數學史融入數學教學之策略概述 ( 二）

1. 數學史融入數學教學之策略概述(二） 報告人：陳冠良

2. 基本教學策略--提供銘言佳句 • 『如果你解不出某道題，那你一定是有一個更容易的問題尚未解決—找到它』－G.Polya • 『在大部分的科學中，新舊的更迭替換很明顯，但唯有在數學領域裡，每個世代的數學家卻在既有的結構中添加新的內容。』－Hermann Hankel • 『數學家和詩人、畫家一樣，是模式製造家』－ G.H.Hardy • 『數學之於自然界，有如福爾摩斯之於線索』－Ian Stewart • 『沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現』 －牛頓 • 『對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學者的壽命』 －P.S.拉普拉斯

3. 基本教學策略--提供銘言佳句 • 『教發現、教猜測、教合情推理，讓我們先教猜測吧』 － G.Polya • 『如果你不立足於大自然這個很好的基礎，那麼你的勞動將無裨於人，無異於己』 Leonardo de Vinci • 『數學發明的動力不是理性，而是想像』－A.de Morgan • 『只要代數和幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是，當這兩門科學結合成伴侶時，它們互相吸取對方的新鮮活力，並迅速地區於完善。』－J.L. Lagrange • 『音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受。』－G. Leibniz

4. 基本教學策略--提供銘言佳句 • 『了解Archimedes與Appolonius的人，對後代傑出人物的成就就不會再那麼欽佩了。』－G. Leibniz • 『在我看來，一個人如要在數學上有所進步，它必須向大師們學習，而不應向徒弟們學習。』－N.H.Abel • 『他以幾乎神一般的思維，最先說明了行星運動和圖像，彗星的軌道和大海的潮汐。』－Newton墓誌銘

5. 基本教學策略--引入另類解法 • 畢氏定理之證明： • 《周髀算經》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高（約前1120）答周公問中有「勾廣三 ，股修四，經隅五」 • 三國的趙爽（約3世紀）， 在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文，而被保留於該書之中）。運用弦圖， 巧妙的證明了勾股定理。他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫 做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實』

6. 基本教學策略--引入另類解法

7. 基本教學策略--引入另類解法 • 劉徽的證明 公元三世紀時的三國時代數學家劉徽在《九章算術》第九章「勾股」的勾股術「勾股各自乘、並而開方除之，即弦。」作注： 「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」 朱方＝a2 青方=b2

8. 基本教學策略--引入另類解法 • 歐幾里得證明： • 在△ABC的三邊上分別向外作 正方形BCDE、ABFG、ACKH 過A作的垂線分別與、交於LM • △BCF與△BDA全等(SAS) • ∴SABFG= SBDLM • 同理 SCAHK＝SMLEC • ∴SABFG＋SCAHK＝SBDLM＋SMLEC＝SBCDE • 即AB2＋AC2＝BC2

9. 基本教學策略--引入另類解法 • 如圖：直角△ABC中，∠C＝90O （1）ch=2△ABC=ab，h＝ （2） （3） （2）＋（3）＝ ＋ ＝1 （h＝ ） ＝ ＝ ∴

10. 基本教學策略--引入另類解法 • 【好的圖形勝過千言萬語】 a b c a b

11. 基本教學策略--引入另類解法 • 從文本中找靈感： • 埃及數學：雷因草紙卷（Rhind Papyrus）話說在 1858 年，英國人雷因在埃及古都的廢墟中發現了一本以象形文字寫成的紙草書。這部紙草書幅面長 550 cm，闊 33 cm。經鑑定後，發現是至今流傳的兩本最古的埃及數學著作之一。此書的作者阿默士是古埃及的祭司，他在書中寫著：「這本書的很多內容，是從金字塔時代一份更古老的文獻中抄出來的。」 在阿默士的紙草書中，提供了 80 多道數學問題的解答方案，內容範圍包括：四則運算、解方程、面積、體積等等，充份展示了古埃及人的數學智慧。此外，書中也採用了一套有趣的記數符號：

12. 基本教學策略--引入另類解法 • 今有昆仲季三人，昆謂季曰：汝年紀比我四分之三，二弟年紀比我六分之五多於汝四歲，問各年若干？ 荅曰：昆四十八歲，仲四十歲，季三十六歲。 法曰：置六分為甲衰，四歸三因得四分半為丙衰，五為乙衰，於乙衰內減丙衰餘五，以除四歲得八，以乘各衰合問。 其解法為：昆取6則仲為5季為4.5，二弟多於季4歲但依上述僅多0.5，則應乘8倍，故三人各為48,40,36歲。

13. 基本教學策略--引入另類解法 • 今有羅九千九百五十四匹，令甲乙丙三七分之，問若干？ 答曰：甲：六千一百七十四匹，乙：二千六百四十六匹，丙：一千一百三十四匹。 法曰：置總羅為實，別置一數以七為法，二次乘之得甲衰四十九，三因七歸得乙衰二十一，三因七歸得丙衰九，併得七十九為法，除實得一百二十六匹，以乘各衰得，合問。 • 解法一：甲衰為72，乙衰為 • 丙衰為9954÷（49＋21＋9）＝162 再乘各衰 • 即由大到小，有n項，則首項之衰為

14. 基本教學策略--引入另類解法 • 一法：置一以三為法，二次乘之得丙衰九，三歸七因得乙衰二十一，甲衰四十九，亦得。他皆倣此 解法二：丙衰 乙衰 甲衰 即由小到大，有n項，則首項之衰為

15. 基本教學策略--引入另類解法 • 一法：置一以七為法欲先求下衰則以三為法三次乘之三位則三次，九位則九次，得首位衰次，三因七歸得各衰甲三百四十三、乙一百四十七、丙六十三，併得五百五十三為法，除羅，得十八，以乘各衰，亦得。下亦倣此 • 解法三：置一以七為法（求下衰則以三為法）， n項則n次，得首位衰次 • 如：甲衰 ，乙衰 丙衰 • 直接假設： 由大到小，有n項，則首項之衰為 由小到大，有n項，則首項之衰為

16. 基本教學策略--貼近文本 • 貼近文本：可以讓學生對數學較有真實感，是活生生有『溫度』的。

17. 基本教學策略--貼近文本

18. 基本教學策略--貼近文本

19. 基本教學策略--貼近文本

20. 基本教學策略--與生活脈絡連結 • 與生活脈絡連結：以同餘結合美術創作（學生家中地磚鋪設可DIY）

21. 基本教學策略--與生活脈絡連結

22. 基本教學策略--與生活脈絡連結 • 數學和藝術設計的結合，提供一個豐富的環境讓學生去探索，我們若以數學符號及規則，結合藝術家的符號，如：顏色、線條、形狀及構圖，可以激發學生的創造力及引發學習動機，並增進學生對數學結構的了解與應用。

23. 進階教學策略--歷史「花絮」 • 歷史「花絮」（snippets），譬如數學家的趣聞軼事、數學問題的起源以及古今方法的簡單對比等等。 • 有關數方面：畢氏學派對單個數字做了有趣的對比和詮釋。例如：「一」代表理性，因為理性只能產生於一個連續的整體；「四」等同正義，將徵方形與正義聯繫在一起，「五」象徵婚姻，它是第一個奇數和偶數之和；「10」是完美的數，因為10＝1+2+3+4連續四整數之和。220和284是一對親和數，因為一個數是另一個數的真因數之和，據說寫上這種數的藥丸可以當做春藥來使用。

24. 進階教學策略--研究專案 • 學生以歷史文獻為本的研究專案（project work），譬如下列專題『一次方程式：歷史的回顧』、『任意角三等分』、『何謂代數學？』以及『歐幾里得 vs.劉徽』等等，都可以讓學生組成小組，寫出專案研究報告。

25. 進階教學策略--原始文獻 • 數學史的原始文獻（primary sources），譬如【幾何原本】與【九章算術】的研讀與討論等。

26. 進階教學策略--練習題 • 練習題（worksheets），其設計通常圍繞著簡短的歷史選粹（historical extracts），伴隨著歷史背景的說明，再輔以了解數學知識內容的問題、所涉數學議 題的討論、今昔解法或處理的比較，以及這些選粹中的題解（solving problems）或 它們所引發的類似題解。

27. 進階教學策略--歷史套裝 • 提供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historical packages），譬如『古代數碼與數系』，『古埃及算術』，『圓周長』，『巴比倫的二次方程解法』以及『九章算術的分數計算』等等。

28. 進階教學策略—歷史關鍵點 • 恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念（alternative conceptions）、觀點的改變（change of perspective）、隱含假設的修訂（revision of implicit assumptions）以及直觀論證（intuitive arguments）等等。 • 理髮師的悖論：羅素悖論導致第三次數學危機。 • 羅素悖論：某村有一理髮師，他只給且必須給不是 自己剃頭的人理髮，請問理髮師的頭應由誰來剃？ • 第一次數學危機：不可公度量，導致無理數的產生。 • 第二次數學危機：微積分導致極限和實數理論的建立。

29. 進階教學策略--回到過去 • 回到過去的數學實驗活動，譬如使用古代的記號、方法及論證，來學習數學。 • 假如你是一位考古學家，正在兩河流域做學術研究，有一天你和你的工作小組發現了一塊巴比倫的泥版（如下圖），你要如何解讀該泥版呢？請於小組討論後，作一次五分鐘的心得報告。

30. 進階教學策略--回到過去 • 泥板上的幾何題 • YBC 7289是一張標有數字的正方形（如上圖），正方形邊長為30（以a表示），對角線上的數字分別表示對角線長d（42；25，35）和的近似值。驗證這些符號的關係d=a，這裡1；24，51，101.414213 是相當精確的逼近

31. 進階教學策略--讀書會 • 讀書會：「上窮碧落下黃泉，動手動腳找文章。」 古墓奇兵2 ＝希臘神話＋電玩

32. 進階教學策略 • 數學話劇：編劇本模擬數學家的思維或生活。 • 多媒體工具：教學影片或電影。 • 戶外數學古蹟的教學活動： • 利用網路搜尋資料： • 歷史上的問題，譬如『古希臘三大作圖題』、不同文明所提供的畢氏定理證明，以及引出解析數論的質數定理等等。

33. 數學史融入數學教室之方式的解析性綜述 註：進階教學策略及上圖，參考HPM通訊第二卷第四期

34. 數學史教學的四個面向：ABCD • A（anecdote）：軼事 • B（broad outline）：寬廣的綱要 • C（content）：內容、內涵 • D（development of mathematical idea）：數學概念的發展

35. 數學史素材檢測或教學上的分析 • 素材的組織、一連串有順序的主題或特殊的問題。 • 教學上的討論和激勵的技巧。 • 圖示、插圖（實例）、生動的素材：有助於概念的取得和強化（grasping）。 • 有形的教具或視覺化教具（visual aid）之運用，可以直接或間接澄清數學概念或使數學概念更清楚。

36. 數學教學中引入數學史的流程

37. Work card設計原則： • 設計懸疑： • 設計矛盾： • 設計幽默： • 設計驚奇： • 設計競爭： • 故設思維障礙： • 添加思維階梯：鋪路搭橋

38. 反思 • 解題策略： 1.一題多解： 2.迂迴戰術：間接、正反面 • 情境佈題： 1.生活化： 2.簡單化：可操作性 • 問題超連結： 1.質問力：問題意識 2.利用故事驅動好奇心與動機：

39. 反思 • 吾人認為如何引發學生願意與數學對話，不妨嘗試由說故事做起，古往今來人們對於故事的喜好是不減的。希臘神話故事、安徒生童話、奇聞軼事、稗官野史，每一個民族都有屬於自己的故事，筆者認為數學教師也要培養說故事的能力，等孩子願意帶著期待的心情來對話時，我們再來談一題多解、方程式、開方術吧！ • 對於引人入勝、扣人心弦的小說、戲劇、電影皆能吸引廣大的讀者或觀。他們的情緒、思維會隨著故事的情節而變動，深刻的內容能與心靈產生交互作用，數學課堂上講述數學史時，老師一定要投注熱情，將所講的內容根據學生的認知程度給予適當地改編，最後不要忘了最終的目的－教數學，故欣賞與練習要並行。

40. 反思 • 從對數學史的研究中，吾人深刻的感覺到對話的重要性，研究數學文本也是一種對話，在這一層的對話之中，讓我們儘量拋棄自以習以為常的脈絡，去貼近對方的脈絡。最有趣的是，對話中又有對話，一層層的對話，產生一個接著一個的問題，吾人喜歡稱它們為「故事」，這樣是比較有「溫度」的、有想像空間的。反觀現今的數學教育，我們似乎只要求學生們與題目對話，這樣的對話學生當然與數學的距離愈來愈遠，《鸚鵡定理－跨越兩千年的數學之旅》一書，其中如此寫著： 離奇的事情接二連三發生，魯西的老友在巴西雨林中被 燒死，死因極可能與「費瑪最後定裡」的證明有關，他留下一封迷一般的信，但解謎關鍵必須在那批數學藏書中追尋。

41. 參考資料 • 李文林主編，數學珍寶—歷史文獻精選，台北：九章出版社 • 世界數學簡史，凡異出版社 • 美索不達米亞藝術，台北：藝術家出版社 • 巴比倫的智慧，台北：林鬱出版社 • 世界博物館巡禮，台北：錦繡出版社 • 洪萬生 (1999).《從李約瑟出發》，台北：九章出版社。 • 洪萬生 (1998).《畢氏定理淺談》，《HPM台北通訊》第二卷第二、三期。 • 李文林 (2000).《數學珍寶》，台北：九章出版社。 • 蕭文強 (1995). 《為什麼要學習數學》，台北：九章出版社。 • 趙良五 (1995).《中西數學史的比較》，台北：商務出版社 • 李儼、杜石然 (1997).《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社。 • 歐陽絳 (1994).《數學的藝術》，台北：九章出版社。 • M.KLINE著， 張祖貴譯(1995).《西方文化中的數學》，台北：九章出版社。 • 劉雲章 (2001).《數學明珠》，台北：凡異出版社。 • 岡部恆治著，劉雪卿譯 (1999).《用漫畫來學數學》，台北：國際村文庫書店有限公司。 • 陸思明，陸思溫 (1998).《數學嘉言繽紛錄》，台北：建宏出版社。 • 張景中 (1995).《平面幾何新路》，台北：九章出版社。 • Ian Stewart著，蔡信行譯 (2000).《生物世界的數學遊戲》，台北：天下文化出版社。 • Arthur F. Coxford .’Connecting Mathematecs across the Curriculum‘ Peggy A.House (1995)。