第一章 緒論 內容大綱

1. 第一章緒論內容大綱 • 靜力學概論 • 牛頓力學 • 向量的基本性質 • 向量的直角分量表示法 • 向量乘法

2. 靜力學概論

3. 力學 • 力學(mechanics) 是物理學的一個分支，係研究物體受力作用後，保持靜止或運動的情形。通常力學分為三大領域，即： • 剛體力學 (rigid-body mechanics) • 變形體力學 (deformable-body mechanics) • 流體力學 (fluid mechanics)

4. 剛體力學 • 剛體力學分為： • 靜力學(statics) ：靜力學係探討物體受力後，保持靜止不動或維持等速運動的平衡狀態。 • 動力學(dynamics) ：動力學則探討物體受力後，產生加速度運動的情形。 • 雖然靜力學可視為動力學中加速度為零的一項特例，但因為許多的設計是考慮物體在保持靜止或平衡的狀態，故將靜力學單獨分開討論。

5. 基本量 (Basic quantities) • 研究剛體力學所需使用的四個物理量，稱之為基本量(basic quantities)： • 長度：是用來描述一點在空間中的位置，以及描述物體的大小。一旦選定標準的單位之後，則可以此單位長度的倍數定義距離與物體的幾何尺寸的特性。 • 時間：是用來表示事件發生的先後次序與長短。雖然靜力學與時間無關，但是在動力學中卻有著相當重要的份量。 • 質量：是物體的一種特性，可以用來表示不同物體受力後的不同反應。此一基本量是兩物體之間產生吸引力的原因，同時也是使速度發生改變的阻力。 • 力：通常力可視為一物體作用於另一物體上之推或拉的力量。此一交互作用的力量可以發生在兩物體直接接觸的情況下，如人用力推牆壁，或兩物體分開而不直接接觸，如地心引力、靜電吸引力及磁力。若要完整地描述一個力量，必須要包含三個要素：大小、方向和施力點。

6. 理想化 (idealizations) • 在力學的研究中，將問題適當地模型化或理想化(idealizations)，可以簡化問題以方便理論的應用。先在此定義一些較為重要的理想化，其餘的將在適當的章節中再予以定義。 • 質點：為一個只其有質量而無實體小大的物體。譬如地球的小大與其運行的軌道比較起來可說是微不足道，所以在研究軌道運行的問題時，可將地球視為一個質點。當一個物體被理想化而視為一個質點時，因其幾何形狀不列入考慮，力學原理的應用將變得相當簡單。 • 剛體：可視為由一大群質點組合而成的物體，質點彼此間的距離不因受外力作用而改變。因此在分析剛體受力作用時，不需要考慮材料的性質。在大多數的情況下，在結構體、機器或機構上所發生的變形量是相當小，故將其視為剛體是相當合理的。 • 集中力：乃假設一負載集中作用於物體上的某一點。若一負載作用的面積大小與物體的大小比較起來是很小時，我們可以將此負載視為一個集中力。

7. 牛頓力學

8. 牛頓力學定律 Newton's Laws of Mechanics • 剛體力學全部根源於牛頓的三個運動定律。它們的正確性以實驗的觀察結果作為驗證的根據。這三個定律應用在非加速度參考座標中質點運動的情形，可簡單地描述為： • 第一定律：若作用於一質點上的合力為零時，則此質點若最初為靜止將保持靜止不動，或若最初在運動將沿一直線作等速度運動。 • 第二定律：若作用於一質點上的合力不為零時，則此質點將在合力的作用方向上產生加速度，且此加速度的大小和合力的大小成正比，與質量的大小成反比。若合力為F，質量為 m，此定律可以表示為： F = ma • 第三定律：兩質點的作用力與反作用力，其大小相等、方向相反、且作用在同一線上。

9. 牛頓第一定律 • 除非受到外來的作用力，否則物體的速度(v)會保持不變。 公式：如 作用力 F = 0， 那麼速度的改變量(包括方向)  Δv = 0.或 若 Δv ≠ 0， 則 F ≠ 0. • A particle which is originally at rest will remain at rest, or a particle moving in a straight line with constant velocity will continue to do so, provided that no unbalanced force acting on it.

10. 牛頓第二定律 • 某質量為m的物體的動量(p=mv)變化率是正比於外加力F並且發生在力的方向上。 公式：F  = d(mv)/dt  • The acceleration of a particle acted upon by an unbalanced force is in the same direction of the force and has a magnitude that is directly proportional to this force.

11. 牛頓第三定律 • 作用力(Action)與反作用力(reaction)是 (數值)相等且(方向)相反。 • The forces of action and reaction between two particles or two rigid bodies are equal in magnitude, collinear and opposite in direction.

12. 慣性 （Inertia） • 第一定律展示慣性的概念：物體抗拒開始移動及當開始移動後它會抗拒停止。物體的質量就是慣性的量化量度數值(在直線運動情況下)。 • 在沒有外力作用之下，物體的勻速運動是持久的（靜止的定義是速度為零）。伽利略把物質的這個特性稱為慣性。

13. 牛頓的萬有引力定律 (Newton's law of gravitational attraction)  • 在提出三個運動定律後，牛頓又發表了兩個質點間會互相吸引的定律，此定律可以用數學式表示成： • 其中F = 兩質點問的吸引力；G = 萬有引力常數，根據實驗結果，G = 66.73×10–12 m3/(kg ·s2) ；m1、m2 = 兩質點的質量；r = 兩質點間的距離。 • 牛頓的萬有引力理論指出： • 定性方面：物體間存在相互的吸引力。 • 定量方面：物體間的吸力與物體的質量和兩物體之間的距離有特定的關係。 單位向量

14. 重量(weight) • 根據式 F = Gm1m2/r2，在任意兩個質點或物體之間有一吸引力作用。在此情況下，地球表面或接近地球表面的物體，只受到地球吸引力的作用，此一吸引力便是物體的重量，而重量即為我們在研究力學時，所唯一需要考慮的萬有引力。 • 利用F = Gm1m2/r2，且令質點的質量為 m1 = m，我們可以推導出物體的重量 W。若將地球視為一個不旋轉且等密度的球體，其質量為 m2，地心與質點之距離為r，可推得 • 與式 F = ma比較，我們稱g為重力所造成的加速度。由於 g 是距離 r 的函數，可知物體的重量不是一個固定值，而是隨地點的不同而有不同的大小值。在大多數的工程問題中，將緯度45°的海平面上所測得的 g值視為標準值。 M = 地球的質量 (earth's mass) = 5.9761024 kg R =地球的半徑 (earth's radius)= 6.371 106m g=9.8 m/s2

15. 單位 • 長度、時間、質量與力這四個基本量並非是互相獨立的，而是藉由牛頓第二運動定律F = ma彼此相關連的，因此這四個基本量的單位不可任意選定。 • 這四個基本量中，若選定了其中三個的單位，則第四個基本量的單位可由 F = ma推導而得。

16. 牛頓力學的有效範圍

17. SI單位制度 (SI units) • 國際單位制度（The International System of Units）簡寫為 SI 制，為一已被廣泛使用的公制系統。 • 在 SI 系統中，基本單位：長度、時間及質量分別以公尺 (m)、秒 (s) 以及公斤 (kg) 表示。 • 而力量的單位則以牛頓 (N) 表示，此單位由式 F = ma推導而得。 • 1牛頓定義為使 1 kg 的質量產生 1 m/s2的加速度時，所需要的作用力 (即 N = kgm/s2)。 • 若在標準地區上測量一物體的重量而以牛頓表示，將應用式 W = mg，其中g = 9.80665 m/s2，然而在計算中只取 g = 9.81 m/s2。因此，質量 1 kg 的物體其重量為 9.81 N。

18. 長度 • 長度 (Length)：米(meter)，m 。 • 原本：1m=放在巴黎由鉑銥(Pt-Ir)合金製成的標準米尺的長度。 國際度量衡公署 (International Bureau of Weights & Measures) IBWM. • 1960-1983年定義：1 m = 1 650763.73λ • λ= 由氪-86原子發射出的橙紅色光的波長。　

19. 質量 • 質量(Mass)：公斤/千克 (kilogram)， kg • 鉑銥(Pt-Ir) 合金原形標準質量。(1889年定義) • 校準：次級標準由天秤量度，準確至的108份之一。

20. 時間 • 時間(Time)：秒(second)，s • 1s=9192631770T T = 銫-133原子放射出來的電磁輻射線的週期。(1967年定義) • 重新定義的長度(1983) • 1 m = 在1/299792458秒這段時間內光線在真空裡所行走的長度。 • 光的速率≡299792458m/s (精確地)

21. 字首 (prefixes)   • 當一數值過大或過小時，可利用字首來加以敘述。

22. Example • Evaluate each of the following and express with SI units with an appropriate prefix : • (50mN)(6 GN) • (400 mm)(0.6 MN) • 45 MN3 / 900 Gg.

23. Answer

24. Answer

25. Answer

26. 因次齊次性 (dimensional homogeneity) • 任何一個方程式，其各項之間必須滿足因次齊次性，即每一項具有同一種單位，如此方程式中的各項才可以數值代入運算。由於方程式中的各項必須符合因次齊次性，此一特性可用來驗算方程式的代數運算是否正確。

27. 有效數字(significant figures)   • 數值的精確程度由有效數字的數目來決定。任何數字包含 0 在內，只要不是用以表示數字的位數時，皆可視為有效數字，如 5604 和 34.52 皆有四位有效數字。 • 然而數字以 0 開始或結束時，則很難說它有幾位有效數字，如 40，它有一位 (4) 或兩位 (40) 有效數字？為了清楚地表達，則以 10 的乘冪表示，而表示的方法則有兩種： • 科學記號(scientific notation) 表示的方法是小數點左方只留一位數字，其餘的數字則放在小數點的右方，如 40 只有一位有效數字時表示成 4101。 • 工程記號(engineering notation) 的表示方式，指數都寫成 3 的倍數，如 40 寫成 0.04  103，同樣的，2500 和 0.00546 寫成 2.50 103和 5.46  10-3，如此可在 SI 系統中選用適當的字首表示。

28. 解題步驟 • 學習工程力學最有效的方法就是練習解析問題，而且要依邏輯推理循序演算。一般解題之步驟： • 1.仔細讀問題，並找出問題與定理之間的關係。 • 2.畫出必要的圖形，並列出問題中已給定的數據。 • 3.應用相關的原理，將其表示為數學式。 • 4.解方程式，並確保方程式符合因次齊次性，使用一致的單位系統並解出答案值，答案值的有效數字不能高於所給的資料。 • 5.根據常識判斷答案是否合理。 • 6.當解得答案後，再次回顧問題，並尋找是否有其它的方法可求解答案。 • 遵循上述步驟，將解題的過程書寫整齊，可使我們的思路清晰而且有條理。

29. 向量的基本性質

30. 純量與向量 • 大部分與力學有關的物理量皆可以純量或向量表示。 • 純量 (scalar) ： 一物理量可用正數或負數表示者，稱之為純量。靜力學中常使用的質量、體積和長度都是屬於純量。在本課程中純量以斜體字表示，如 A。純量的運算法則遵循一般的代數運算。 • 向量 (vector) ： 向量為一具有大小與方向的量。在靜力學中經常使用的向量有位移、力和力矩。若以書寫方式表示，向量通常可將一箭號寫在一個字母上如 ，其大小則以 | | 或 A表示。本課程中向量以黑字表示如 A 代表向量，而其大小 (通常是正數) 則以 |A|或斜體字 A表示 (當 A是正純量)。

31. 純量 • 只有大小(magnitude)，例如： • 質量(mass) • 體積(volume) • 長度(length) • 速率(speed) • 時間(time) • 溫度(temperature)

32. 向量 • 具有大小(magnitude)及方向(direction)，例如： • 移位(displacement) • 速度(velocity) • 加速度(acceleration) • 力(force) • 面積(area)

33. 向量之表示法 • 向量用一線段和箭號所組成之箭頭表示，線段長度表示其大小，箭頭所指的方向為向量正的方向，通常一向量的方向是以該向量的正方向與參考軸之夾角表示。如下圖中，向量 A的大小為 4 個單位的長度，而方向朝右上方與水平軸夾 20º 角，且指向右上方向，其中 O點稱之為尾部，P點稱之為頭部。

34. 向量 • 有方向的線段(Represented by a directed line segment) • A ≠ B • C＝A (如果∣C∣∣A∣長度及方向一樣)

35. 向量的相加(Addition of Vector) • C= A + B 註：在一般情況下 ∣C∣≠∣A∣＋∣B∣ • 如 A＋B＝0, → A＝－B • 兩向量 A與 B，可利用平行四邊形定律相加，其和以 R = A + B表示，如下圖(a)所示。作法是將A、B兩向量之箭號尾部放置在同點上，如下圖(b)所示，然後以 A與B為兩邊畫一平行四邊形，則通過箭號尾部的對角線就是向量和 R。

36. P + (-P) = 0

37. P – Q = P + (-Q) 向量的相減(Subtraction of Vector)

38. (b) • Figure Example • The two forces P and Q acts on a bolt A as shown in Figure (a). Determine the resultants. • The triangle is used. Two sides and the included angle are known. We can apply the law of cosines.

40. 向量的直角分量表示法

41. 右手座標系統 • 向量運算法則將以右手座標系統為基礎。 • 直角座標或笛卡爾座標系統為右手座標系統 (right-handed coordinate system)，係將右手手指由正 x 軸方向向正 y軸方向握緊，此時右手大姆指的方向即為正 z 軸的方向，如下圖所示。

42. (a) (b) 向量分解(resolution of a vector)  • 利用平行四邊形定律，可將一向量分解為兩已知方向上的分量。如下圖(a)所示，將向量R分解成 a、b 線上的兩個分量，可由R之頭部作兩平行線分別平行於a、b 直線，由其與 a、b 直線的交點，即可作出兩分量A與B，如下圖(b)所示。

43. 互相垂直的向量分量 • 向量A 可具有一個、兩個或三個沿著 x、y和z軸，且彼此間互相垂直的分量，視此向量的指向而定。通常向量A位於 x、y、z座標系統中的某一象限，如下圖所示，可連續使用兩次平行四邊形定律，先將其分解成A = A' + Az兩分量，再分解A ' = Ax+ Ay兩分量。結合此二公式，可將向量 A 分解成互相垂直的三個向量，即 A = Ax + Ay + Az

44. 單位向量 • 所謂單位向量 (unit vector)是其大小為 1 的向量。若向量A之大小A  0，其單位向量之方向與A相同，可表示成 或寫成 • 由於向量 A與其大小A與有相同的單位，例如力的向量的單位為牛頓，由式 uA=A/A得知單位向量為一個無因次的量。上式 A=AuA說明向量A可分別用其大小和方向來表示，例如正數 A表示其大小，無因次向量uA表示其方向，如下圖所示。 A=uAA

45. 笛卡爾單位向量 • 在三維空間中，笛卡爾單位向量 (Cartesian unit vectors) 為 i、j、k，分別表示 x、y與z軸的方向。如上一節所述，這些向量的方向，依據他們指向x、y或z軸的正向或負向，而以正號或負號來表示，因此正的單位向量如下圖所示。

46. 笛卡爾向量的表示法 • 利用笛卡爾單位向量，式 A = Ax + Ay + Az中的三個分量可以寫成笛卡爾向量形式。如左下圖中之向量 A可表示成 • 利用笛卡爾向量形式表示向量，使得每一分量都可以表示成 A=AuA的形式，各分量的大小與方向是分開表示的，如此可簡化向量的運算，尤其是三維空間的問題。 A = Axi + Ayj + Azk

47. 笛卡爾向量的大小 • 若將向量 A表示成笛卡爾向量，則可以得此向量的大小，如圖中，由底面陰影直角三角形，可得 同理，由垂直之陰影直角三角形，可得 將兩式合併可得 向量A之大小為各分量的平方和的正平方根。

48. 笛卡爾向量的方向 • 向量 A的方向，如右圖所示，可由此向量與 x、y、z三軸正方向所夾之方向、、 表示。不論A的方向為何，、、 之值都介於 0至 180之間。為決定方向角、 與 之值，將A分別投影在 x、y與 z軸上，如下圖所示。由這些陰影直角三角形，可得到

49. 方向角 • 若已求得各方向餘弦後，則方向角、 與  之值可利用反餘弦函數求得。

50. 方向餘弦 • 一個求得方向餘弦的簡易方法，可先將A表示成單位向量，如式 uA=A/A所示。若 A 表示成笛卡爾向量式 A = Axi + Ayj + Azk，則其單位向量： 其中 • 比較前述兩個式子，可知單位向量uA在 i、j、k 方向上的分量就是向量A的方向餘弦，即 uA = cos i+ cos j + cos k