第二章 平面力系

1. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 第二章 平面力系 • 第五讲 平面任意力系平衡方程的应用（一） • 第六讲 平面任意力系平衡方程的应用（二） • 第七讲 平面特殊力系的平衡方程 • 第八讲 静定与超静定问题物系的平衡 • 第九讲 考虑摩檫时的平衡问题

2. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 第五讲　平面任意力系平衡方程的应用（一） • 目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程 基本形式求解平衡问题。 • 教学重点：平衡方程的正确运用。 • 教学难点：对平衡方程的理解。

3. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 第二章   平面力系 • 一、平面力系的概念： • 1、平面力系:如果作用在物体上的所有力(包括力偶)均作用于同一平面内,这样的力系称为平面力系。如图(a)、(b)、(c)、(d)等 • 2、平面汇交力系:若所有力的作用线都汇交于一点，这类力系称为平面汇交力系。（如图(a)) •     3、平面平行力系:若所有的力的作用线均相互平行，这类力系称为平面平行力系。(如图(c)) •     4、平面任意力系:若力系中的力既不一定平行，又不汇交于一点，这类力系称为平面任意力系。(如图(b)、(d))

4. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 5、平面力偶系： 平面力系仅由力偶组成。

5. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 二、本章要研究的主要问题 1、刚体上平面力系的简化； 2、刚体的平衡方程； 3、平面力系平衡问题的解法； 4、超静定问题的概念； 5、摩擦和摩擦平衡问题。

6. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 §2-1  平面任意力系的简化 • 一、平面任意力系向任一点（简化中心）平移。 1、力系的简化依据－力的平移定理 2、力系的简化过程：如图(a)所示平面任意力系     根据力的平移定理，力平移后要附加一个力偶，其力偶的大小等于该力对简化中心之矩。这样，平移到简化中心的力组成一个平面汇交力系，所有附加的力偶组成一个平面力偶系。

7. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 3、平面汇交力系组成一个合力——主矢。根据 平面汇交力系求合力的公式可得主矢的大小和方向为 4、平面力偶组成一个合力偶——主矩。根据平面力偶系合成的公式可得主矩的大小为： Mo=M1+M2+...+Mn=∑Mo(F)=∑M

8. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 二、平面力系简化结果的讨论 1、主矢F’R≠0；主矩Mo＝0，简化结果为一合力，合力作用线通过简化中心O点。 2、主矢F’R＝0，主矩Mo≠ 0，简化结果为一合力偶，合力偶于简化中心的位置无关。 3、主矢F’R≠0，主矩Mo≠ 0，简化结果为一合力，合力的作用线用简化中心的距离为

9. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 三、平面力系向任意一点o简化举例 例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况如图(a)所示，已知F1=600N, F2=100N,F3=400N。试将力系向A点简化，并求出该力系的合力。

10. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 :以固定端A点为简化中心，求得力系在A点的主矢与主矩分别为： F’Rx=∑Fx=-F2+F3cos45°=-100-400cos45°=-382.8N     F’Ry=∑Fy=-F1+F3sin45° =-600-400sin45°=-882.8N • MA=∑MA(F)=∑MA(F1)+MA(F2)+MA(F3)     =-F1×0.4+0+(-F3sin45°×0.8-F3cos45°×0.3) =-600×0.4-400sin45°×0.8-400cos45°×0.3 =-551.1N.m

11. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 计算结果为图（b）所示。 本力系可以进一步简化为作用在另一点B的一个合力，其合力的作用线与A点的垂直距离为

12. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 §2-2  平面任意力系平衡方程的应用(一) • 一、平面任意力系的平衡方程： 当平面任意力系作用于物体上，并处于平衡时，平面任意力系向任一点简化所得的主矢和主矩都应该等于零，于是得到下列平衡方程的基本形式：

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14. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 二、解题步骤和方法： （1）确定研究对象，画受力图。    （2）选择座标轴和矩心，列平衡方程。    （3）解平衡方程，求出未知约束反力。

15. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 三、例题： 例1:如图所示悬臂梁，已知L＝2m，F=100N, 求固定端A处的约束反力。

16. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 （1）、取梁AB为研究对象。 • （2）、画出AB梁的受力图。 • （3）、建立直角坐标系Axy。 • （4）、列出平衡方程： • ∑Fx=0 FAX-Fcos30˚＝0 • ∑Fy=0 FAy-Fsin30˚＝0 • ∑MA(F)=0 MA-FLsin30˚＝0 • (5)、解平衡方程，求出未知量。 • 联立求解平衡方程得 • FAx=86.6 N • FAy=50 N • MA=100 N.m • 说明：计算结果为正，说明各未知力的实际方向均与假设方向相同。若计算结果为负，则未知力的实际方向与假设方向相反。

17. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 第六讲 平面任意力系平蘅方程的应用(二) • 目的要求：掌握利用二矩式、三矩式求解 平面任意力系的平衡问题。 • 教学重点：平衡方程的基本形式、二矩式、 三矩式的灵活运用。 • 教学难点：对平衡问题求解时，平衡方程 形式的选择。

18. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 §2-2  平面任意力系平衡方程的应用(二) • 前面介绍的平面任意力系平衡方程称为基本形式,又叫一般式。它有三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。 •   其实，只要平衡，各力在任意轴上的投影都等于零；对任一点之矩的代数和也等于零。即可以列若干个方程。但是，独立的平衡方程只有三个。平面一般力系独立的平衡方程还有其它两种形式：二矩式和三矩式。

19. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 1、平面任意力系的其他形式： • (1) 二矩式：（取矩的两点的连线不能与投影轴平行）      ∑Fx=0 （或∑Fy=0） ∑MA(F)=0    ∑MB(F)=0    • (2)三矩式：（取矩的三点不能在一条直线上）      ∑MA(F)=0      ∑MB(F)=0      ∑MC(F)=0

20. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 2、例题： 例1:悬臂吊车(a)所示，横梁AB长L＝2.5m。自重G1=1.2kN;拉杆CD倾斜角度α＝ 30˚，自重不计，电动葫芦连同重物共重G2=7.5kN。当电动葫芦在图示位置平衡，b＝2m，试求拉杆的拉力和铰链A的约束反力。

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22. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 （1）、选取横梁AB为研究对象。 •    （2）、画出横梁AB梁的受力图(b)。 •    （3）、建立直角坐标系Axy。 •    （4）、列出平衡方程： • ∑Fx=0 FAX-Fcosα ＝0 •     ∑Fy=0 FAy-G1-G2+FCDsinα＝0 •     ∑MA(F)=0 FCDLsinα–G1•L/2-G2.b＝0 • （5）、解平衡方程，求出未知量并讨论结果。 •          联立求解平衡方程得， • FCD=13.2kN（拉力） • FAX=11.43kN •       FAy=2.1kN

23. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 例2:如图(a)所示，已知定滑轮一端悬挂一物重G＝500N,另一端施加一倾斜角为30°的拉力FT,使物体A匀速上升。求定滑轮支座O处的约束力。

24. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 （1）、取滑轮O为研究对象。 •     （2）、画出滑轮O的受力图(b)。 •    （3）、建立直角坐标系Oxy。 •    （4）、列出平衡方程： •      ∑Fx=0  FRcosα-FTcos30˚＝0 •      ∑Fy=0  FRsinα-FTsin30˚-G＝0 • 其中 FT=G=500N • （5）、解平衡方程，求出未知量。 •     联立求解平衡方程得 • 因为FT为正值，所以FR的假设方向与实际方向一致，指向第一象限，与x轴的夹角为60°

25. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 例3 图（a）为某石油厂的卧式密闭容器结构简图。设容器总重量（包括 自重、物料重）等沿筒体轴向均匀分布，集度q＝20kN/m，容器两端端部折算重力为G=10kN,力矩为M=800kN•m,容器鞍座结构可简化为一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，容器力学计算简图如图b所示，试求支座A、B的约束反力。

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27. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 解 （1）、取容器整体为研究对象。     （2）、画出容器整体的受力图(c)。     （3）、建立直角坐标系Axy。    （4）、列出平衡方程     ∑Fy=0 －G－F－G+FA+FB=0     ∑MA(F)=0    G×1.5－M－F×9＋FB×18＋M－G×19.5＝0 式中 G＝10kN, M＝800kN•m， F＝q×20m＝400kN （5）、解平衡方程，求出未知量。     联立求解平衡方程，并代入已知量FA=FB=210kN 由于容器是个对称结构，所以A、B支座的反力相等。

28. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 第七讲  平面特殊力系的平衡方程 • 目的要求：掌握平面汇交力系、平面平行 力系、平面力偶系平衡问题的计算。 • 教学重点：掌握不同力系平衡方程的形式， 并能正确应用。 • 教学难点：平衡方程式的选择。

29. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 §2-2  平面任意力系平衡方程的应用(三) • 1、平面汇交力系：     由于各力的作用线都汇交于一点，显然，如果矩心选取在汇交点时力矩式是恒等式。因此，独立的平衡方程只有投影式。即 • (1)、平衡方程： ∑Fx=0     ∑Fy=0 •     (2)、例题：

30. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 例１：如图所示为一夹具中的连杆增力机构，主动力F作用于A点，夹紧工件时连杆AB与水平线的夹角ɑ＝15˚。试求夹紧力FN与主动力F的比值（摩擦不计）。

31. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系

32. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 分别取滑块A、B为研究对象 • 对滑块A 由∑Fy=0， －F+FABsinα＝0 解得 FR=F/sinα • 对滑块B 由∑Fx=0 ，F’ ABcosα–FN=0 因为　F’ AB=FAB 解得 FN=F’ ABcosα=FABcosα=Fcotα • 于是 FN/F=cotα=cot15˚＝3.73 • 分析：从FN/F=cotα的关系式可以看出， 当α愈小时，夹紧力与主动力的比值愈大。

33. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 2、平面力偶系：     由于力偶在任一轴上的投影都等于零，显然，投影式是恒等式。因此，独立的平衡方程只有力矩式。即 (1)、平衡方程： ∑M＝0 (2)、例题：

34. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 例2：用多孔钻床在以水平放置的工件上同时钻4个直径相同的孔（图a），设每个钻头作用在工件上的切削力偶矩的大小为M1=M2=M3=M4=M=15N.m。问此时工件受到的总切削力偶矩为多大？若不计摩擦，加工时用两个螺钉A、B固定工件，试求螺钉受力。

35. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 (a)                     (b)

36. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 （1）求总切削力偶矩 •     根据平面力偶系的合成求得工件所受总的切削力偶矩为 • M＝∑M＝－M1－M2－M3－M4＝－4M • =－4×15＝－60N.m • 负号表示合力偶矩的方向为顺时针。 • （2）求螺钉A和B受的力 •     取工件为研究对象，画出受力图（b）。 •     因工件在平面力偶系作用下处于平衡状态， •     由∑M＝0， •     可得 　　　M总+M(FA,FB)=0 • －60+FA×200×10－3＝0 FA=FB=300N •     (FA,FB方向如图所示) 螺钉A、B受力分别与工件点A、B受力FA、FB成反作用力

37. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 例3：电动机的功率是通过连轴器传递给工作轴的，连轴器是电动机转轴与工作机械转动轴的连接部件，它由两个法兰盘和连接两者的螺栓组成。如图2.9所示，四根螺栓A，B，C，D均匀分布在同一圆周上，圆周直径D=200mm。已知电动机轴传给连轴器的力偶矩M=2.5kN.m，设每根螺栓所受的力大小相等，即F1=F2=F3=F4=F。试求螺栓受的力。

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39. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解: 取法兰盘为研究对象，其上作用有主动力偶M以及4根螺栓的约束力F1，F2，F3，F4等，其受力图如图所示。 •     法兰盘在平面力偶系的作用下处于平衡， •     由平面力偶系的平衡方程得： •     ∑M＝0， • M+2×M(F1,F3)=0 • M-2×F1×D=0 • F=6.25kN • 所以4个螺栓受力均为F=6.25kN,与法兰盘上四点受力成反作用力． •     本题也可认为法兰盘受平面任意力系作用，列出平衡方程求解。

40. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 3、平面平行力系： 　　由于力系平行，在与平行力系相垂直的轴上的投影都等于零，显然，这个投影式是恒等式。 • 　　因此，独立的平衡方程只有一个投影式和一个力矩式。也可以用二力矩式。即 • (1)、平衡方程： ∑MA(F)=0      ∑MB(F)=0 （A、B两点的连线不能与力系平行） • (2)、例题：

41. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 例4：图示为起重机简图。已知:G＝700kN，最大起重量G1=200kN,试求保证起重机满载和空载时不翻倒的平衡块重。

42. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 (a)                            (b)

43. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解:首先，取起重机为研究对象，受力图如图(b)所示。 •   （1）、满载时（G1=200kN）     若平衡块过轻，则会使机身绕点B向右翻到， 因此须配一定重量的平衡块。临界状态下，点B悬空，FA=0,平衡块重应为G2min。     由 ∑MB(F)=0，得 G2min×（6+2）－G×2－G1×（12-2）＝0 解得 G2min＝425kN • （2）、空载时（G1=0）     此时与满载情况不同，在平衡块作用下，机身可能绕点A向左翻到，临界状态下，点B悬空， FB=0,平衡块重应为G2max。     由　∑MA(F)=0　得 G2max×（6－2）－G×(4+2)＝0 解得 G2max＝1050 kN。 •     由以上可知，为保证起重机安全，平衡块必须满足下列条件： 425kN<G2<1050kN 

44. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 第八讲  静定与超静定问题 物系的平衡 • 目的要求：掌握物系平衡的计算方法。 • 教学重点：能正确选择研究对象，绘受力 图，列平衡方程。 • 教学难点：研究对象的恰当选择是教学难点。

45. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 §2-3  静定与超静定问题  物系的平衡 • 一、静定与超静定问题的概念：     物体平衡问题计算中未知量的个数未超过独立平衡方程的个数，这类问题为静定问题。

46. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 如果未知量的个数多于独立平衡方程的数目，平衡方程就不能完全求解，这样的问题称为超静定问题。

47. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 二、物系的平衡： • 1、物系的概念：     多个物体通过约束方式组合在一起叫物体系统，简 称为物系。 • 2、物系平衡的计算方法：  （１）画出物体系统整体、局部及每个物体的受力图  （２）分析各受力图上未知力的个数及属于什么力系  （３）确定求解顺序 （４）列出平衡方程，求解未知量

48. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 3、例题： • 例1 一静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连接而成，支承和载荷情况如图a所示。已知F=20kN, q＝5kN/m，α＝45°。求支座A,C和中间铰B处的约束力。

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50. 《工程力学》——沙市大学建筑工程系 • 解 • （1）、分别选取横梁AB、BC和整体为研究对象。 • （2）、分别画出横梁AB、BC和整体的受力图 • （3）、建立直角坐标系Bxy、Axy等 。 • （4）、分别考虑梁BC和AB的平衡，列出平衡方程并求出相应的未知力