立体几何初步

1. 立体几何初步 1．2　点、线、面之间的位置关系 1．2.4　平面与平面的位置关系

3. 木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面和水平面平行，想一想，这是依据什么道理？木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面和水平面平行，想一想，这是依据什么道理？ 如下图，检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否是和这个面密合就可以了，你知道这是为什么吗？

5. 1．两个平面之间有两种位置关系：(1)两个平面平行——__________；(2)两个平面相交——______________.1．两个平面之间有两种位置关系：(1)两个平面平行——__________；(2)两个平面相交——______________. 2．(1)画两个平行平面时，表示平面的平行四边形______________； (2)画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的相交两边，再画出表示两个平面相交的线段，然后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成______________． 1．(1)没有公共点　(2)有一条公共直线 2．(1)对应边平行　(2)虚线或不画

6. 3．两个平面平行的判定定理 文字语言：如果_____，那么这两个平面平行； 符号语言：若______________，则β∥α. 4．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备的两个条件是：①______________；②______________. 5．由两个平面平行的判定定理可以得到推论：如果___________，那么这两个平面平行．即a∥a′，b∥b′，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，α'⊂β，b'⊂β⇒α∥β. 3．一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，a∩b＝P 4．有两条直线平行于另一个平面　这两条直线必须相交 5．一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线

7. 6．两个平面平行的性质定理 (1)文字语言：如果____________，那么所得的两条交线平行，简记为：“若面面平行，则线线平行”． (2)符号语言：若__________________，则a∥b. (3)若两个平面平行，则其中一个平面内的__________，简记为：“若面面平行，则线面平行”．用符号表示是：若______________，则______________． (4)若两个平面平行，则夹在两个平行平面间的____． (1)两个平行平面同时和第三个平面相交　 (2)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b (3)任一直线必平行于另一个平面α∥β，a⊂αa∥β (4)平行线段长度相等

8. 7．________________________叫做这两个平行平面的公垂线；__________________叫做这两个平行平面的公垂线段；______________叫做这两个平行平面的距离．7．________________________叫做这两个平行平面的公垂线；__________________叫做这两个平行平面的公垂线段；______________叫做这两个平行平面的距离． 8．二面角的概念：_____的图形叫二面角． 7．与两个平行平面都垂直的直线　公垂线夹在这两个平行平面间的线段　公垂线段的长度 8．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所成

9. 9．(1)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作_______叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是________，其中当两个半平面重合时，平面角为0°；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180°.9．(1)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作_______叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是________，其中当两个半平面重合时，平面角为0°；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180°. (2)作出二面角的平面角时应抓住三个要素：①______；②______________；③______________. (3)求二面角的平面角的大小步骤是：①__________；②______________；③______________. (1)垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB[0°，180°](2)确定二面角的棱上一点　经过这点分别在两个面内引射线　所引的射线都垂直于棱　 (3)作出(或找出)二面角的平面角　证明这个角是二面角的平面角　作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角

10. 10．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的______________，那么这两个平面互相垂直．简称：若线面垂直，则面面垂直． (2)符号语言：若____________________，则α⊥β. (1)一条垂线　 (2)直线AB⊂平面α，AB⊥平面β，垂足为B

11. 11．两个平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内______________的直线垂直于另一个平面． (2)符号语言：若____________________．则AB⊥β. (3)该定理成立的条件：①______________；②______________，这两个条件缺一不可． (1)垂直于它们交线　 (2)平面α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α且AB⊥CD于B (3)线在平面内　垂直于交线的直线

13. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 该定理是证明两个平面平行的重要方法，定理告诉我们“欲证明两个平面平行只需证明一个平面内的两条相交直线同时与另一个平面平行即可，而证明线面平行只需要证明线线平行”，其证明思路为：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．同学们要注意在面面平行的证明中要善于和线线平行、线面平行的概念、判定进行类比总结，要特别注意转化思想的灵活应用．

14. 两个平面平行的判定定理的推论是： (1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．用数学符号表示为a∥a′，b∥b′，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，a′⊂β，b′⊂β⇒α∥β； (2)如果两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．

15. 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．简称“若面面平行，则线线平行”． 该定理给出了两个平行平面所具备的性质，是证明线线平行和线面平行的重要依据．结合线面平行的判定定理我们可以得出两个平面平行的另一条性质，即“若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面”，“两个平行平面内的所有直线并不一定相互平行，也可能是异面．”这一点同学们要谨记．

16. 二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是[0°，180°]． 二面角大小的度量方法是通过二面角的平面角来表示的，应当特别指出的是∠AOB的特征是：①“OA⊥l，OB⊥l”；②∠AOB的大小与点O在l上的位置无关．

17. 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为直线与平面垂直的问题进而转化为线线垂直的问题．定理体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”互相转化的数学思想．另外，利用定义证明两平面垂直也是一种常用的方法，即通过计算给出证明．

18. 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 从性质定理可以看出，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直．而由判定定理可以看出，由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直其转化关系可表示为： 这种相互转化关系是解决空间图形问题的重要思想方法．该定理也可以视为直线和平面垂直的判定定理，运用该性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．

20. 判定两平面的位置关系 在以下四个命题中，正确的命题是_______． ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行； ③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行； ④平面α内的两条相交直线和平面β内的两条相交直线分别平行，则α与β平行．

21. 分析：需要对四个命题一一作出真假判断，而判断时要应用两个平面平行的定义，因此要严格对照定义，不满足定义的则应从反面进行思考，即举反例进行判断．分析：需要对四个命题一一作出真假判断，而判断时要应用两个平面平行的定义，因此要严格对照定义，不满足定义的则应从反面进行思考，即举反例进行判断． 解析：如下图(1)，正方体ABCD－A1B1C1D1中对于①平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E、F，连EF，则知EF∥平面A1B1C1D1但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．

22. 对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故②是错的．对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故②是错的． 对于③，如上图(2)，平面α∩平面β＝l，△ABC⊂平面α，A、B、C三点到平面β的距离有可能相等，但α与β不平行，故③是错的．对于④，命题是正确的，故填④. 规律总结：利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系的有关命题的真假，因此我们要善于灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系．另外像判定直线与直线、直线与平面位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法，特别是在刚刚接触它时．

23. 变式训练 1．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是________． 解析：如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形． 答案：平行或相交

24. 两平面平行的判定 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD. 分析：有两种方法可行。①由于M、N、P都为中点，故添加B1C、B1D1作为联系的桥梁．②易证AC1⊥平面PMN. 答案：证法一：如图(1)，连接B1D1、B1C. ∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD.

25. 又PN⊄面A1BD， ∴PN∥平面A1BD. 同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N， ∴平面PMN∥平面A1BD.

26. 证法二：如图(2)，连接AC1、AC. ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD， ∴AC为AC1在面ABCD上的射影， ∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B， ∴AC1⊥平面A1BD. 同理可证AC1⊥平面PMN， ∴平面PMN∥平面A1BD. 规律总结：本例的证明体现了证明面面平行的两种常用方法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题转化为证线面平行或线线平行．

27. 变式训练 2．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点． 求证：平面DEF∥平面SAB. 证明：∵EF为△SBC的中位线， ∴EF∥SB. ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理DF∥平面SAB，EF∩DF＝F. ∴平面SAB∥平面DEF.

28. 两平面平行的性质定理 如右图，已知两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、γ相交于点A、B、C和点P、Q、R，又AR、CP与平面β分别相交于点N、M. 求证：四边形MBNQ为平行四边形． 分析：要证四边形MBNQ为平行四边形，只需证明两组对边分别平行即可，而四边形的两组对边分别为两个平面的交线，可以由面面平行的性质定理解决．

29. 证明：连接AP.∵α∥β， 平面ACP∩平面α＝AP，平面ACP∩平面β＝BM， ∴BM∥AP.同理QN∥AP. ∴BM∥QN.同理可证BN∥MQ. ∴四边形MBNQ为平行四边形．

30. 规律总结：(1)通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线和与已知直线平行的平面．规律总结：(1)通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线和与已知直线平行的平面． 证明线线平行现在主要有以下几种方法：①定义法；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理以及性质定理的几个推论，在以后还将学习到线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行． (2)利用面面平行的性质定理判定两直线平行的程序是：①先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；②判定这两个平面平行；③再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；④由定理得出结论．

31. 变式训练 3．已知：如下图，平面α∥平面β，直线a、b是异面直线，a与α、β分别交于A、B两点，b与α、β分别交于C、D，E、F分别为AB、CD的中点． 求证：EF∥平面α.

32. 证明：如右图，过点E作GH∥CD，G、H分别在平面α、β内，连接GC、HD，则四边形GHDC是一个平面四边形，证明：如右图，过点E作GH∥CD，G、H分别在平面α、β内，连接GC、HD，则四边形GHDC是一个平面四边形， ∵平面GHDC∩平面α＝CG，平面GHDC∩平面β＝HD， 又α∥β，∴CG∥HD， 故四边形GHDC是平行四边形． ∵E、F分别是GH、CD的中点， ∴EF∥GC. ∵GC⊂α，EF⊄α，∴EF∥平面α.

33. 利用二面角解决相关问题 如右图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O求： (1)AO与A′C′所成角的度数； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．

37. 平面与平面垂直的性质及其应用 已知：如下图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

38. 分析：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．分析：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解． 证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， ∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP. DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面ABC.

39. (2)连接BE并延长交PC于H. ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE. ∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．

40. 变式训练 4．如下图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．

41. 证明： (1)∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB1C1C， ∴AD⊥侧面BB1C1C. ∴AD⊥CC1. (2)延长B1A1与BM交于点N，连接C1N. ∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1. ∵A1C1＝A1N＝A1B1， ∴C1N⊥侧面BB1C1C. ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

44. 基础巩固 平面与平面平行的判定定理和性质定理 1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面的位置关系可能为________． 解析：过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面． 答案：平行、相交

45. 解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算．解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算． 答案： 能力升级 平面与平面平行的综合应用 7．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．

46. 您 祝 学业有成