矢量、矢量场和梯度算子

1. 矢量、矢量场和梯度算子

2. 坐标变换 坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标： 坐标系 Ox’y’z’ 任一点 P 的坐标： 坐标变换 什么是矢量？

3. 标量与矢量的定义 定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量 例子：质量m、电荷q、温度、Newton时间t， etc. 推论：如果 a 和 b 是两个标量，则 a+b 和 ab 也都是标量。 定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样， 则称其为矢量。即 矢量的表示: 推论：位矢是一个矢量 什么是矢量？

4. 标量与矢量运算 如何由给定的标量和矢量得到新的标量和矢量。 设 a、b为标量， 为矢量。 其分量定义为 数乘： 其分量定义为 矢量和： 矢量的线性组合仍然是矢量 推论:位移、速度、加速度、动量等物理量是矢量 力为矢量是一个物理的假设，而不是数学的推论 矢量运算

5. 标量与矢量运算(续) 标量积： 矢量的长度： 证明： • 推论：动能 、功 是标量 • 如果对于任意矢量 是一个标量，则 必是某个矢量 的分量。 矢量运算

6. 标量与矢量运算(续) 矢量积： 证明： 推论：角动量 、力矩 是（赝）矢量。 矢量运算

7. 标量与矢量运算(续) • 标量积的几何意义： 证明： • 矢量积的几何意义： 大小为 ，即两个矢量张成的平行四边形的面积，方向满足右手法则。 θ为两个矢量之间的夹角： 矢量运算

8. 单位基矢 • 单位基矢： • 单位基矢的变换： • “完整”的矢量 • 指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义 • 突出了矢量是坐标变换下得不变量 矢量运算

9. 矢量的混合积 的大小为三个矢量所张成的平行六面体的体积，正负取决于这三个矢量是否满足右手法则确定。 矢量运算

10. 标量场及其几何表示 标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的标量（数） +q 代数表示：函数 几何表示：等值面、等值线 +q -q +q -q -q -q -q -q +3q +q +q 什么是场？

11. 矢量及其几何表示 矢量场：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋予某个唯一的矢量 代数表示：函数 几何表示：箭头、场线 什么是场？

12. 场在空间某个方向上的变化率 φ在 方向上的变化率 方向导数 在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律 梯度算子

13. 场在空间某个方向上的变化率(续) 是一个矢量场的三个分量 梯度算子 φ在 方向上的方向导数 梯度算子

14. 梯度算子 梯度算子▽是一个矢量算子 • 梯度算子是一个矢量微分算符： • 作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则 • 作为算符，需作用于表达式中的所有对象 标量场梯度是一个矢量场： 矢量场散度是一个标量场： 矢量场旋度是一个矢量场： 梯度算子

15. 与位置有关的矢量微分公式 证明： 梯度算子

16. 与梯度算子有关的一些矢量恒等式 梯度算子

17. 关于梯度算子恒等式的符号法证明 例:用符号法证明 证 (1) 视为“算符”，分别作用φ和ψ（加上下标以示区别），得两项： (2) 视 φ矢和 ψ为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方： (3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得 证毕 梯度算子

18. 梯度算子 补例:用符号法证明 证 (1) 视为“算符”，分别作用φ和（加上下标以示区别），得两项： (2) 视 φ 矢和 A为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方： (3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得 证毕 梯度算子

19. 梯度算子 补例:用符号法证明 证 (1) 视为“算符”，分别作用A 和B（加上下标以示区别），得两项： (2) 视 A 矢和 B为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方： (3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得 证毕 梯度算子

20. 梯度算子 补例:用符号法证明 证 (1) 视为“算符”，分别作用A 和B（加上下标以示区别），得两项： (2) 视 A 矢和 B为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方： (3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得 证毕 梯度算子

21. 场随空间的二阶变化 ① 矢量场散度 是标量场： ② ③ 矢量场旋度 是矢量场： 标量场梯度 是矢量场： ⑤ ④ ④ Laplace(标量)算符 是一个矢量场，其分量为 梯度算子

22. 场随空间的二阶变化 ① 矢量场散度 是标量场： ② ③ 矢量场旋度 是矢量场： 标量场梯度 是矢量场： ⑤ ④ ⑤ ② ③ 标量场的梯度是无旋场： 矢量场的旋度是无源（散）场： 梯度算子