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第九章 应力状态理论

第九章 应力状态理论. 9-1 一点应力状态的概念 9-2 平面应力状态分析的解析法 9-3 平面应力状态分析的图解法 9-4 三向应力状态简介 9-5 广义虎克定律 9-6 平面应力状态的测定 9-7 复杂应力状态下的变形比能. 低碳钢 受扭产生平面断口. 铸铁 受扭产生 45° 螺旋面断口. 为什么?. 问题的提出. 内力计算. 找到 危险截面 位置. 应力计算. 找到 危险点 位置. 然而受力状态完全相同(即危险截面和危险点相同),破坏形态可能不同. 说明不同材料破坏的危险方位不同。.

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第九章 应力状态理论

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Presentation Transcript


  1. 第九章 应力状态理论 9-1 一点应力状态的概念 9-2 平面应力状态分析的解析法 9-3 平面应力状态分析的图解法 9-4 三向应力状态简介 9-5 广义虎克定律 9-6 平面应力状态的测定 9-7 复杂应力状态下的变形比能

  2. 低碳钢受扭产生平面断口 铸铁受扭产生45°螺旋面断口 为什么? 问题的提出 内力计算 找到危险截面位置 应力计算 找到危险点位置 然而受力状态完全相同(即危险截面和危险点相同),破坏形态可能不同

  3. 说明不同材料破坏的危险方位不同。 应力状态理论 解决危险方位的问题。

  4. m n 在纵向拉伸等直杆中截取的一段 x 由 得 斜截面上 当 当 当 讨论 §9-1 一点应力状态的概念 一、轴向拉压杆斜截面上的应力

  5. 在构件内部取一个微分六面体,代表一个点,分析 6 个微面上的应力,这个微分六面体称为单元体 二、一点应力状态 同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。 某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系,称为一点的应力状态 三、单元体概念 剪应力等于0的截面称为主平面;作用在主平面上的应力称为主应力。

  6. 三向应力状态(空间应力状态):三个方向的主应力都不等于0;三向应力状态(空间应力状态):三个方向的主应力都不等于0; 二向应力状态(平面应力状态):两个方向的主应力都不等于0; 单向应力状态:只有一个方向的主应力都不等于0 四、应力状态分类

  7. 平面初始应力状态包括 平面应力状态的简化表示 表示 §9-2 平面应力状态分析的解析法

  8. 设斜截面上的应力为 斜截面上的各参量的正负号规定 从 x 轴方向逆时针为正 拉应力为正;压应力为负 绕单元体顺时针为正,反之为负 一、任意斜截面上的应力

  9. 整理后 对三角形单元体建立平衡方程

  10. 将 的表达式对 求导: 可见在 的截面上,正应力具有极值(最大或最小) 主平面 主应力 由斜截面上的应力表达式可知 随 角度不同而变化, 都是 的函数,由此可求正应力和剪应力的极值。 二、主应力、主方位

  11. 令 得 将上式带入 的表达式: 即平面应力状态主应力、主方位表达式

  12. 三、剪应力极值、剪应力极值平面 将 的表达式对 求导: 将上式带入 的表达式: 即剪应力极值、剪应力极值平面表达式

  13. 由主应力方位角和剪应力极值方位角可知 即:剪应力极值平面和主平面夹角为45°

  14. §9-3 平面应力状态分析的图解法 一、应力圆方程 斜截面应力解析表达式 将公式的结构进行变换

  15. 观察方程 发现此方程为圆方程,圆心 半径 称此圆为应力圆。 由于应力圆最早由德国工程师莫尔(otto.mohr,1835-1918)提出,故又称为莫尔圆。

  16. 二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( ) (2)在坐标系内画出B1( )

  17. 二、应力圆作法 (3)A1B1连线与 轴交点即圆心O1 (4)以O1为圆心,以O1A1为半径画圆

  18. 三、斜截面应力 (1)过A1作A1K∥x轴,交圆于K点 (2)过K作KP∥n(斜截面法线),交圆于P点 则P点的坐标为

  19. 四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面 应力圆与应力状态的对应关系 应力圆与x轴的交点横坐标即为正应力极值 KA和KB的射线方向即主平面法线方向 图示主应力状态

  20. 过圆心作垂直于x轴的线,与圆交点为Q和Q’,两点的纵坐标即为剪应力极值过圆心作垂直于x轴的线,与圆交点为Q和Q’,两点的纵坐标即为剪应力极值 KQ和KQ’的射线方向即剪应力极值平面法线方向 图示剪应力极值应力状态

  21. 例题1:取梁截面中C点的应力状态进行分析, C点的应力状态如图,用解析法求解 ,并用图解法验证。 解:

  22. 图解法验证 作C点应力状态的应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。 查A点和B点的横坐标数值,即可得到主应力为26 MPa和-96 MPa,测量KA及KB与x轴的夹角,即可得到主平面方位角为27.5°和117.5°; 查Q点和Q’点的横坐标数值,即可得到剪应力极值为± 61 MPa,测量KQ及K Q’与x轴的夹角,即可得到剪应力极值平面方位角为27.5°和117.5°;

  23. 例题2:已知某点应力状态如图,用解析法求 并用图解法验证。 解:解析法求解

  24. 图解法验证 作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。 过K点作直线与x轴呈30°角,与圆的交点的坐标即 查A点和B点的横坐标数值,即可得到主应力为51.7 MPa和-36.7 MPa 查Q点和Q’点的横坐标数值,即可得到剪应力极值为± 44.2 MPa

  25. §9-4 三向应力状态简介 只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态 一、三向主应力状态的应力圆

  26. 二、三向主应力状态的最大剪应力 最大剪应力由 和 决定 最大剪应力方位角,与 相差45°

  27. 三、斜截面上的应力 与三个主平面成任意角度的斜截面上的正应力和剪应力,可以用 坐标系某一点的坐标值表示。 该点位于三个应力圆所围成的阴影范围内。

  28. §9-5 广义虎克定律 一、 广义虎克定律 (一)、 单向应力状态下的虎克定律

  29. (二)、 复杂应力状态下的虎克定律

  30. 二、 体积应变 三向主应力状态下的虎克定律 设变形前六面体边长分别为 则六面体原始体积为

  31. 变形后六面体边长分别为 受力后体积为 略去高阶微量后 ——体积应变

  32. 将主应力下的广义虎克定律代入体积应变公式 ——体积弹性模量 ——平均应力

  33. §9-6 平面应力状态的测定 一、平面应力状态的虎克定律 由上公式可知:只要确定了 则该点的应力状态就随之确定了

  34. 二、平面应力状态的测定 平面应力状态任意斜截面上的线应变,可以表示为 将 代入上式,得 此式表明:可以由任意三个方向得线应变表示剪应变

  35. 所以只要确定一点任意三个方向的线应变,就可以确定该点的应变分量和应力分量。所以只要确定一点任意三个方向的线应变,就可以确定该点的应变分量和应力分量。 试验测定中使用应变花进行平面应力状态的测定。 分别测定三个线应变 即可确定该点的应力状态

  36. §9-7 复杂应力状态下的变形比能 一、变形比能 变形比能:单位体积的变形能。 量纲分析 三向应力状态时

  37. 由三向应力状态虎克定律知 所以

  38. 二、体积变形比能和形状改变比能 把三向应力状态作如下分解 其中: 称为平均应力。 同时把变形比能分成两部分,体积改变比能uv和形状改变比uf能,即: 其中:

  39. 例题3:如图的刚性支座内放置一铅块,大小为1×1×1cm,材料泊松比μ=0.33,弹性模量E=70 GMPa. 求: 解:由题意知 由广义虎克定律 所以

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