1)将1到n这n个数字分别从左到右(左小右大)填入方阵的两条对角线中,得方阵A;

(2)把A中每一行的空格中填入1到n该行尚没有的剩余数字(左大右小),使每行每列数字之和均为10,得方阵B;

方阵 A

方阵B


0

1

4

12

4

12

1

0

8

3

2

4

2

4

3

8

4

2

3

8

3

8

2

4

4

12

1

0

1

0

4

12

(3)把方阵B转置,即交换行列,此时得到方阵C,C中的数叫原始数;

(4)把C中各原始数分别用其相应的根数替换,得方阵D;

方阵C

方阵D


1

1

0

3

15

12

2

14

12

4

4

0

12

4

8

2

6

4

3

4

7

1

9

8

4

4

8

2

8

10

3

11

8

1

5

4

12

13

1

3

0

3

2

2

0

4

12

16

(5)最后将B、D两方阵中对应数分别相加,便得到一个n阶幻方E。

幻方E


4. 双偶阶幻方的构造

对于双偶阶幻方,我们有比较简单的构造方法。为此,我们先给出一个概念:


补数 ——在一个n阶幻方的构造过程中,数字p=1,2,…,n2的补数为n2 + 1 – p.

例如,在四阶幻方中,1的补数为16,3的补数为14;在8阶幻方中,1的补数为64,5的补数为60, 10的补数为55 。

下面我们以8阶幻方为例说明双偶阶幻方的构造方法。


首先将从 1到n2这n2个自然数依次连续填入方阵各方格内(如图)


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

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39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

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50

51

52

53

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55

56

57

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59

60

61

62

63

64


然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个n阶(双偶阶)幻方。


64然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1


幻方奇趣然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个


3然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

幻方奇趣


16然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

1. 画家杜拉(Albrecht Dűrer)的铜版画

1514年,著名画家杜拉(Albrecht Durer)画了一幅描绘知识分子忧郁情调的铜版画《忧郁》,其中载入一个使人入迷的4阶幻方(如下图)。


16然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质。比如:

(1)幻方中间四个角和中心位置四个小正方形中四个数字之和都相等,而且恰好等于该幻方的幻和34;


16然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

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14

1

(2)这个幻方的上下半部,左右半部,各奇数行,各偶数行,各奇数列,各偶数列,两条对角线,全部非对角线的八个数字,不仅其和分别相等(68),而且其平方和也分别相等(748) ;


16然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

3

2

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5

10

11

8

9

6

7

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4

15

14

1

(3)两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和(9248);


16然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

3

2

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5

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9

6

7

12

4

15

14

1

(4)幻方的最后一行的中间两数字15、14恰好表述了该画的创作年代1514。


2. 然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个富兰克林的八阶幻方

美国政治家富兰克林(1706—1790)制作过一个8阶幻方(如下图)。她具有许多独特的性质。


52然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

61

4

13

20

29

36

45

14

3

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51

46

35

30

19

53

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5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

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27

22

55

58

7

10

23

26

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42

9

8

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24

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2

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18

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16

1

64

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48

33

32

17


52然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

61

4

13

20

29

36

45

14

3

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46

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7

10

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42

9

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24

50

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2

15

18

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1

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17

(1)每半行半列上各数字之和分别相等而且等于幻和(260)之半(130);

(2)幻方四角四个数字与幻方中心四个数字之和等于幻和(260);


52然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

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4

13

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45

14

3

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51

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19

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5

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11

6

59

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9

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2

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1

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32

17

(3)上下各两半对角线8数字之和等于幻和。


3. 然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个日本幻方专家片桐善直的八阶幻方

日本幻方专家片桐善直制作过一个奇特的8阶幻方(如右图)。她除了具有富兰克林幻方的性质以外,还有自身更独特的性质。


1然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数,得到的方阵即是一个

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9

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4

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她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:


4. 她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:杨辉的九阶幻方

我国南宋时期数学家杨辉在他的《续古摘奇算经》上给出的九阶幻方也有许多更为奇特的性质(有些性质是近来才被发现的)。


31她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:

76

13

36

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58

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20

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67

4

49

72

9

54

65

2

47

30

75

12

32

77

14

34

79

16

21

39

57

23

41

59

25

43

61

66

3

48

68

5

50

70

7

52

35

80

17

28

73

10

33

78

15

76

44

62

19

37

55

24

42

60

71

8

53

64

1

46

69

6

51


她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:1)幻方中心41的任何中心对称位置上两数之和均为82(=92+1);

(2)将幻方依次划分为9块,则得到9个三阶幻方;


120她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:

4

9

135

2

114

117

3

5

123

7

129

8

132

1

111

6

126

(3)若把上述9个3阶幻方的幻和值写在3阶方阵中,又构成一个3阶幻方。这个幻方的九个数分别为首项为111,末项为135,公差为3的等差数列。如果将将这些数按大小顺序的序号写入三阶方阵,所得图表正是“洛书”幻方;


15她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:

10

3

6

4

5

16

9

14

11

2

7

1

8

13

12

5. 魔鬼幻方

所谓魔鬼幻方,是指幻方中各副对角线上各数字之和也等于幻和。如下图的四阶幻方就是一个魔鬼幻方。法国数学家密克萨(Francis L. Miksa)发现5阶幻方中有3600种魔鬼幻方,而且他已全部制表列出。


6. 她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:双重幻方

下图是一个双重幻方,即把其各方格中数字平方后得到的新方阵也是一个幻方。原幻方的幻和是260,新幻方的幻和是11180。20世纪初,法国人里列经过长期探索找到了近200个双重幻方。


5她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:

31

35

60

57

34

8

30

19

9

53

46

47

56

18

12

16

22

42

39

52

61

27

1

63

37

25

24

3

14

44

50

26

4

64

49

38

43

13

23

41

51

15

2

21

28

62

40

54

48

20

11

10

17

55

45

36

58

6

29

32

7

33

59


7. 她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:乘积幻方

下图是一个乘积幻方,即其各横行、直列、对角线上数字之和分别相等,同时,各数字之积也分别相等。该幻方的幻和是840,其各行数字乘积是2058068231856000


46她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:

81

117

102

15

76

200

203

19

60

232

175

54

69

153

78

216

161

17

52

171

90

58

75

135

114

50

87

184

189

13

68

150

261

45

38

91

136

92

27

119

104

108

23

174

225

57

30

116

25

133

120

51

26

162

207

39

34

138

243

100

29

105

152


8. 她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:六角幻方

前面所谈到的幻方都是正方形幻方,那么有没有正六边形的幻方呢?也就是说,能否在边长为n的正六边形内的各小六边形内填入不同的数字,使得各条直线上各数字之和都相等呢(称为n阶六角幻方)?1910年,有一个叫亚当斯的青年开始试图排出一个3阶六角幻方。

后来人们研究发现,只有当n=3时,六角幻方才是存在的。3阶六角幻方的幻和为38。


3她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:阶六角幻方

18

11

9

15

14

17

1

13

8

6

4

10

7

3

5

12

16

2

19


Thank You !她是一个“间隔幻方”,即相间地从大幻方中取出一些数字,可以组成小的幻方。比如:


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