Dane informacyjne
Download
1 / 27

Dane INFORMACYJNE - PowerPoint PPT Presentation


  • 85 Views
  • Uploaded on

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Zespół Szkół budowlanych im. Kazimierza Wielkiego w Szczecinie ID grupy: 97/26_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: 2011/2012. Silnia.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Dane INFORMACYJNE' - layne


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Dane informacyjne
Dane INFORMACYJNE

  • Nazwa szkoły: Zespół Szkół budowlanych im. Kazimierza Wielkiego w Szczecinie

  • ID grupy: 97/26_mf_g1

  • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna

  • Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

  • Semestr/rok szkolny: 2011/2012


Silnia
Silnia

Dla n>1 symbol n! (czyt.: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.

n!=1·2·3·4·……·n

Przyjmujemy, że:

0!=1

1!=1

Przykład. Oblicz.

2!=2

3!=1·2·3=6

4!=1·2·3·4=24

5!=1·2·3·4·5=120

6!=1·2·3·4·5·6=720

7!=1·2·3·4·5·6·7=5040

8!=1·2·3·4·5·6·7·8=40320

9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9=362880

10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10=3628800


Dane informacyjne

Przykład. Wykonaj działania.


Permutacje
Permutacje

Permutacją n-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy

n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

Permutacje n-elementowe oznaczamy: Pn

Pn=n!

Dowód

Dowód wymaga zastosowania zasady indukcji matematycznej. Dla n=1 wzór jest prawdziwy bo jeden obiekt można ustawić tylko na jeden sposób. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla k, tzn. liczba permutacji zbioru k elementowego jest równa k!. Wykażemy, że wzór jest prawdziwy dla k+1, tzn. że liczba permutacji zbioru k+1 elementowego jest równa (k+1)!.

Ponieważ, na pierwszym miejscu można ustawić każdy spośród k+1 elementów, a na dalszych miejscach położyć dowolną permutację pozostałych k elementów, więc łącznie mamy (k+1) · k! = (k+1)! permutacji. Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych.


Dane informacyjne

Przykład. Na ile sposobów można rozdzielić role pomiędzy 4 aktorów: A,B,C,D?

Jeżeli role ponumerujemy –rola pierwsza, druga, trzecia i czwarta – to zauważymy dokładną odpowiedniość pomiędzy możliwymi obsadami a permutacjami zbioru złożonego z elementów A,B,C,D. Na przykład powierzając pierwszą rolę aktorowi A, drugą-C, trzecią-D, a czwartą aktorowi B, otrzymamy permutację ACDB. Zadanie sprowadza się zatem do obliczenia liczby permutacji zbioru czteroelementowego. Czyli 4!=24.

Przykład. Na ile sposobów można rozdzielić 3 role męskie oraz 2 kobiece pomiędzy aktorów A,B,C oraz aktorki L,M?

Role męskie można rozdzielić na 3!=6 sposobów, a role kobiece na 2!=2 sposoby. Ponieważ obsadę kobiecą można zestawić z dowolną obsadą męską, więc otrzymujemy 6 · 2 = 12 możliwych obsad.

Przykład. Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce?

P6=6!=1·2·3·4·5=120

Odp.: Pięć osób można ustawić na 120 sposoby.


Regu a mno enia
Reguła mnożenia pomiędzy 4 aktorów: A,B,C,D?

Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą decyzję mamy b możliwości, drugą – c możliwości , … , ostatnią – x możliwości , to wybór ten może być zrobiony na b · c · … · x sposobów.

Przykład. Ile poprawnych zdań można ułożyć według poniższego wzoru?

Odp.: 6·1·28·12·90·6=1 088 640.


Dane informacyjne

  • Przykład. Cyfry 2,3,5,6,7,8 ustawiamy w ciąg. Oblicz ilość możliwych ustawień cyfr w liczbie jeżeli:

  • liczby stoją na dowolnym miejscu

  • P4=6!=1·2·3·4·5·6=720

  • b) na pierwszym miejscu stoi cyfra 8

  • P3=5!=120

  • c) na pierwszym miejscu stoi cyfra 6, a na ostatnim cyfra 5

  • P2=4!=24

  • d) na początku są liczby parzyste

  • 3!∙3!=36


Dane informacyjne

  • Przykład. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest:

  • dowolna pięciocyfrowa

  • P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120

  • parzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 2 lub 4 lub 6)

  • 3∙4!=3∙24=72

  • podzielna przez 5 (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 5)

  • P4=4!=1∙2∙3∙4=24

  • nieparzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 3 lub 5)

  • 2∙4!=2∙24=48


Kombinacje
kombinacje cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest:

Symbol Newtona:

Jeżeli k≤n to wyrażenie (czytamy: n nad k) nazywamy symbolem Newtona.

PRZYKŁADY:


Dane informacyjne

KOMBINACJE: cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest:

Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego (k≤n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór utworzony z elementów zbioru n-elementowego. Kombinację oznaczamy .

Przykład. Oblicz.


Dane informacyjne

  • Przykład. Ile cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest:jest możliwych kombinacji dwu-elementowych zbioru:

  • 4-elementowego

  • b) 6-elementowego

  • c) 10-elementowego


Dane informacyjne

Przykład. Mamy grupę złożoną z 10 uczniów i nauczyciela. Na ile sposobów można spośród nich wybrać

Komisję 5-osobową złożoną z samych uczniów?

Komisję 5-osobową złożoną z 4 uczniów i nauczyciela?

Komisję 5- osobową o dowolnym składzie?

a) Wybór 5 uczniów spośród 10 jest możliwy na sposoby.

Ponieważ z założenia nauczyciel jest członkiem komisji, więc pozostaje wybrać 4

uczniów, co można zrobić na .

c) Można zauważyć, że każda taka komisja składa się albo z samych uczniów albo z 4 uczniów i nauczyciela. Wynik możemy uzyskać sumując dwa poprzednie czyli 462 sposoby.


Dane informacyjne

  • Przykład. nauczyciela. Na ile sposobów można spośród nich wybraćW klasie jest 10 dziewcząt i 8 chłopców. Na ile sposobów można wybrać trzyosobowe grupy, w skład których wejdą:

  • a) same dziewczyny

  • b) sami chłopcy

  • c) jedna dziewczynka


Dane informacyjne

Przykład. W gronie 10 osób każdy wita się z każdym. Ile powitań nastąpi?

Nastąpi 45 powitań.

Przykład. Na ile sposobów z talii 52 kart można wyciągnąć 12 tak, aby w każdym kolorze były 3 karty, w tym dokładnie jedna spośród czterech najstarszych( as, król, dama, walet)?.

W ustalonym kolorze jedną kartę spośród czterech najstarszych można wybrać na

4 sposoby. Z pozostałych9 kart tego koloru można wybrać 2 karty na

sposobów. Zatem zgodnie z warunkami zadania, 3 karty w danym kolorze można wybrać na sposobów. Ponieważ jest tak dla każdego koloru, więc otrzymujemy:

sposobów.


Wst p do prawdopodobie stwa
Wstęp do prawdopodobieństwa powitań nastąpi?

Rzut monetą lub kostką.

Rzucając monetą otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników: wypadnie orzeł albo wypadnie reszka. Ze względu na symetrię monety oba te wyniki są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc jedną szansę na dwie że wypadnie orzeł i jedną na dwie, że wypadnie reszka. W języku rachunku prawdopodobieństwa mówimy, że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe , tak samo dla reszki.

Przy rzucie sześcienną kostką do gry możemy uzyskać jeden z sześciu wyników. Jeżeli kostka jest symetryczna, to szanse uzyskania każdego z tych wyników są jednakowe i wynoszą jeden do sześciu. Przy rzucie kostką możemy rozpatrywać nie tylko wyniki ale także bardziej skomplikowane zdarzenia.

Przejdźmy do przykładów w których omówimy działania na zdarzeniach.


Dane informacyjne

Przykład. powitań nastąpi?Rzucamy raz kostką do gry.

Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia to zbiór:

𝛀 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Opiszmy zdarzenia:

A – otrzymano mniej niż 5 oczek

B – otrzymano co najmniej 4 oczka

C – otrzymano szóstkę

Wypiszmy wyniki sprzyjające tym zdarzeniom A, B, C:

A = {1,2,3,4}

B = {4,5,6}

C = {6}


Dane informacyjne

Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie złożone z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A i jednocześnie zdarzeniu B.

A ∩ B – iloczyn zdarzeń A i B

A ∩ B = {4} – wynik 4 sprzyja iloczynowi zdarzeń

A ∩ C = ∅ - zdarzenie niemożliwe - to takie, któremu

nie sprzyja żaden wynik

B ∩ C = {6} = C


Dane informacyjne

Sumą zdarzeń A i B jest zdarzenie złożone z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu B.

A ∪ B – suma zdarzeń A i B

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} = 𝛀

A ∪ C = {1,2,3,4,6}

B ∪ C = {4,5,6} = B


Dane informacyjne

Różnicą zdarzeń A i B jest zdarzenie złożone które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu B.

z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A, ale nie sprzyjają zdarzeniu B.

A \ B – różnica zdarzeń A i B

A \ B = {1,2,3} A \ C = {1,2,3,4} = A

B \ C = {4,5} 𝛀\ A = {5,6}

A’ – zdarzenie przeciwne do zdarzenia A

(są to wszystkie wyniki, które sprzyjają 𝛀, ale nie sprzyjają zdarzeniu A) A’= 𝛀\ A


Dane informacyjne

Przykład. które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu B.

Rzucamy sześcienną kostką i monetą.

A – otrzymano parzystą liczbę oczek

B – otrzymano reszkę

C – otrzymano liczbę pierwszą oczek i orła

D – otrzymano co najmniej 5 oczek

r – reszka, o - orzeł

𝛀 = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(5,o),(6,o), (1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom:

A = {(2,o),(2,r),(4,o),(4,r),(6,o),(6,r)}

B = {(1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

C = {(2,o),(3,o),(5,o)}

D = {(5,r),(5,o),(6,r),(6,o)}


Dane informacyjne

A’ = {(1,o),(3,o),(5,o),(1,r),(3,r),(5,r)} które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu B.

D’ = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(1,r),(2,r),(3,r),(4,r)}

A ∩ B = {(2,r),(4,r),(6,r)}

A ∩ C = {(2,o)}

C ∪ D = {(2,o),(3,o),(5,o),(6,o),(5,r),(6,r)}

B \ D = {(1,r),(2,r),(3,r),(4,r)}

D \ A = {(5,o),(5,r)}


Dane informacyjne

Przykład. które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu B.

Rzucamy dwa razy kostką do gry.

A – wypadnie parzysta liczba oczek w I i II rzucie

B – suma oczek jest liczbą mniejszą od 5

C – suma oczek jest liczbą podzielną przez 3

𝛀 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),...,(6,5),(6,6)}

Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom:

A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}


Dane informacyjne

C = {(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1), (5,4),(6,3),(6,6)}

A ∩ B = {(2,2)}

A ∩ C = {(2,4),(4,2),(6,6)}

A \ B = {(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

A \ C = {(2,2),(2,6),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4)}

B ∩ C = {(1,2),(2,1)}

B \ C = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}

C \ A = {(1,2),(1,5),(2,1),(3,3),(3,6),(4,5),(5,1),(5,4), (6,3)}


Dane informacyjne

Podamy teraz przykłady z rachunku prawdopodobieństwa na zastosowanie wiedzy którą przekazaliśmy podczas prezentacji.

Przykład.

Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale 50 zł, 10 banknotów o nominale 20 zł. wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Jeśli na podłodze leży 130zł, to wiatr zdmuchnął 4 banknoty po 20zł (z dziesięciu) i jeden 50zł (z pięciu). Wszystkich możliwości wyboru pięciu banknotów z czternastu jest .

Zatem


Dane informacyjne

Przykład. zastosowanie wiedzy którą przekazaliśmy podczas prezentacji.

Kod, który wpisany jest na karcie do bankomatu składa się z 4 cyfr. Chcemy, aby prawdopodobieństwo odkrycia tego kodu zmniejszyła się stukrotnie.Ile jeszcze cyfr należy dopisać do kodu?

Kod jest czterocyfrowy, każdą cyfrę kody możemy wybrać na 10 sposobów więc zatem prawdopodobieństwo wykrycia kodu czterocyfrowego wynosi .

Z treści zadania prawdopodobieństwo ma się zmniejszyć stukrotnie

czyli ma być równe czyli trzeba dopisać jeszcze dwie cyfry.


Dane informacyjne

Bibliografia zastosowanie wiedzy którą przekazaliśmy podczas prezentacji.

[1] Tomasz Żak, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek,

Oficyna wydawnicza Quadrivium

Wrocław 1995

[2] T. Gerstenkorn, T. Śródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa,

W-wa. PwN

[3] http://pl.wikipedia.org