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§6 ．無衝突ボルツマン方程式の平衡解 ★無衝突系の例： 　楕円銀河 定常状態としたらどのような 　状態か？（平衡解）　　 現在の力学構造

§6 ．無衝突ボルツマン方程式の平衡解 ★無衝突系の例： 　楕円銀河 定常状態としたらどのような 　状態か？（平衡解）　　 現在の力学構造. ★ 平衡解：以下を満たす解 (strong)Jeans 定理を応用　. ★ 運動の積分 ◎意味があるのは、 孤立積分 (isolating integral) 積分量に対してある値を満たす軌道を考えたとき、 　位相空間でのその軌道の次元が全体に比べて減るとき 例：エネルギー、運動量、角運動量 反例：. 例：１次元調和振動子. ○ 積分の例：　 作用ー角変数　　　　　　　　　 J が積分量. ★Jeans Theorem

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§6 ．無衝突ボルツマン方程式の平衡解 ★無衝突系の例： 　楕円銀河 定常状態としたらどのような 　状態か？（平衡解）　　 現在の力学構造

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Presentation Transcript

  1. §6．無衝突ボルツマン方程式の平衡解 ★無衝突系の例：　楕円銀河 定常状態としたらどのような 　状態か？（平衡解）　　 現在の力学構造

  2. ★平衡解：以下を満たす解 (strong)Jeans定理を応用　

  3. ★運動の積分 ◎意味があるのは、孤立積分(isolating integral) 積分量に対してある値を満たす軌道を考えたとき、 　位相空間でのその軌道の次元が全体に比べて減るとき 例：エネルギー、運動量、角運動量 反例：

  4. 例：１次元調和振動子 ○積分の例：　作用ー角変数　　　　　　　　　Jが積分量

  5. ★Jeans Theorem ○CBEの任意の定常解　　　　運動の積分を通してのみ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　位相空間座標に依存 　 ○運動の積分の任意の関数　　　　　CBEの定常解 証明：

  6. ★Strong Jeans Theorem 　ほとんどすべての軌道が、規則的(regular)であるとき、 　定常状態の分布は、３つの独立な孤立積分の関数として 　あらわされるだろう。 ＊ただし、3つの基本周期が、通約できない(incommensurable)場合に限る　　

  7. ◎証明

  8. 例：１次元調和振動子 ○ほとんどすべての星が規則的運動 位相空間の至る所で、作用ー角変数が存在

  9. ★定常解の例(Jeans定理の応用） I.球対称

  10. ★定常解の求め方 一般には、self-consistentでなくてはいけない。 　　つまり、どんな関数形でも解になるのではなくて、 　　ポアッソン方程式を満たさなくてはならない。

  11. ★Eddington’s formula 前式を次のように書き直す。

  12. ★具体例 (1)PolytropesとPlummerモデル

  13. Lane-Emden equation 星の構造を解くときにもよく用いられるもの

  14. 一般には、数値計算で解く。 しかし、解析解も存在。 ○n=5の場合： Plummerモデルと呼ばれる ＊いくつかの球状星団とは一致。 　　銀河とは合わない

  15. ○等温解（isothermal solution)

  16. ○Kingモデル ＊質量が無限大になる等温分布を補正したもの ○Hernquistモデル ＊楕円銀河の密度分布をかなり良く再現

  17. ○Jaffeモデル

  18. ○球対称非等方速度分散のモデル 例：Osipkov-Merrittモデル

  19. ○球対称でない場合（一般） ＊軸対称モデル 例：Evansモデル ＊３軸不等楕円体（大きな楕円銀河） Stackel Potentialモデル 後述

  20. ★現実の力学構造は？ 観測データとの比較 観測データとの比較 *高精度位置天文観測データがでれば、directに位相空間分布 　　　　　が比べられる。 ◎fの例（今までは簡単な例。一部は正しいかも） 　　　実際のバルジ、ディスク、ハローは？ 一般的なモデルを作成する必要性あり ＊ハミルトニアン（重力ポテンシャル）をgiven 　　　　積分量を評価(Torus construction法など）　　 fの関数形を仮定 　　モデル作りが必要：力学構造の構築法の開発

  21. §7．緩和と力学構造 例：楕円銀河 十分良い近似で自己重力多体系とみなす。 　　　　さらに、 無衝突系 二体散乱による緩和は起こっていない！

  22. しかし、・・・・ ＊楕円銀河：２体緩和していないが、楕円銀河には 　　　　　　　　いくつかの共通点がある 　○密度分布は、ドゥボークルールの１／４則 　○回転サポートではない　　　　　速度分散の 　○ ３軸不等楕円体　　　　　　　　 非等方性 重力～速度分散による“圧力” 　力学構造の詳細は分からないが、共通の特徴がある 　　　　　　　ある種の“緩和”が起こっている どういう緩和？

  23. ★楕円銀河の密度分布（光度分布）　　　 ◎ドゥボークルールの１／４則

  24. Surma,Seifert and Bender（１９９０）

  25. ★速度分散の非等方性（回転サポートではない）★速度分散の非等方性（回転サポートではない） 　巨大楕円銀河(L>2.5×1010L　）は、ローテーション 　サポートではなく、速度分散の非等方性により偏平 　になっている。

  26. ★Tensor Virial Theorem

  27. ★速度分散、回転速度、偏平度の関係 ○Tensor Virial Theoremを用いる 　　○簡単のため、z軸周りの軸対称であるとする。 　　○銀河の中心方向への視線はx軸と一致するとする。

  28. Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より

  29. ★観測との比較 Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より

  30. ◎巨大な楕円銀河は、回転サポートではない。◎巨大な楕円銀河は、回転サポートではない。 　　速度分散の非等方性により、形態が偏平に 　　維持されている。 一般には、軸対称とは考えにくい。 　　　　　　　　　　三軸不等であろう。 実際、 光度分布を２次元平面にprojectした場合、isophotの twistが見られる。　　　　　三軸不等の証拠 Madejsky&Mollenhoff(1990)など

  31. ◎以上のように、共通の特徴をもっていることから、◎以上のように、共通の特徴をもっていることから、 　　何らかの“緩和”を受けているようである （しかし、２体散乱による緩和ではない） “緩和”するメカニズムは？ 　　　　　　また、その力学構造は？

  32. ★Violent Relaxation:Lynden-Bell(1967) ◎無衝突系の緩和過程 空間的、時間的に激しく振動 microscopic: phase mixing fは保存(Liouvilleの定理）。しかし、それはどんどん小さな 　　　スケールでの運動となる。 macroscopic ：coarse-grained distribution function “平衡状態”に落ち着く

  33. 　★Violent Relaxation： Lynden-Bell(1967) 平均重力場の激しい時間的空間的変動による 　　位相分布のmixing （ハミルトン系のカオスが起こる機構と同様）

  34. ★平衡状態での(coarse-grained)分布関数は？ ◎Lynden-Bell統計 ○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“非圧縮流体”のように運動 　　 ○phase mixing fの要素(element)は、位相空間内を複雑に 　　　　　　　　　　　　　　　　運動し、細分化 fを十分小さい要素に分解し、要素は次の条件を満たすものとする。 (1)要素の数は不変 (2)全エネルギーは保存 (3)要素の密度ηは一定：F=η（局所的な密度は非圧縮性のため保存） (4)要素の体積をωとする。

  35. ◎位相空間を多くの微細胞(micro-cell)に分割 ＊微細胞は、十分小さく、その位相体積は、fの要素の位相体積ωとする。 ＊micro-cellの中にelementが入れば、micro-cellの密度は、η、 　さもなくば、０。 ◎興味があるのは、巨視的構造　　　　 micro-cellをν個（ν＞＞１）集めた巨細胞(macro-cell)

  36. ○非圧縮性のため、各要素は同一のmicro-cellを示すことは○非圧縮性のため、各要素は同一のmicro-cellを示すことは 　　できない。　　　　　排他律 ○各要素は区別できるものである。　　　　　　区別化 よって、場合の数は、

  37. 参考： 　　　　　　　　　　区別不可　　　　　区別可 排他律なし　　　B-E分布　 　　　M-B分布 　　　　　あり　　　F-D分布　　　　　Lynden-Bell分布 ＊L-D分布の特徴　 　分布は星の質量に依らない 　（CBEの形は、星の質量に依らないので）

  38. ★問題点 ◎いくつかの数値実験　　　　　Lynden-Bell分布と 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一致しない deZeeuw et al(1991), Funato et al.(1992), Yanashiro et al.(1992) などなど ◎L-D統計ーーー＞Maxwell分布ーーー＞等温分布 　　ーーー＞全質量が無限大 Lynden-Bell達は、violent relaxationの不完全性に 　　よって、この問題を回避しようとした 　　（後ででてくる、安定カオスと関連）

  39. ◎Lynden-Bell分布でないとすると、実際は 　どんな分布か？ ◎緩和過程はどうなっているか？ その続きに行く前に・・・

  40. ★r1/4則は説明できるのか？ Jaffe(1987), Makino et al.(1989)

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